Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
Таблица 2.3
21
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
3.1. Теоремы сложения для суммы и разности аргументов |
|
|||
|
Выражение, в котором переменная содержится под знаком |
|
||
тригонометрических функций, |
называют тригонометрическим. |
|
||
Для |
преобразования |
выражений |
используют |
свойств |
тригонометрических функций и формулы тригонометрии. Рас- |
|
|||
смотрим знаки тригонометрических функций (рис. 3.1). |
|
|||
Рис. 3.1. Знаки тригонометрических функций
Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:
cos2 a + sin 2 a = 1, 1 + tg2a = |
1 |
, a ¹ |
p |
+ pn, n ÎZ; |
|
|
|||||
cos 2a |
|||||
|
2 |
|
|||
tga = |
sin a |
, |
ctga = |
cosa |
, |
1 + ctg2a = |
|
1 |
|
, a ¹ pn, n ÎZ ; |
|||||||||
cos a |
sin a |
|
|||||||||||||||||
sin |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||
|
|
|
seca = |
1 |
|
|
, |
coseca = |
1 |
|
|
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
sin a |
|
|||||||||||||
|
|
|
cos a |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
tga × ctga =1, |
a ¹ |
, |
n ÎZ. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
ctga = |
|
|
, |
|
|
|||||||
|
|
|
tga = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
tga |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ctga |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 + tg2a = sec2 a, |
|
|
1 + ctg 2a = cosec2a. |
|||||||||||||
22
Основные формулы сложения двух аргументов: sin(a + b ) = sin a cos b + cos a sin b,
sin(a - b ) = sin a cos b - cosa sin b , cos(a + b ) = cos a cos b - sin a sin b, cos(a - b ) = cosa cos b + sina sin b,
tg(a + b ) = |
|
|
tga + tgb |
, |
|
|
a, b, a + b ¹ |
p |
+pn, n ÎZ. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 - tga × tgb |
|
|
2 |
|
|
||||||||||
tg(a - b) = |
|
tga - tgb |
|
, a, b, a - b ¹ |
p |
|
+pn, n ÎZ. |
||||||||
|
+ tga × tgb |
|
|||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
ctg(a + b ) = |
ctga ×ctgb -1 |
, |
ctg(a - b) = |
ctga ×ctgb +1 |
. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ctgb + ctga |
|
|
|
|
|
ctgb - ctga |
||||||
3.2. Теоремы сложения для кратных аргументов
Формулы двойного и половинного аргумента sin 2a = 2 sina cosa;
cos 2a = cos 2 a - sin 2 a =1 - 2sin 2 a = 2 cos 2 a -1;
tg2a = |
2tga |
; |
сtg 2a = |
сtg 2a -1 |
; |
|
|
||||
1 - tg 2a |
|
|
2сtga |
||
sin 3a = 3sin a - 4 sin3 a; cos 3a = 4 cos 3 a - 3cos a; tg3a = 3tga - tg3a ; сtg3a = сtg 3a - 3сtga ;
1 - 3tg 2a |
|
3сtg 2a -1 |
|
sin a = ± |
1 - cosa ; |
cos a = ± 1 + cosa ; |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
tg a = ± |
1 - cosa = |
sina |
= 1 - cosa ; |
2 |
1 + cosa |
1 + cos a |
sin a |
ctg a = ± |
1 + cosa = |
sin a |
= 1 + cosa . |
2 |
1 - cosa |
1 - cosa |
sin a |
23
|
2tg |
a |
|
|
|
1 - tg 2 |
a |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
sina = |
|
, |
sin a = |
|
|
a |
, |
|||
1 + tg 2 |
a |
1 + tg |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 + cos a = 2 cos 2 |
a |
, |
|
1- cosa = 2sin 2 |
a |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
tg |
2 |
a |
= |
1 - cos a |
, |
tg |
a |
= |
|
sin a |
= |
1 - cosa |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
1 + cos a |
2 |
1+ cosa |
|
sina |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В общем случае для больших значенийn выражение для sina и cos a на основе формулы для комплексных чисел:
n
cos na + i sin na = (cos a + sina )n = åi k Cnk cos n -k a sin k a.
