Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

Так как f (x, y) £ p , то из уравнения следует неравенство

2

log2 ( y +1) ³ 0 , т.е. y ³ 0 . Поскольку 2| x| + y £1 и y ³ 0 , то 2| x| £1 и | x |£ 0 . Однако | x |³ 0 и поэтому x = 0 .

Если 2| x| + y £ 1 и x = 0 , то y £ 0 . Так как ранее было установлено, что y ³ 0 , то y = 0 .

Ответ: x = 0 , y = 0 . Пример 5. Решить уравнение

1 - x2 (sin2 x -14sin x cos x - 5cos2 x + 33 33) =

= arcsin2 x + arccos2 x - 5 p 2 4

Решение. Областью допустимых значений уравнения являются -1 £ x £ 1. Первоначально покажем, что функция

f (x) = sin 2 x -14sin x cos x - 5cos 2 x + 333 33

при любых x может принимать только положительные значения. Представим функцию y = f (x) следующим образом:

f (x) = 1 + 33 33 -14sin x cos x - 6 cos2 x =

=33 33 - 2 -14sin x cos x - 3(2cos2 x -1) =

=33 33 - 2 - (7sin 2x + 3cos 2x).

Поскольку - a2 + b2 £ a sin 2x + b cos 2x a2 + b2 , то имеет место - 58 £ 7 sin 2x + 3cos 2x £ 58 , т.е.

f (x) ³ 33 33 - 2 - 58 .

Следовательно, для доказательства неравенства f (x) > 0

необходимо показать, что 33 33 > 2 + 58 . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

27 ´33 > 8 +12 58 + 6 ´58 + 58 58,

891 > 356 + 70 58,535 > 70 58,107 > 14 58,

91

1072 > (14 58)2 ,11449 > 11368.

Полученное численное неравенство свидетельствует о том,

=2 arccos x -p arccos x - p 2 =

=(2arccos x + p )(arccos x -p ).

превосходит 0 . Зная, что левая часть уравнения неотрицательна, равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны 0 , а это возможно лишь при x = -1.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решить уравнение

2 sin 3x cos x + 3sin 5x cos3x = 4 + cos2 x.

да следует, что - 13 £ f (x) £ 13 . C другой стороны, имеет место

g(x) ³ 4 > 13 . Следовательно, уравнение не имеет корней. Ответ: Æ .

92

Пример 7. Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Ответ: x = 0 .

4.3.17. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Не всякое уравнение f (x) = g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f (x) и g(x) , как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке I , то при наличии у уравнения f (x) = g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором.

93

и решим его как квадратное относительно x . Тогда получим

венный корень x = -1. Ответ: x = -1.

94

Ответ: x = 1.

Пример 4. Решить уравнение

- 2 3p sin x =| x + p | + | x - 2p | .

Решение. Рассмотрим уравнение на трех промежутках.

а) Пусть x < -p . Тогда на этом множестве исходное урав-

- 2 3p sin x £ 2 3p , - 2x + p ³ 5p , а 2 3p < 5p .

На промежутке (-2p;-p ) исходное уравнение так же не

имеет корней, т. к. - 2 3p sin x < 0 , а - 2x + p > 3p .

б) Пусть - p £ x £ 2p . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

- 3 sin x = 3p Ü sin x = - 3 , 2

корнями которого на промежутке [-p;2p ] являются числа - 2p ,

3

-p , 4p , 5p .

3 3 3

95

в) Пусть x > 2p . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

2x - p > 5p , а 2 3p < 5p .

Ответ: x = - 2p , - p , 4p , 5p . 3 3 3 3

4.2.18. Метод симметрии

Метод симметрии удобно применять, когда в формулировке задания присуствует требование единственности решения уравнения, неравенства, системы и т.п. или точное указание числа решений. При этом следует обнаружить какую-либо симметрию заданных выражений. Нужно также учитывать многообразие различных возможных видов симметрии. Не менее важным

лишь необходимые условия, а затем требуется проверка их достаточности.

Сразу же отметим, что другие значения a не могут удовлетворять условию задачи.

96

Но пока неизвестно, все ли отобранные a в действительности удовлетворяют условию задачи.

Достаточность:

1)a = 0 , уравнение примет вид x2 = 0 Ü x = 0 ;

2)a = 2sin1, уравнение примет вид:

x2 - 4sin1sincos x + 4sin21 = 0 Ü x2 + 4sin21 = 4sin1sincos x. О

97

Если xo ¹ 0 , то из предыдущих равенств получаем:

3 - 4 sin2 xo » 8.

1- 4sin2 xo

Решив полученное уравнение, получим: x » ±25o . Выполненные вычисления представляют возможность

предположить, что корнями уравнения, принадлежащими отрезку [-90o;90o ] , являются - 25o , 0o и 25o .

Ответ: непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу. Таким образом, доказано, что корнями уравнения являются только целые числа 180o k , ± 25o +180o n .

Пример 2. Решить уравнение cos 4 x = cos2 x .

3

Решение. Найдём основной период уравнения. У функции cos2 x основной период равенp . Основной период функции

дем приближенные значения корней уравнения. Для этого со-

Из таблицы легко усматриваются следующие гипотезы: корнями уравнения, принадлежащими отрезку [0;3p ] , являются числа: 0; 0,25p ; 1,25p . Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу.

98

Ответ: x = 0,25p + 3pn ; x = 1,25p + 3pm ; x = 3kp .

Задачи для самостоятельного решения

Решите уравнения:

1) sin x = 113p .

355

2) cos x cos 2x cos 4x cos 8x = 1 . 16

3) sin8 cos8 x = 0,02.

99

4) sin x = cos x;

5)cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

6)3cos 2x + sin 2 x + sin 2x = 1.

11)cos x = 1 .

12)cos3x = cos2 x + sin 2 x .

15)1 + cos 2x - cos2 x = 1.

16)sin x cos 2x = 0 .

17)(1- sinx)tgx = 0.

18)2 cos 2 x - 1 sin4x = 1.

100