Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Таблица 3.4

Арксинус (y = arcsin x) – обратная функция кsin (x = sin y),

которая	имеет			область определения-1 £ x £1 и множество
значений	-	p	£ y £	p	. Другими словами, возвращает угол по
				2
	2

значению его sin.

Графики обратных тригонометрических функций (рис. 3.3)
получаются	из	графиков	тригонометрических	функций
зеркальным отражением относительно прямой y = x.

y = arccos x

y = arcsin x

y = arcctg x		y = arctg x
Рис. 3.3. Графики обратных тригонометрических функций
Арккосинус (y = arccos	x) –	обратная	функция к
cos (x = cos y), которая имеет область		определения-1 £ x £1 и
множество значений0 £ y £ p .	Другими словами,		возвращает

угол по значению его cos.

Арктангенс (y = arctg x) – обратная функция кtg (x = tg y), которая имеет область определения - ¥ < x < +¥ и множество

значений -	p	< y <	p	. . Другими	словами, возвращает угол	по
			2
2
значению его tg.
Арккотангенс (y=arcctgx)					– обратная функция	к

ctg (x=ctgy), которая имеет область определения - ¥ < x < +¥ и

множество значений0 < y < p .

Другими

словами, возвращает

угол по значению его ctg.

Арксинусом числа а

называется такое числох

из интервала

;

p ù

, синус которого равен а:

ê-

arcsin а

2 û

p ù

[-1; 1]

;

–1

2 û

sin

x = a .

- 2

arcsin a =

arccos

–0 а

Арккосинусом числа а называется такое число х из интервала [0; p], косинус которого равен а:

[-1;1]	[0; p]
arccos a	= x , cos x = a .

2 а

arctg а

-p

2 –¥

Арктангенсом числа а называется такое число х

	æ		p		p ö
из интервала	çç	-		;		÷÷ , тангенс которого равен а:
			2		2
	è					ø

æ	p		p ö
ç-		;		÷

è	2		2 ø
arctg a =	x			, tg x = a.


–		а	+	Арккотангенсом числа а называется такое
–			+

			число х из интервала (0; p), котангенс которого
p	arcctg		число х из интервала (0; p), котангенс которого
p	0		равен a. Для отрицательных значений аргумента:
	0		равен a. Для отрицательных значений аргумента:
			arcsin(- a)= - arcsin a		arctg(- a)= -arctg a
			arccos(- a =) p - arccos a		arcctg(- a )= p - arcctg a

Каждая из функций и определена на отрезке [-1;1]

£ arcsina £

, a Î[-1;1 ; ]

0 £ arccos a £ p , a Î[-1;1 . ]

Функция

arcsina

является

нечетной, то

есть

arcsin(-a )= -arcsina.

Функция

arccos a не

является ни

четной, ни

нечет-

ной: arccos(-a )= p - arccos a.

Функции arctga и arcctga

определены

на всей

числовой

прямой и

£ arctga £

a ÎR ,

0 £ arcctga £ p,

a ÎR.

Функция arctga является нечетной, то есть arctg(-a )= -arctga.

Функция arcctga не является ни четной, ни нечетной: arcctg(- a )= p - arcctga.

Соотношение между обратными тригонометрическими функциями:

arcsina = -arcsin(-a =) p - arccosa = arctg		a	,
2		1-a 2
arc cosa = p - arccos(-a =)	p - arcsina = arcctg a		,
	2	1-a 2
		1-a 2
arctga = -arctg(-a =) p - arcctga = arcsin		a	,
2		1+a 2
arcctga = p - arcctg(-a =)	p - arctga = arccos	a .
	2	1+a 2
		1+a 2

Формулы суммы и разности обратных тригонометрических функций:

- b 2

+ b

1-a

приab £ 0 или a 2 + b 2 £1;

arcsina + arcsin b = arcsinça 1

2 ÷

1 - b

2 + b 1-a 2

приa > 0, b > 0 и a 2 + b 2 >1;

arcsina + arcsin b = p - arcsinça

1-a 2

arcsina + arcsin b = -p - arcsinça 1- b 2 + b

÷ приa < 0, b < 0 и a 2 + b 2 >1;

