Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
Решение. Наиболее очевидным является следующий спо-
соб. Данное уравнение |
распадается |
на два: x = |
a |
и x = - |
a . |
|
Решая |
каждое из них |
и объединяя |
полученные |
ответы, найдем |
||
x = ± |
a + pk . |
|
|
|
|
|
Другой способ. Поскольку x 2 = sin 2 x , то, |
заменяя sin2 x |
и |
||||
|
|
|
cos 2 x |
|
|
|
cos2 x по формулам понижения степени, после небольших преоб-
разований получим cos 2x = |
1 |
- a |
, |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
+ a |
|||
откуда x = ± |
1 |
arccos |
1 |
- a |
+pk . |
|||
|
|
|
||||||
2 |
1 |
+ a |
|
|
||||
На первый взгляд, никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако если возьмем, на-
пример, a = 7 - 4 3 , то окажется, что 1 - a = |
3 , т.е. уравнение |
|||||
|
|
|
p |
1+ a |
2 |
|
x2 = 7 - 4 3 |
имеет решение x = ± |
+ pk , в то время как первый |
||||
|
||||||
|
|
12 |
|
|
||
способ нас |
приводит к |
ответуx = ± 7 - 4 3 + pk . «Увидеть» и |
||||
доказать равенство 7 - 4 |
3 = p не так просто. |
|||||
|
|
12 |
|
|
|
|
Ответ: x = ±
a +pk .
4.2.3. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений
Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.
Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, располо-
71
женных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.
В общем случае, если разность прогрессии P , нулевой член N , формула для любого ( n -го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:
xn = Pn + N.
4.2.4. Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии
1.Если к нулевому члену N прибавить или отнять разность прогрессии P , то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.
2.Если коэффициент при переменной величинеn умно-
жить на -1, то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.
3. Если m последовательных членов бесконечной прогрессии xn = Pn + N , например,
N , N + P , N + 2P , ..., N + (m -1)P ,
сделать центральными членами m прогрессий с одинаковой разностью, равной Pm :
xn(1) = Pmn + N ,
xn(2) = Pmn + (N + P),
xn(3) = Pmn + (N + 2P),
K
xn(m) = Pmn + (N + (m -1)P),
то прогрессия и ряд прогрессий выражают собой одни и те же числа.
Пример 1. Ряд |
xn = 5n + 4 |
может быть заменен следующи- |
|||
ми тремя рядами: x(1) |
= 15n + 4 , |
x(2) |
= 15n + 9 , |
x(3) |
= 15n +14 . |
n |
|
n |
|
n |
|
72
Если m бесконечных прогрессий с одинаковой разностью M имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью M , то эти m рядов могут быть
m
заменены одной прогрессией с разностьюM и с центральным
m
членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если
|
|
|
xn(1) |
= Mn + N , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
xn(2) = Mn + (N + |
M |
), |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
xn(3) |
= Mn + (N + 2 |
M |
), |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
K |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
xn( m) = Mn + (N + (m -1) |
), |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
M |
|
|
то эти m прогрессий объединяются в одну: |
x = |
n + N. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
m |
||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: x = |
n + N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2. x(1) |
= 8n +1, x(2) = 8n + 3 , |
x(3) |
= 8n + 5 , |
|||||||||
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
||||
xn(4) = 8n + 7
Решение. Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.
Объединяются в одну группуx = 2n +1, так как
n
3 -1 = 5 - 3 = 7 - 5 = M = 8 = 2 . m 4
Ответ: 2.
4.2.5. Разложение на множители
Метод разложения на множетели заключается в следующем: если
73
f (x) = f1 (x) f2 (x)K fn (x),
то всякое решение уравнения
f (x) = 0
является решением совокупности уравнений
f1 (x) = 0, f2 (x) = 0, K, fn (x) = 0.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции f (x) .
Пример. Решить уравнение
(2 sin x - cos x)(1+ cos x) = sin 2 x .