k =0
3.3. Теоремы произведения тригонометрических функций
Формулы преобразования произведения в сумму:
sin a sin b = 1 [cos(a - b ) - cos(a + b )], 2
cosa cos b = 1 [cos(a - b ) + cos(a + b)], 2
sina cos b = 1 [sin(a - b ) + sin(a + b )], 2
sin b cos a = 1 [sin(a + b ) - sin(a - b )]. 2
sin(a + b )×sin a( - b )= sin 2 b - cos2 a, cos(a + b )×cos(a - b )= cos 2 b - sin 2 a,
tga × tgb = |
|
tga + tgb |
|
= - |
|
tga - tgb |
, |
|
|
ctga + ctgb |
|
|
|||||||
|
|
|
ctga - ctgb |
||||||
ctga ×ctgb = |
ctga + ctgb |
|
= - |
tga - tgb |
. |
||||
tga + tgb |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ctga - ctgb |
||||
24
3.4. Формулы снижения степени тригонометрических функций
3.5. Теоремы сложения для суммы и разности функций
Формулы сложения тригонометрических функций:
sin a + sin b = 2 sin |
a + b |
×cos |
a - b |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin a - sin b = 2 sin |
a - b |
× cos |
a + b |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos a + cos b = 2 cos |
a + b |
×cos |
a - b |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos a - cos b = -2 sin |
a + b |
×sin |
a - b |
, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
sin(a + b ) |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
tga + tgb = |
|
, a, b, ¹ |
p |
+pn, |
n ÎZ. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
cos a ×cos b |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
tga - tgb = |
sin(a - b ) |
, |
ctga + ctgb = |
sin(a + b ) |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
cos a ×cos b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin a ×sin b |
|
|||||||||||
a, b, ¹ pn, n Î Z. |
ctga - ctgb = - |
sin(a - b ) |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin a ×sin b |
|
|||||||||||||
cosa + sina = |
æ p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p |
ö |
|
||||||||||||
2 sinç |
+a ÷ = |
|
|
2 cosç |
-a ÷, |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
è 4 |
|
|
ø |
|
|
|
è 4 |
|
ø |
|
|||||||||||||||
25
|
æ p |
ö |
= |
|
æ p |
ö |
|
|
cos a - sina = 2 sinç |
-a ÷ |
2 cosç |
+a ÷, |
|||||
è 4 |
ø |
|
è 4 |
ø |
|
|||
tga + ctgb = |
cos(a - b ) |
, |
ctga - tgb = |
cos(a + b) |
. |
|||
|
|
|||||||
|
cosa ×sin b |
|
|
|
sin a × cos b |
|||
3.6. Формулы приведения тригонометрических функций
Для формул приведения (табл. 3.1):
- функция изменяется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не изменяется при переходе через горизонтальную;
- для приведенной функции ставится знак приводимой функции, считая a углом первой четверти
Таблица 3.1
Наиме- |
|
|
|
|
|
|
|
Значение аргумента β |
|
|
|
|
|
|||||
нование |
-a |
|
p |
-a |
|
p |
+a |
p -a |
p +a |
|
3p |
-a |
|
3p |
+a |
2p -a |
2p +a |
|
функции |
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sin β |
-sina |
|
cosa |
|
cosa |
sina |
-sina |
-cosa |
-cosa |
-sina |
sina |
|||||||
cos β |
cosa |
|
sina |
|
-sina |
-cosa |
cosa |
-sina |
|
sina |
cosa |
cosa |
||||||
tg β |
- tga |
|
ctga |
|
- ctga |
- tga |
tga |
|
ctga |
- ctga |
- tga |
tga |
||||||
ctg β |
- ctga |
|
tga |
|
- tga |
- ctga |
ctga |
|
tga |
|
- tga |
- ctga |
ctga |
|||||
Значение тригонометрических функций некоторых углов дано в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Угол в |
00 |
30º |
45º |
60º |
90º |
180º |
270º |
360º |
|||||||||||
градусах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол в ра- |
0 |
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
p |
|
3p |
|
2p |
|
дианах |
6 |
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
sina |
0 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
1 |
|
0 |
-1 |
|
0 |
||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos a |
1 |
3 |
2 |
|
1 |
|
0 |
|
-1 |
0 |
|
1 |
|||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
tga |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
3 |
нет |
0 |
нет |
0 |
||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ctga |
Нет |
3 |
1 |
|
3 |
0 |
|
нет |
0 |
|
нет |
||||||||
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26
Пример 1. Вычислить sin 750 .
