Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФГБОУ ВО

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

Г.В. КАЛАШНИКОВ, С.В. МАКЕЕВ

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

(Для студентов-иностранцев)

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2020

1

УДК (51 (075.5)

ББК Г1я7

К36

Научный редактор профессор Г. В. КАЛАШНИКОВ

Реце нз енты :

кафедра теоретической и прикладной механики Воронежского государственного технического университета;

кант. физ.-мат. наук В.А. ЮРЬЕВ (Воронежский государственный технический университет)

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета инженерных технологий

ISBN 978-5-00032-477-6

Учебное пособие написано для иностранных учащихся подготовительного факультета . Оно предназначено для закрепления теоретического материала курса математики и овладения практическими навыками решения задач по тригонометрии . С учетом дифференцированной подготовки иностранных обучающихся рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений. Пособие включает тематический текстовый материал, таблицы, рисунки, примеры задач с решениями, контрольные вопросы и задания.

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

2

ВВЕДЕНИЕ

Раздел «Тригонометрия» является наиболее сложным для обучающихся. Одна из причин – недостаточное количество программных часов, отводимое на изучение этого раздела, а также поверхностное изложение некоторых важных вопросов, связанных с решением тригонометрических уравнений, отбором и исследованием корней. Говоря о навыках и умениях решать тригонометрические уравнения, нужно иметь в виду, что эти умения образуют целый комплекс, в который входят следующие:

-умение отыскать на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам;

-умение провести анализ предложенного уравнения с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов;

-умение решать простейшие тригонометрические уравнения и иллюстрировать решение с помощью графика, тригонометрического круга;

-умение применять свойства тригонометрических функций при решении уравнений;

-умение решать алгебраические уравнения определенных видов (линейные, квадратные, дробно-рациональные, однородные, сводящиеся к совокупностям алгебраических уравнений указанных видов).

Предложенные в пособии опорные конспекты основ тригонометрии, примеры решения задач предусматривают овладение обучающимися основными компетенциями освоения тригонометрии, приобретение навыков решать простейшие тригонометрические уравнения и знакомство с приемами решения тригонометрических уравнений.

Пособие предназначено для подготовки к занятиям, самостоятельным и контрольным работам, тестированию, подготовки

кэкзаменам.

3

Опорный конспект, опорная схема как одна из форм -из ложения сведений способствуют развитию познавательных мотивов, облегчают понимание новой информации и закрепляют её в долговременной памяти.

Изложение материала построено на решении дифференцированных примеров (по уровню сложности) и сопровождается всеми необходимыми для этого теоретическими сведениями с учетом степени подготовки обучающихся. Пособие содержит примеры задач и заданий с решениями, предлагаемых для текущей, промежуточной и итоговой аттестации, а также для самостоятельной работы, тренировки обучающихся.

Работу с пособием лучше начинать с повторения основных понятий, последовательно разбирая пример за примером и закрепляя затем рассмотренные методы решения тригонометрических задач на задачах для самостоятельной работы.

Желаем успешного обучения!

4

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗВИТИИ ТРИГОНОМЕТРИИ

Слово «тригонометрия» составлено из двух греческих слов: «тригонон» — треугольник и «метрео» — измеряю. Основной задачей тригонометрии является нахождение неизвестных параметров треугольника по данным значениям других его параметров. Например, по данным сторонам треугольника можно вычислить его углы, по известным значениям площади и двух углов вычислить его стороны и т. д.

Первые методы нахождения неизвестных параметров данного треугольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков до нашей эры. Греческие астрономы знали синусы, косинусы и тангенсы. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы,

позволявшие отыскивать хорду окружности по стягиваемой ею дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах.

Все древние цивилизации вносили свой вклад в дело накопления тригонометрических знаний. На одной из глиняных табличек Древнего Вавилова, возраст которой определяется вторым тысячелетием до нашей эры, решается тригонометрическая задача.

Значительно развили тригонометрию индийские средневековые астрономы и арабские ученые. В X веке багдадский ученый Абу-ль-Вефа присоединил к понятиям синусов и косинусов понятия тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Абу-ль- Вефа установил также основные соотношения между ними. Благодаря работам знаменитого арабского ученого Насир эд-Дина (1201—1274) тригонометрия становится самостоятельной научной дисциплиной. Насир эд-Дин рассмотрел все случаи решения плоских и сферических треугольников. В XII веке с арабского языка на латинский был переведен ряд астрономических работ, по которым европейцы познакомились с тригонометрией, немногие работы Насир эд-Дина остались им неизвестны.

5

Выдающийся немецкий астрономXV века Региомонтан (1436—1476) заново сформулировал теоремы Насир эд-Дина. Региомонтан составил таблицы синусов плоских углов с точностью до седьмой значащей цифры.

В середине XVIII века, благодаря русскому академику Леонарду Эйлеру (1707—1783), тригонометрия приняла современный вид. Он разработал её как науку о тригонометрических функциях, ввел записи sinx, tgx, обозначил а, в, с для сторон и А,В,С для противоположных углов АВС.

Эйлер рассматривал тригонометрические функции аргумента х - радианной меры соответствующего угла, давая этому аргументу различные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

6

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

1.1. Определение тригонометрических функций

Единичная окружность – это окружность, радиус которой принят за единицу измерения.

Числовая окружность – это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности.

Признаки числовой окружности:

1)начало отсчета – правый конец горизонтального диа-

метра;

2)единичный отрезок – длина радиуса окружности;

3)положительное направление – против часовой стрелки.

Имеется круг радиусаr с центром о в начале системы координат. Он пересекает положительную ось абсцисс в точке D (рис. 1.1). Движущаяся по окружности точкаА с координатами (x,y) определяет угол АОВ, величину которого обозначим a. Значение a положительно, если точка А, начиная движение из точки D, пробегает окружность в направлении против часовой стрелки (положительном направлении).

щим образом: каждому числу a соответствует такая точкаР числовой окружности, чтобы дуга ÈОР имела длину |a| и была отложена в положительном направлении если a > 0 и в отрицательном, если a < 0.

7

Полныйñ оборот – это угол поворота, равный 2p рад (или 360°). Некоторые положения конечной точки угла поворота

(рис. 1.2).

Рис. 1.2. Некоторые положения конечной точки угла поворота

8

Тригонометрические функции (круговые функции угла) определяются следующими равенствами:

Область определения тригонометрических функций состоит из множества действительных чиселa за исключением значений, обращающих в нуль знаменатель.

Если a в пределах

Рис. 1.3. Значение тригонометрических функций

9

Периодичность тригонометрических функций.

Так как положения движущейся по окружности точки, соответствуют двум углам, величины которых отличаются на чис-

треугольника. Для значения аргумента a между 0 и p , в качестве

2

угла прямоугольного треугольника имеем следующие соотношения для тригонометрических функций (рис. 1.4)

Рис. 1.4. Соотношения для тригонометрических функций

1.2. Тригонометрический круг

Тригонометрический круг – это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается и на нём есть всё необходимое. Тригонометрический круг (рис. 1.5) заменяет десяток таблиц.

10