- b 2

- b

1-a

приab ³ 0 или a 2 + b 2 £1;

arcsina -arcsin b = arcsinça 1

2 ÷

1 - b

2 - b

1 -a 2

приa > 0, b < 0 и a 2 + b 2 >1;

arcsina - arcsin b = p -arcsinça

1-a

arcsina - arcsin b = -p - arcsinça 1 - b 2 - b

÷ приa < 0, b > 0 и a 2 + b 2 >1;

arccosa + arccosb = arccosça × b - 1-a 2 ×

1 - b 2 ÷ при a + b ³ 0;

-a 2

1- b

при a + b £ 0;

arccosa + arccosb = 2p - arccosça × b -

-a 2

1 - b

при a ³ b;

arccosa - arccosb = -arccosça × b +

-a 2

1 - b

при a < b;

arccosa - arccosb = -arccosça × b +

arctga + arctgb = arctg

a + b

при a × b <1;

1-a × b

arctga + arctgb = p + arctg

a + b

при a > 0,

a × b >1;

1-a × b

arctga + arctgb = -p + arctg

a + b

при a < 0,

a × b >1;

1 -a × b

arctga - arctgb = arctg

a - b

при a × b > -1;

1+a × b

arctga - arctgb = p + arctg

a - b

при a > 0,

a × b < -1;

1+a × b

arctga - arctgb = -p + arctg

a - b

при a < 0,

a × b < -1.

1+a × b

ГЛАВА 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

4.1.Основные понятия и методы решений тригонометрического уравнения

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знакомтригонометрических функций. При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным способом к одному или нескольким простейшим. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

sin x = a, cos x = a, tgx = a, сtgx = a.

Простейшие тригонометрические уравнения

sin x = a	Û	x = (-1)n arcsin a + pn, n
cos x = a	Û	x = ± arccos a + 2pn, n Î
tg x = a	Û	x = arctg a + pn,	n Î Z
ctg x = a	Û	x = arcctg a + pn,	n Î Z

При |а| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a корней не имеют!

Если правая часть уравнения - отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:

		n +1			ü
sin x = -a	Û	x = (-1 )	arcsin a + pn,	n Î Z	ï	при	a	£ 1!
		x = ±(p - arccos a)+ 2pn,			ý	при	a	£ 1!
cos x = -a	Û	x = ±(p - arccos a)+ 2pn,		n Î Z	ï
					þ
tg x = -a	Û	x = -arctg a + pn, n Î Z
ctg x = -a	Û	x = p - arcctg a + pn, n Î Z

На рис. 4.1 приведены свойствам соответствующих обратных тригонометрических функций.

	1					sin x = 1					cos x = 1
	0					sin x = 1					cos x = 1
	0		0				p
						x =	p		+ 2pn		x = 2pn
	–1					x =	2		+ 2pn		x = 2pn
	–1						2
	1					sin x = 0					cos x = 0
	1

p	0			0						x = pn	x =	p	+ pn
p	0			0


	–1										2
	1					sin x = –1					cos x = –1
	1

	0			0				p			x = p + 2pn
	0			0
	–1					x = -				+ 2pn
					p	x = -	2			+ 2pn
							2
		-
		-
		2

–1 0 1

p –1 0 1 0

Рис. 4.1. Свойства обратных тригонометрических функций

Рассмотрим, при каких значенияхтригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения

таких	уравнений.		Уравнение sin x = a.			Так		как	множество
значений		функцииy = sin x - отрезок				[-1;	1], то		данное
уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда							a	£ 1.
уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда							a	£ 1.
	Далее	из-за	периодичности функцииy = sin x каждому
значению а		соответствует			бесконечное	множество			решений.
Поэтому все решения описываются формулами:
		ìx		= arcsin a + 2pk
		ï	1
		íx		= p - arcsin a + 2pk,		k Î Z
		ï	2
		î
или обобщенной формулой
			x = (-1)k arcsin a +pk,			k Î Z.

Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к простейшим. Наиболее часто при решении тригонометрических

уравнений применяются следующие методы:

·разложение на множители;

·способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям);

· сведение	к	, уравнениямоднородным
относительно sin x и cos x ;
· преобразование	суммы тригонометрических функций в
произведение;
· преобразование	произведения	тригонометрических
функций в сумму;

·использование формул понижения степени;

·равенство одноименных тригонометрических функций;

·введение вспомогательного аргумента.

При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.

Способом замены решаются уравнения вида

a sin 2 x + b sin x + c = 0,

a cos 2 x + b cos x + c = 0 (a ¹ 0), atg 2 x + btgx + c = 0,

actg 2 x + bctgx + c = 0.

Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью замены sin x = t или cos x = t .

Уравнения

a sin 2 x + b sin x + c = 0

не являются с виду алгебраическими , но их можно свести к алгебраическим:

a cos 2 x - b cos x - (a + c) = 0 ,

a sin 2 x - b sin x - (a + c) = 0.

При решении уравнений этим методом необходимо знать формулы:

cos2 a + sin 2 a = 1;

tgx =

sin x

;

ctgx =

cos x

;

cos x

sin x

ctgx =

;

tgx

1 + tg2 x =

;

1 + ctg 2 x =

;

cos2

sin 2

1 + cos 2x = 2 cos 2 x;

1 - cos 2x = 2 sin 2 x;

tg2x =

2tgx

;

sin2x =

2tgx

;

1 - tg 2 x

1 + tg2 x

cos2x =

1 - tg2 x

;

1 + tg2 x

sin2 x = 2 sin x × cos x;

cos 2x = cos2 x - sin 2 x = 2 cos 2 x -1 = 1 - 2 sin 2 x.

Пример 1. Решить уравнение cos 2 x + cos x - 2 = 0.

Решение. Это

уравнение

является

квадратным

относительно cos x. Поэтому сделаем замену cos x = t.

результате

получим

+ t - 2 = 0 .

Его

уравнениеt

корни: t1

= 1,

t2 = 2,

то

есть

получаем

уравнен

cos x = 1,

или cos x = 2 .

Первое уравнение дает

x = 2pk, k Î Z.

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ:

x = 2pk,

k ÎZ.

Пример 2. Решить уравнение 6 cos2 x + 5 sin x - 7 = 0.

Решение. Так как cos2 x =1 - sin 2 x, то уравнение можно

представить в виде:

6(1 - sin2 x)+ 5sin x - 7 = 0;

6sin2 x - 5sin x +1 = 0.

Сделаем замену

t = sin x.

Получим квадратное уравнение 6t 2 - 5t +1 = 0, решая

которое, имеем:

D = 25 - 6 ×4 =1,

5 ±1

то есть

, t

1,2

Таким образом, получим два простейших уравнения

sin x =

или sin x =

Решая их, имеем

x = (-1)k

+pk,

k ÎZ

или x = (-1)k arcsin

+pk,

k Î Z.

k p

Ответ:

x = (-1)

+ pk;

x =

(-1)

arcsin

+pk,

k ÎZ.

Однородные уравнения:

a0 sin x + a1 cos x = 0,

a sin2

x + a sin x cos x + a

cos2 x = 0,

a sin3

x + a sin2

x cos x + a

sin x cos2 x + a

cos3

x = 0,

sinn x + a

sinn -1 x cos x + a

sinn -2 x cos2 x + ...

... + a

n-1

sin x cosn -1 x + a

cosn

x = 0,

называются однородными относительно sin x и cos x .

Они

обладают

тем

свойством, что

сумма

показаний

степеней

при sin x и cos x

всех членов

уравнения одинакова.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]