Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

3

Решая их, найдем: x = p + pk, k ÎZ или

4

41

Пример 4. Решить уравнение:

6 sin 2 x + sin x cos x - cos 2 x = 2.

Решение. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем

6sin2 x + sin x cos x - cos2 x = 2(sin2 x + cos2 x),

4sin 2 x + sin x cos x - 3cos2 x = 0,

то есть получили однородное уравнение.

Разделив обе части уравнения на cos 2 x (cos x ¹ 0) ,

получим

4tg2 x + tgx - 3 = 0.

4.1.1. Виды тригонометрических уравнений

Практически все тригонометрические уравнения считаются «сводящимися к простейшим», но можно выделить ряд уравнений которые сводятся к простейшим достаточно просто. Рассмотрим сначала виды простейших уравнений.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

42

sin x = a, cos x = a, tgx = a, ctgx = a.

На эти уравнения следует обратить особое внимание, так как без умения их решать невозможно решить никакое другое тригонометрическое уравнение. Лучше всего, если обучающиеся будут иметь схемы решения каждого из простейших уравнений

(рис. 4.2).

Рис. 4.2. Схема решения каждого из простейших уравнений

43

Уравнение вида

cos x = a.

Если a > 1 , то x ÎQ.

Если a £ 1 , то x = arccosa + 2pk, k Î Z (рис 4.2, а).

Особые случаи:

cos x =1; x = 2pk, k Î Z (рис 4.2, б);

cos x = -1; x = p + 2pk, k Î Z (рис 4.2, в);

cos x = 0; x = p + 2pk, k Î Z (рис 4.2, г).

2

Любая из этих формул может быть заменена формулой общего вида, однако они проще и их выгоднее применять при решении уравнений. Полезно помнить, что при

a Î[1;-1]

0 £ arccos a £ p; arccos(-a )= p - arccosa; cos(arccosa )= a.

Уравнение вида

sin x = a.

Если a > 1 , то x ÎQ.

Если a £ 1 , то x = (-1)n arccosa +pn, n Î Z (рис 4.2, д) Особые случаи:

sin x =1; x = p + 2pk, n Î Z (рис 4.2, е)

2

sin x = -1; x = - p + 2pk, n Î Z (рис 4.2, ж)

2

sin x = 0; x = 2pn, n Î Z (рис 4.2, з)

Нужно помнить, что при

aÎ [1;-1]

-p £ arccosa £ p ;

arcsin(-a )= -arcsina;

44

arccosa + arcsina = p . 2

Уравнение вида

tgx = a.

x = arctga + pn, n Î Z (рис 4.2, и)

Нужно помнить, что при

aÎ[1;-1]

-p < arctga < p ;

arctg(-a)= -arctga; tg(arctga) = a.

Уравнение вида

ctgx = a.

x = arcctga +pn, n Î Z (рис 4.2, к)

Нужно помнить, что при

a Î[1;-1]

0 < arcctga < p ; arcctg(-a)= p -arctga; ctg(arcctga) = a;

arctga + arcctga = p . 2

Уравнения, сводящиеся к простейшим, имеют вид sin f (x) = a, cos f (x) = a, tgf (x) = a, ctgf (x) = a.

Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительноf(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х.

Пример 1. Решить уравнения.

1. sin x = 1 ;

2 2

x = (-1)n p + pn; 2 6

45

Пример 2. Решить уравнение

tg 2 x = 3.

Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности

étgx = 3,

ê

êëtgx = - 3.

Решением первого уравнения этой совокупности является семей-

Ответ: x = ± p + pn, n Î Z. 3

46

Пример 3. Решить уравнение

cos x = p . 3

Решение. Грубая ошибка, которую допускают при решении этого уравнения, состоит в следующем: обучающиеся записывают решение:

x = ±arccosp + 2pk, k Î Z, 3

однако они не учитывают, что

p »1,04 >1, 3

следовательно, уравнения решений не имеет. Ответ: x ÎAE.

Пример 4. Решить уравнение sin p x = -1.

Решение. Применив формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, получим:

Далее многие обучающиеся для нахождения х возводят левую и правую часть уравнения в квадрат, не учитывая, что x ³ 0, а это

4.1.2. Уравнения, являющиеся равенством двух одноимённых тригонометрических функций

а) Уравнение вида

sin f (x) = sin j(x)

47

равносильно совокупности уравнений:

ìï f (x) = j(x) + 2pk, k Î Z,

í

ïî f (x) = -j(x) + 2pn, n Î Z.

б) Уравнение вида

cos f ( x) = cosj(x)

равносильно системе уравнений:

x + p (1 + 24k), k Î Z; 12

x + p (5 + 24m), m Î Z. 6

Пример 2. Решить уравнение:

sin 4x = -cos x;

sin 4x = sin( 3p + x); 2

48

4x = x + 3p + 2 pn; или 5x = p + 2pk;

4.1.3.Тригонометрические уравнения, содержащие одну

иту же функцию одного и того же аргумента и решаемые методом

подстановки

Уравнения данного вида

j2 (x) +j(x) + c = 0,

где j(x) – тригонометрические функции часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента некоторого параметра t с учётом допустимых значенийt в зависимости от области значения функции. При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

sin 2 x + cos x2 = 1,

sin 2 x

Пример 1. Решить уравнение

6 cos2 x + 5sin x - 7 = 0.

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену

cos 2 x = 1 - sin 2 x,

тогда уравнение примет вид:

49

6sin 2 x - 5sin x +1 = 0.

Введем подстановку y = sin x, тогда получим квадратное уравнение

Пример 3. Решить уравнение

cos2 x - cos x - 2 = 0. 2 2

50