Основы тригонометрии (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

Пусть

cos x = t, (t £ 1), 2

тогда уравнение примет вид:

t1 = 1

t2 = - 2 . 3

Оба корня уравнения удовлетворяют условию допустимого значения t, следовательно, переходим к обратной замене:

cos x =1; 2

x = 4pk, l ÎZ.

Примеры для самостоятельного решения

1. Решить уравнение

13

+- 4 = 0.

2. Решить уравнение

cos(10x +12)+ 4 2 sin(5x + 6)= 4.

3. Решить уравнение

2tg2 x + 3 = 3 . cos x

4.1.4. Однородные уравнения

Уравнение вида

a0 sinn x + a1 sinn -1 x × cos x + a2 sinn -2 x × cos2 x +K K+ an -1 sin x × cosn-1 x + an cosn x = 0,

где a0 , a1 , a2 ,..., an-1 , an - действительные числа, называются

51

однородными уравнениями степени n относительно функций sinx и cosx. К такому виду квадратичных уравнений приводятся уравнения вида:

Asin 2 ax + B sin ax cos ax + C cos 2 ax + E sin 2ax + F cos 2ax + D = 0,

при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла

sin 2a = 2sin a ×cosa;

cos 2a = cos 2a - sin 2a = 1 - 2 sin 2a = 2 cos 2a -1,

а также тождество

D= Dæçsin 2ax + cos 2ax ö÷.

èø

Применив формулу cosa - cos b = -sin a - b ×sin a + b , получим

52

откуда

2x + p = pk, k Î Z; x - p = pn, n Î Z.

Предварительно покажем вид однородной функции от двух переменных U и V первой степени, например, 3U + 2V; второй степени:

U 2 - 3UV + V2 ;

третьей степени:

5U 3 + U 2V - UV 2 -V 3

и т.д., сформировав понятия выражения, однородного относительно переменных U и V.

Для лучшего усвоения и закрепления идеи, необходимо решить ряд уравнений.

Пример 2. Решить уравнение

2(x 2 - x + 3) 2 - 3(x 2 - x + 3)( x + 7) + (x + 7) 2 = 0 .

Решение. Обозначим

x 2 - x + 3 = V , x + 7 = U .

Получается однородное уравнение второй степени:

2V 2 - 3UV +U 2 = 0 .

53

Имеем 2 случая: U = V или V = 0,5U;

Как правило, на практике очень часто встречается

U= cos x,

V= sin x.

Пример 3. Решить уравнение

2cos x - 3sin x = 0.

Решение. Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить наcosx. При этом получится равносильное уравнение. Чтобы в этом удостовериться, покажем, что уравнение cosx = 0 не содержит корней данного уравнения.

Действительно, если

54

Но это невозможно, так как cos2 x + sin 2 x =1. Следова-

тельно, имеем равносильное уравнение

tgx = 2 ; 3

x = arctg 2 = pn, n ÎZ. 3

Ответ: x = arctg 2 = pn, n Î Z. 3

Пример 4. Решить уравнение

4 cos 2 x + sin 2 x - 5sin x cos x = 0.

Решение. Это однородное уравнение второй степени. Получим равносильное уравнение после деления обеих частей урав-

нения на cos2 x :

tg2 x - 5tgx + 4 = 0,

x = p + pk, k Î Z , 4

x = arctg4 + pn, n Î Z.

Ответ: x = p + pk, k Î Z, x = arctg4 + pn, n Î Z. 4

Примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения.

1.5sin 2 x - 4sin x cos x - cos 2 x = 0.

2.sin3 x + 4 cos3 x = 0.

3.sin 4 x + sin3 x ×cos x + +sin 2 x ×cos 2 x + sin x ×cos 3 x + cos 4 x =1.

55

4.1.5. Уравнения, решающиеся разложением на множители

При решении уравнений такого типа необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Метод разложения на множители заключается в следующем. Если f (x)= f1(x)f2 (x)... fn (x), то всякое решение уравнения

f (x)= 0

является решением совокупности уравнений

f1(x )= 0, f2 (x )= 0, ..., fn (x )= 0.

Обратное утверждение неверно: не всякое решение совокупности уравнений является решением данного уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции f (x).

Поэтому если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни.

Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Пример 1. Решить уравнение

cos x(3tgx - 5) = 0.

Решение. Используя данное правило, получим:

ìcos x = 0

í

îcos x ¹ 0

или

56

Пример 2. Решить уравнение

4 cos x sin x + 2 cos x + 2sin x +1 = 0.

Решение. Сгруппируем соответствующие слагаемые, получим:

(2 cos x +1)(2 sin x +1) = 0,

x = ± 2p + 2pn, n Î Z , 3

x = (-1) k +1 p + pk, k Î Z. 6

Уравнения вида

acosx + bsin x = c(a ×b ×c ¹ 0).

Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле:

a cos x + b sin x = a 2 + b2 cos( x -j),

x = (-1) k +1 p + pk, k Î Z.

Ответ: 6

Пример 3. Решить уравнение

3 cos x + sin x = 2 ; a = 3;

b = 1;

a 2 + b2 = ( 3)2 +12 = 4 = 2

j = p

6 .

57

Решение. Так как это решение системы

Подставляя в формулу, получаем:

2cos(x - p ) = 2; 6

cos(x - p ) =1; 6

x - p = 2pn, n Î Z. 6

Ответ: x - p = 2pn, n Î Z. 6

Пример 4. Решить уравнение

5cosx +12sinx = 13.

Подставляя в формулу, получаем

cos( x - arctg 12) =1, 5

x = arctg 12 + 2pn, n Î Z. 5

Ответ: x = arctg 12 + 2pn, n Î Z. 5

58

К сожалению, нечасто внимание обращается на преобразование выражения

a cos x + b sin x .

Формула может быть приведена в таком виде

a cos x + bsin x = a2 + b2 cos(x -j),

где tgj = b . a

Такая запись приведёт к ошибке, если, например, a и b отрицательны.

Примеры для самостоятельного решения

1. Решить уравнение

2. При всех значениях а решить уравнение

sinasin 2 x = tgasin x × cos x . 2 2

3. При всех значениях а решить уравнение

asin 2 x = tgx. cosx

4.1.6. Уравнения, решающиеся с помощью введения вспомогательного аргумента

Рассмотрим метод решения уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Решим уравнение

a sin x + b cos x = c, a2 + b2 ¹ 0.

Разделим левую и правую часть уравнения на a 2 + b2 :

59

то существует угол φ такой, что

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно от-

Пример 1. Решить уравнение

sin x + cos x =1.

Решение. Разделим левую и правую часть уравнения на 2 . Тогда получим

60