Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

Ответ можно записать в другом виде. Для этого считаем

k = 2n, n Î Z и k = 2n +1, n Î Z.

Получим

k = 2pn, n Î Z; x = p + 2pn, n Î Z.

61

Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения.

1.sin px 2 = sin p æç x 2 + 2x ö÷.

èø

2.sin 2 x - cos 2 x = cos x .

Решение уравнений с применением формул понижения степени. При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени:

sin 2 a = 1 (1 - cos 2a ); 2

cos 2 a = 1 (1 + cos 2a ). 2

Пример 3. Решить уравнение

sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0.

Решение. Применив формулу понижения степени, получим

1- cos 2x + 1- cos 4x - 1 - cos 6x - 1- cos 8x = 0 « 2 2 2 2

«(cos 8x - cos 2x)+ (cos 6x - cos 4x)= 0 «

«-2 sin 3x ×sin 5x - 2 sin x ×sin 5x = 0 «

«-2sin 5x(sin 3x + sin x)= 0 « 4sin 5x ×sin 2x ×sin x = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений sin 5x = 0,sin 2x = 0, cos x = 0, которые имеют соответственно следующие множества решений

62

Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения.

1. sin4 x + cos4 x = sin 2x - 0,5.

2. sin10 x + cos10 x = 29 cos 4 2x. 16

4.1.7. Уравнения, решающиеся методом универсальной подстановки

Решение уравнений методом универсальной подстановки. Тригонометрическое уравнение вида

R(sin kx,cos nx,mx,lx) = 0,

где R – рациональная функция, k, l, m, n Î Z , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов sin x, cos x, tgx, ctgx, после чего уравнение может быть сведено к рациональному уравнению относительно

t = tgx с помощью формул универсальной тригонометрической

2

подстановки

63

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению области допустимого значения исходного урав-

x = p + 2pk, k Î Z корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

sin x + tg x = 0. 2

Решение. По условию задачи x = p + 2pk, k Î Z . Применив

формулы и сделав замену tgx = t , получим

2

2t + t = 0,

1 + t 2

откуда t = 0 и, следовательно, x = 2pk, k Î Z. Ответ: x = 2pk, k Î Z.

Пример 2. Решить уравнение

64

оказывается полезным использовать такие свойства функцийf(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X, то при наличии у уравненияf(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если функция f(x) на промежутке X ограничена сверху,

65

Иногда для решения уравненияf(x)=g(x) можно построить графики функции y = f(x), y = g(x) и определить абсциссы точек пересечения. В этом параграфе также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений.

Пример. Решить уравнение

cos px = x 2 - 4x + 5.

Решение. Преобразуем уравнение к виду cospx = (x - 2)2 +1.

Так как cos px £ 1. , а (x - 2)2 + 1 ³1, то последнее уравнение равносильно системе

ìcos px = 1,

ï

í

ï(x - 2)2 +1 = 1.

î

Второе уравнение системы имеет единственный корень х = 2, подставляя его в первое уравнение, убеждаемся, что он удовлетворяет ему. Следовательно, х = 2 - корень системы, а значит, и уравнения.

Ответ: х=2.

Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения.

1. x2 + (1 + x)sin px = 3 + x .

4.2. Элементарные тригонометрические уравнения

Элементарные тригонометрические уравненияэто уравнения вида f (kx + b) = a , где f (x) одна из тригонометрических функций: sin x , cos x , x , x .

66

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бес-

корни уравнения sin x = a , где | a |£1, такова: x = (-1)n arcsin a +pn.

Здесь n может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) n называют параметром. Записывают обычно n Î Z , подчеркивая тем самым, что параметр n принимать любые целые значения.

Уравнение x = a решается, применяя формулу x = a +pn, n Î Z ,

а уравнение x = a - по формуле

x = a +pn, n Î Z.

Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

67

68

4.2.2. Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения - преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип - не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей «цепочки» (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шагазамены переменных превращаются в алгебраические, а возращение к тригоно-

69

метрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратиться к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений -за ключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения sin x = a (| a |£1) ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий:

x1 = arcsin a + 2pk , x2 = p - arcsin a + 2pk , k Î Z ;

2) в стандартной форме, представляющей собой объединение указанных выше серий: x = (-1)k arcsin a + pk , k Î Z ;

что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

1 - a 2

| a |< 1 , мы можем заменить arcsin a на arcsin a = a .

1 - a 2

Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения sin x = a работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения cos x = a .)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.

Пример. Решить уравнение x2 = a (a > 0) .

70