Оптимизация самообразования средствами коммуникативных и информационных технологий. Монография

бесконечное множество решений.

5. Решите систему x + 2 y = −1 .

2x − 5y = 9

6. Исследуете систему в зависимости от параметра a:

x + y + az =1x + ay + z =1 .

ax + y + z =1

4x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 8

7. Решите систему: 3x1 − 2x2 + x3 − 3x4 = 7 .

5x1 − 3x2 + x3 − 8x4 = 1

III этап. Творческие и исследовательские самостоятельные работы (реферат, курсовая работа). Тренировоч-

ные самостоятельные работы выполняются по образцу: решение типовых задач, заполнение таблиц, схем, решение задач различными методами и т.д. Цель такого рода работ – закрепление знаний, формирование умений, навыков у студентов. В ходе реконструктивных самостоятельных работ происходит перестройка решений, составление плана, тезисов, аннотирование. На этом уровне выполняются рефераты. Творческие и исследовательские самостоятельные работы требуют анализа проблемной ситуации, получение новой информации. Исследовательские самостоятельные и творческие работы должны быть выполнены с помощью корректной с научной точки зрения методики, которые имеют полученный с помощью этой методики собственный эксперимен-

131

тальный материал, на основании которого делаются анализ и выводы о характере исследуемого явления. Особенностью таких работ является непредопределенность результата, который могут дать исследования.

Соответственно с данной темой на этом этапе можно давать следующие задания:

1.В чем заключается метод Гаусса для решения систем линейных уравнений?

2.Всякую ли систему линейных уравнений можно решить методом Гаусса?

3.В каких случаях можно и в каких случаях нельзя применять правило Крамера? Приведите примеры.

3 1 2 4

способами. Как вы считаете, какой из предложенных вами способов рациональнее? Докажите почему.

5. Исследуйте, при каких условиях система имеет единственное решение (бесконечное множество решений, не имеет ни одного решения):

6. Найдите постоянные коэффициенты A, B, C, удовлетворяющие тождеству

132

IV этап. Выполнение учебных и исследовательских проектов. Реализация метода проектов и исследовательского метода на практике ведет к изменению позиции преподавателя. Из носителя готовых знаний он превращается в организатора самостоятельно познавательной, исследовательской деятельности своих обучаемых.

Методика работы над проектом: подготовительный, практический и обобщающий этапы.

На первом этапе осуществляется разработка заданий для самостоятельной работы. На втором этапе осуществляется практическое использование подготовленного материала для самостоятельной работы обучаемых, на третьем – подведение итогов, защита проекта.

Рассмотрим учебный проект «Применение систем линейных уравнений в экономике» (табл. 12).

Цель: показать приложения систем линейных уравнений к решению экономических задач; сформировать умение решать экономическиезадачиспомощьюсистем линейныхуравнений.

Оформление результатов проекта возможно в виде реферата, электронного пособия, презентации.

Таблица 12

Учебный проект «Применение систем линейных уравнений в экономике»

133

Примерные экономические задачи, которые могут быть использованы для выполнения учебного проекта

1. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

лансированность торговли этих стран? [57, c. 136-137].

2. Выяснить, какие из приведенных матриц являются продуктивными [100]:

134

5. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S1; S2; S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы в табл. 13.

135

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви [100]. Рассмотрим выполнение учебного проекта «Применение систем линейных уравнений в экономике» по выделенным этапам. Первый этап состоял в составлении глоссария с экономическими и математическими терминами, необходимыми для решения поставленной задачи.

Математические термины [56]

– Матрицей (числовой матрицей) размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

aij – элемент матрицы A , где i – номер строки, j – номер столбца, i = 1; 2; …; m; j = 1; 2;…; n.

–В случае, когда число строк матрицы равно числу ее столбцов, т.е. m = n, она называется квадратной матрицей порядка n.

–Квадратная матрица называется единичной, если aii =

1, aij = 0; i = j.

–Две матрицы A = (aij) и B = (bij) одинакового размера называются равными (A = B), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: aij = bij.

–Суммой матриц A = (aij) и B = (bij) одинакового размера называется матрица C = (cij), элементы которой имеют

вид cij = aij+bij; i = 1; 2; …; m; j = 1; 2; …; n. В этом случае пишем C = A + B.

– Произведением матрицы A = (aij) на действительное число λ называется матрица λA = (λaij).

136

–Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка.

–Умножение матрицы A на матрицу B определено только в тех случаях, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

–Произведением матрицы A размера m×k на матрицу

B размера k×n называется матрица C = (cij), элементы которой имеют вид:

–Рангом матрицы называется ранг системы ее векто- ров-строк (или векторов-столбцов).

–Пусть A – квадратная матрица. Матрица A−1 называет-

ся обратной по отношению к матрице A, если их произведение равно единичной матрице: AA−1 = A−1A = E.

–Определителем квадратной матрицы порядка n

(определителем n-го порядка) называется составленная в соответствии с правилом знаков алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Определитель n-го порядка обозначается так:

– Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

137

– Матрица, составленная из коэффициентов уравнений системы, т.е.

называется матрицей системы.

– Если обозначить через X матрицу-столбец неизвестных, а через B матрицу-столбец свободных членов:

то система запишется в виде одного матричного уравнения:

AX = B.

– Добавив к матрице A столбец свободных членов, по-

лучим расширенную матрицу системы:

138

Решением системы называется набор чисел

x1 = a1, x2 = a2, … , xn = an,

при подстановке которых в эту систему все уравнения обращаются в тождества.

Экономические термины

–Пусть предприятие из m видов ресурсов производит n видов продукции. Пусть для производства одной единицы

j-го вида продукции расходуется aij единиц i-го вида ресурса. Матрица A = (aij) называется технологической.

–Чистая отрасль – это условное понятие, некоторая часть хозяйства, относительно цельная, производящая свой однородный продукт и определяемая только видом выпускаемого продукта [56, c. 131].

соотношениями баланса, где xi – объемы валового продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления, xij – объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства i = 1, 2, …, n.

– Соотношения баланса могут быть записаны:

коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты про-

139

дукции i-й отрасли на производство единицы продукции у j-й отрасли;

б) в матричном виде:

X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта, A – матрица прямых затрат.

– Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Вектор X находится по формуле:

X= (E − A)−1Y = SY.

–Матрица S = (E−A)−1 называется матрицей полных

затрат, элемент которой sij показывает величину валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли yj = 1;

(j = 1; 2; …, n).

–Матрица A ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора Y ≥ 0 существуетрешение X ≥ 0 уравнения (*).

–Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами про-

140