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде
(2sin x - cos x)(1+ cos x) =
=1 - cos2 x Ü (2sin x - cos x)(1+ cos x) =
=(1- cos x)(1+ cos x) Ü (1+ cos x)(2sin x -1) = 0.
Ответ: x = p + 2pk ; x = (-1)k p + pk .
6
4.2.6. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Пример 1. Решить уравнение:
sin x + sin(x + p ) = 0 . 4
Решение. Применим |
формулу, |
получим равносильное |
||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
p |
ö |
p |
|
|
2sinç x + |
|
÷cos |
|
= 0. |
||
8 |
8 |
|||||
è |
|
ø |
|
|||
Ответ: x = -p + pn . 8
74
Пример 2. Решить уравнение:
cos3x + sin(9x + 2) = 0 .
Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать
формулу приведения cos 3x = sin(p - 3x) . В итоге получим равно-
2
сильное уравнение
æ p
2sinç + 3x
è 4
Ответ: x = - 1 - p + p k ,
3 12 3
ö |
æ p |
ö |
|
||
+1÷cosç |
|
- 6x -1÷ |
= 0. |
||
4 |
|||||
ø |
è |
ø |
|
||
x = - 1 - p + p n .
6 24 6
4.2.7. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
Пример 1. Решить уравнение
cos 3x + sin x sin 2x = 0.
Решение. Применив формулы тригонометрии, получим равносильное уравнение:
cos x + 1 cos x - 1 cos 3x = 0, 2 2
1cos 3x + 1 cos x = 0,
22
cos 2x cos x = 0.
Ответ: x = p + pk , p + pn .
4 2 2
Пример 2. Решить уравнение
cos 3x cos 6x = cos 4x cos 7 x .
Решение. Применив формулы тригонометрии, получим равносильное уравнение:
75
1 |
(cos 9x + cos 3x) = |
1 |
(cos11x + cos 3x), |
|
2 |
2 |
|||
|
. |
|||
cos 9x - cos11x = 0, |
|
|||
2sin10x sin x = 0.
Ответ: x = pn .
10
4.2.8. Решение уравнений с применением формул понижения степени
При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.
Пример. Решить уравнение
sin2 x + sin 2 2x -sin 2 3x -sin 2 4x = 0 .
Решение. Применяя |
|
формулы |
тригонометрии, получим |
|||||||
равносильное уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1- cos 2x |
+ |
1- cos 4x |
- |
1- cos 6x |
- |
1-cos 8x |
= 0 Ü |
||
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|||||
Ü(cos 8x - cos 2x) + (cos 6x - cos 4x) Ü
Ü-2 sin 3x sin 5x - 2 sin x sin 5x = 0 Ü
Ü-2sin 5x(sin 3x + sin x) = 0 Ü -4sin 5xsin 2x cos x = 0 .
Ответ: x = pn ; p + pm .
52
4.2.9Решение уравнений с применением формул
тройного аргумента
Пример 1. Решить уравнение
cos 3x - 2cos x = 0 .
Решение. Применим формулы тригонометрии, получим уравнение
76
|
|
|
|
|
æ |
1 |
ö |
|
|
cos x(4 cos2 x -1) = 0 Ü cos xçcos 2x + |
|
÷ |
= 0. |
||||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
||
Ответ: x = |
p |
+ pk ; |
x = ± |
p |
+ pm . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Решить уравнение
cos 4x = cos2 3x .
Решение. Применим формулы понижения степени получим
2 cos2 2x -1 = 1 + cos 6x . 2
Применяя формулы тригонометрии получаем:
4 cos 2 2x - 2 = 4 cos 3 2x - 3cos 2x +1, |
|
||||||
4 cos 3 2x - 4 cos 2 2x - 3cos 2x + 3 = 0, |
. |
||||||
(cos 2x -1)(2cos 2x - 3)(2cos 2x + |
3) = 0. |
||||||
Ответ: x = pn ; x |
2 |
= ± |
p |
+ |
pk |
. |
|
1 |
12 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
4.2.10. Равенство одноименных тригонометрических функций
éa - b = 2pn, sin a = sin b Ü ê
ëa + b = p + 2pn. cos a = cos b Ü a ± b = 2pn.
