Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

уравнения, то из полученных множеств решений следует исклю-

чить x = 2pl . Значит, во множестве x = 2p k нужно исключить

Пример 3. Решить уравнение

sin8 + cos8 x = 17 cos2 x . 16

Решение. Преобразуем выражение sin 8 x + cos8 x :

Ответ: x = p + pn .

84

4.2.12.Сведение тригонометрических уравнений

калгебраическим

Если уравнение имеет вид

a cos 2x + b sin 2 x + c cos2 x + d sin x + e = 0,

то замена y = sin x приводит его к квадратному, поскольку cos2x = 1 - 2sin2 x .

81

сводится к квадратному уравнению

(a - d )sin2 x + bsin x cos x + (c - d )cos2 x = 0,

при которых cos x = 0 , не являются корнями уравнения, и, сделав замену y = x , уравнение сводится к квадратному.

Пример. Решить уравнение

3cos 2x + sin2 x + sin 2x = 1 .

После упрощений получим:

3sin2 x - 2sin x cos x - 2cos2 x = 0 .

Разделим почленно на cos2 x , сделаем замену y = x :

3 y2 - 2 y - 2 = 0, y = 1 ± 7 . 3

Возвращаясь к x , найдем x = 1 ± 7 + pk .

3

Ответ: x = 1 ± 7 + pk .

3

4.2.13. Уравнения, однородные относительно sin x , cos x

Рассмотрим уравнение вида

a0 sinn x + a1 sinn -1 x ×cos x + a2 sinn -2 x ×cos2 x +K K+ an-1 sin x × cosn -1 x + an cosn x = 0,

где a0 , a1 , a2 ,..., an-1 , an - действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны n , т. е.

82

сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна n . Такое

уравнение называется однородным относительно sin x и cos x , а число n называется показателем однородности.

Ясно, что если a0 = 0 , то уравнение примет вид

cos x(a1 sinn-1 x + a2 sinn-2 x ×cos1 x +K + an-1 sin x ×cosn-2 x + an cosn-1 x)= 0,

x

решениями которого являются значения, при которых

cos x = 0 , т. е. числа x = p + pn , n Î Z . Второе уравнение, запи-

2

санное в скобках, также является однородным, но степени на 1 ниже. Если же a0 ¹ 0 , то эти числа не являются корнями уравнения.

При x = p + pn получим: cos x = 0 , sin x = ±1 и левая

2

часть уравнения принимает значение ± a0 ¹ 0 .

разделить обе части уравнения на cosn x . В результате получаем уравнение:

a0 n x + a1n -1x + a2 n -2 x +K+ an -1x + an = 0,

которое подстановкой x = y легко сводится к алгебраическому:

a0 y n + a1 yn-1 + a2 y n-2 + K+ an -1 y + an = 0.

Однородные уравнения с показателем однородности 1. При

83

x = - 3 , x = - 3 + pn , n Î Z .

Пример 2. При n = 2 получим однородное уравнение вида a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0.

Решение. Если a ¹ 0 , тогда разделим обе части уравнения на cos2 x , получим уравнение a2 x + bx + c = 0 , которое подстановкой x = y легко приводится к квадратному: ay2 + by + c = 0 .

Если D = b2 - 4ac ³ 0 , то уравнение имеет действительные кор-

4

Данная задача относится к соотношениям

a0 sin2n x + a1 sin2n-1 x × cos x + a2 sin2n-2 x ×cos2 x +K K+ a2n-1 sin x × cos2n-1 x + a2n cos2n x = q,

84

x = - 3 , x = - 3 + pn, n ÎZ;

44

x= 2, x = 2 + pk, k Î Z.

Ответ: - 3 + pn, n ÎZ ; 2 + pk, k Î Z .

4

Пример 5. Решить уравнение

3sin x - 4 cos x = 5 .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения:

(3sin x - 4cos x)2 = 52 , 9 sin 2 x - 24 sin x cos x + 16 cos 2 x = 25 ,

85

9 sin 2 x - 24 sin x cos x +16 cos2 x - 25sin2 x - 25 cos2 x = 0,

16 sin2 x + 24 sin x cos x + 9 cos2 x = 0,162 x + 24x + 9 = 0.

Пусть x = y , тогда получим 16y2 + 24y + 9 = 0 ,

(4 y + 3)2 = 0 , y = - 3 .

4

x = - 3 , x = - 3 + pk, k Î Z. 4 4

Ответ: - 3 + pk, k Î Z .

4

4.2.14. Уравнения, решаемые с помощью тождеств sin2n x + cos2n x

Полезно знать следующие формулы:

Пример 1. Решить уравнение

sin4 x + cos4 x = sin 2x .

Решение. Используя формулы тригонометрии, получаем

Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода: a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab,

следовательно,

86

где R - рациональная функция. С помощью тригонометрии можно свести к рациональному уравнению относительно аргументовsin x , cos x , x , x , после чего уравнение может быть сведено к алгебраи-

87

Следует отметить, что применение формул тригонометрии может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, посколь-

ку x не определен в точках x = p + 2pk , поэтому в таких случа-

2

ях нужно проверять, являются ли углы x = p + 2pk корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

sin x + x = 0 . 2

Решение. По условию задачи x ¹ p + 2pk . Применив фор-

мулы тригонометрии и сделав замену t = x , получим

sin 2x = 2sin x cos x , получим

1 - v2 -12v +12 = 0,

88

Ответ: x = p + 2pk

2

4.2.16.Нестандартные тригонометрические уравнения

Впрактике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ог-

раниченности функций sin x и cos x . Например:

Пример 1. Решить уравнение

sin 5x - 2 cos 2x = 3 .

Решение. Поскольку sin 5x £ 1 , - cos 2x £ 1, то левая часть

не превосходит 3 и равна 3, если ìí sin 5x = 1,

îcos 2x = -1.

Для нахождения значенийx , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

89

Решение. Воспользуемся свойством показательной функ-

ции: sin 8 x £ sin 2 x , - cos5 x £ cos2 x .

Сложив почленно эти неравенства, будем иметь

sin 8 x - cos5 x £ sin 2 x + cos2 x = 1.

Следовательно, левая часть данного уравнения равна 1 тогда и только тогда, когда выполняются два равенства

sin8 x = sin 2 x, - cos5 x = cos2 x,

т. е. sin x может принимать значения -1, 0 , 1, а cos x может принимать значения -1, 0 .

определения обратной тригонометрической функцииf (x, y)

имеем - p £ f (x, y) £ p и -1 £ 2| x| + y £1.

2 2

90