Решение. Имеем sin 750 = sin(300 + 450 ). .Воспользуемся формулой сложения двух аргументов и получим:
sin( 30 0 + 45 0 ) = sin 30 0 cos 45 0 |
+ cos 30 0 sin 45 0 = |
||||
= 1 × 2 + 3 × 2 = 2 + |
6 . |
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
4 |
|
Ответ: 
2 + 
6 . 4
Пример 2. Известно, что
.
Найти cost.
Решение. Из формулы, связывающей одинаковые аргументы тригонометрических функций, получаем
.
Подставив заданное значение синуса, получим
.
Значит cos t = |
4 |
либо cos t = - |
4 |
. |
5 |
5 |
|
||
По условию, p < t < 3p , т.е. аргумент принадлежит
2
четверти. В III четверти косинус отрицателен, значит cos t = - 4 . 5
Ответ: -0,8.
Пример 3. Упростить выражение tgt – ctgt. Решение.
tgt - ctgt = |
sin t |
|
cos t |
|
sin 2 t - cos 2 t |
|
- |
= |
|
= |
|||
cos t |
|
|
||||
|
|
sin t |
cos t sin t |
|||
27
= - |
cos 2 t - sin 2 t |
= -2 |
cos 2t |
= -2ctg 2t. |
||
|
|
|
|
|||
|
1 |
sin 2t |
|
sin 2t |
||
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
Ответ: - 2ctg2t.
3.7. Определение обратных тригонометрических функций
Функции, обратные к тригонометрическим функциям, называются обратными круговыми или обратными тригонометрическими функциями.
éy = sin x ù |
|
|
||||||
ê |
|
|
|
ú |
|
|
||
Функции, обратные к функциям: êy = cos xú, |
|
|
||||||
êy = tgx |
ú |
|
|
|||||
ê |
|
|
|
ú |
|
|
||
ëy = ctgx |
û |
|
|
|||||
é2k -1 |
p, |
|
2k +1 |
p |
ù |
|||
ê |
|
|
|
|
|
ú |
||
|
2 |
|
2 |
|||||
ê |
|
|
|
|
ú |
|||
|
|
(k +1)p |
|
|||||
принадлежащие каждому интервалу: êkp, |
|
ú |
||||||
ê |
|
|
|
|
|
2k +1 |
|
ú, |
ê2k -1 |
p, |
|
p |
ú |
||||
ê |
|
2 |
|
|
2 |
ú |
||
ê |
|
|
(k +1)p |
|
ú |
|||
ê |
|
|
|
ú |
||||
ëkp, |
|
û |
||||||
éарксинусом |
ù |
|
éy = arcsin x ù |
|
|
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
называются êарккосинусом |
ú |
и |
êy = arccos x |
ú |
. |
êарктангенсом |
ú |
обозначаются |
ú |
||
|
êy = arctgx |
|
|||
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
ëарккотангенсомû |
|
ëy = arcctgx |
û |
|
|
Наиболее часто используются обратные тригонометрические функции при k = 0, которые имеют главные значения и обо-
значаются y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx, y = arcctgx. |
|
|
||||||||
Например, |
æ |
1 |
ö |
|
p |
|
|
p |
|
|
arcsin 0 = 0, arccosç |
|
÷ |
= |
|
,arctg1 |
= |
|
. |
||
2 |
3 |
4 |
||||||||
|
è |
ø |
|
|
|
|
||||
Свойства обратных тригонометрических функций приведены в табл. 3.3 и 3.4, а также на рис. 3.2.
28
Рис. 3.2. Обратные тригонометрические функции
29
Таблица 3.3
30