ì
ïa - b = pn,
ï |
p |
|
|
ï |
|
+ pk, |
|
a = b Ü ía ¹ |
|
|
|
2 |
|
||
ï |
|
|
|
ï |
p |
|
+ pm. |
ïb ¹ |
2 |
|
|
î |
|
|
Пример 1. Решить уравнение
sin 5x = sin 3x .
77
Решение. Используем формулы двойного угла получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é5x - 3x = 2pn, |
|
|
éx = pn, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ü |
ê |
p |
|
pn |
|
|||||||||
sin 5x = sin 3x Ü ê |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë5x |
+ 3x = p + 2pn. |
êx = |
|
+ |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
pn |
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
||
Ответ: |
x = pn , |
x |
2 |
= |
+ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x2 + 2sin2 x = 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Преобразуем уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos x 2 + 2 sin 2 x = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
cos x 2 = 1 - 2sin 2 x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
cos x 2 = cos 2x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
éx 2 |
- 2x - 2pn = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ê |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
+ 2x - 2pn = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ëx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
éx = 1 ± 1+ 2pn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 0,1,2,K. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
êx = -1 ± 1 + 2pn, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
x = |
± |
1 |
± |
|
1 |
+ p |
n = 0,1,2,K |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 n, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 3. Известно, что x и y |
удовлетворяют уравнению |
||||||||||||||||||||||
(1 + x)(1+ y) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти сумму x + y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Из уравнения следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + y = |
|
2 |
|
Ü y = |
1 - x |
Ü |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
1 + x |
|
|
|
|
|
||||||||
78
|
|
|
p |
- x |
|
p |
|
p |
|
||
Ü y = |
|
4 |
Ü y = ( |
- x) Þ x + y = |
+ pk. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
p |
|
|
|
|||||||
|
1 + |
x |
4 |
4 |
|
||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: x + y = p + pk .
4
4.2.11. Домножение на некоторую тригонометрическую функцию
Рассмотрим суммы вида:
S1 = sina + sin 2a + sin 3a +K+ sin na,
S2 = cosa + cos 2a + cos3a +K+ cos na.
Данные суммы можно преобразовать в произведение, дом-
ножив и разделив их на sin a , тогда получим
2
|
sin |
na |
sin |
(n +1)a |
|
|
sin |
na |
cos |
(n +1)a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S1 = |
2 |
2 |
, S2 |
= |
2 |
2 |
. |
||||||||
|
|
sin |
a |
|
|
|
sin |
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:
79
|
|
æ |
|
nh ö |
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)h |
|
|
||||||||
|
sinç x |
+ |
|
|
|
|
÷sin |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
sin x + sin(x + h) +K+ sin(x + nh) = |
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nh |
2 |
|
|
|
|
|
(n +1)h |
|
|||||||
|
|
æ |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
cosç x + |
|
|
|
|
÷sin |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
cos x + cos(x + h) +K+ cos(x + nh) = |
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
h |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos |
nx |
sin |
(n +1)x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1+ cos x + cos 2x +K+ cos nx = |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1. Решить уравнение
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0 .
Решение. Видно, что множество x = 2pn является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части
уравнения на sin x не приведет к появлению лишних корней.
2
Имеем sin 2x sin 5x = 0 . 2
Ответ: x = p k ; x = 2p n . 2 5
Пример 2. Решить уравнение
sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x .
Решение. Домножим левую и правую части уравнения на
sin x и, применив формулы преобразования произведения три-
2
гонометрических функций в сумму, получим
2sin 3x (sin 2x - cos 2x) = 0. 2
80