Оптимизация самообразования средствами коммуникативных и информационных технологий. Монография

5. Исследуйте систему в зависимости от параметра a:

x + ay = 1ax + y = a.

(5 баллов).

6. Найдите многочлен f(x) = ax2+ bx + c, удовлетворяющий условиям

f(−1) = 1; f(1) = 3; f(5) = 31. (4 балла)

Рассмотрим, как предложенная самостоятельная работа способствуетдостижениюпоставленныхцелейиформированию приемовпознавательнойдеятельностистудентов(табл. 9, 10).

121

Ответы для самопроверки

3. а) Подставляя в данную систему значение (x = 1; y = 1;

2 1+ 3 1+ 4 1 = 9

z = 1), получаем 1+ 5 1− 1 = 5 .

4 1+ 13 1+ 2 1 = 19

Это три тождества, поэтому (x = 1; y = 1; z = 1) является одним частным решением данной системы.

Аналогично (x = −22; y = 7; z = 8) тоже является одним частным решением системы.

б) Оба (x = 1; y = 1; z = 1) и (x = −22; y = 7; z = 8) есть частные решения данной системы, следует, что эта система имеет более одного решения. Поэтому она имеет бесконечное множество решений.

4. Решение методом Гаусса.

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений включает в себя две составляющие: прямой и обратный ходы

(табл. 11).

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к виду, когда диагональ, состоящаяиз единичек, отсекаетнули.

Исключим переменную x из всех уравнений, за исключением первого.

Таблица 11

122

Окончание табл. 11

На втором этапе решения (обратный ход) будем последовательно находить переменные из получившейся ступенчатой системы.

123

– Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы:

z= − 74.

–Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы:

y − 2z = 2.

Из данного уравнения найдем значение переменной y:

y = 2z + 2.

Подставим ранее найденное значение переменной z:

y = 2 (− 74) + 2

y = 76 .

– Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы:

x + 2y + 3z = 1.

Из данного уравнения найдем значение переменной x: x = 1 − 2y − 3z.

Подставим ранее найденные значения переменных y; z:

x = 1− 2 · 76 − 3 · (− 74 )

x = 1.

124

Ответ: x = 1; y = 76 ; z = − 74 .

Решение методом Крамера.

Вычислим главный определитель основным способом для детерминанта третьего порядка:

= 1 · ( − 1) · 5 + 1 · 2 · 2 − 1 · ( − 1) · 3 − 2 · 2 · 5= − 14.

Видим, что он не равен нулю, теперь вычислим дополнительные определители тем же методом:

– Заменим 1-й столбец главного определителя ∆ на столбец произвольных коэффициентов:

x= 1 (−1) 5 + 0 1 3 + (−1) 2 2 − (−1) (−1) 3 − 1 1 2 − 0 2 5 = −14.

Заменим 2-й столбец главного определителя ∆ на столбец произвольных коэффициентов:

125

Если ∆ = (1−a)(1+a) ≠ 0, т. е. a ≠ ±1, система имеет единственное решение:

x = x = 1, y = y = 0.

Если ∆ = (1−a)(1+a) = 0, т. е. a = ±1, система имеет бес-

Второй способ. ( Матричный метод) Запишем расширенную матрицу системы:

Из строки (2) вычесть строку (1), умноженную на a:

127

нию x + y = 1, поэтому данная система имеет бесконечное

нению x−y = 1, поэтому данная система имеет бесконечное

число.

6. Многочлен f(x) = ax2 + bx + c удовлетворяет условиям f(−1) = 1; f(1) = 3; f(5) = 31 тогда и только тогда:

Из уравнения (2) вычесть уравнение (1), получается 2b = 2, следует, что b = 1. Подставляя ранее найденное значение переменной b, получаем систему:

Ответ: f(x) = x2 + x + 1.

128

II этап. Самостоятельная работа по расширению, углублению и приобретению новых знаний по теме, работа с научной и научно-популярной литературой. В на-

стоящее время наблюдается уменьшение объема аудиторных занятий ряда учебных дисциплин, поэтому роль самостоятельной работы обучающихся возрастает. Важным условием эффективности самостоятельной работы является обеспеченность обучающихся учебниками и учебными пособиями. При наличии необходимой учебной литературы возникают трудности, связанные с недостаточным умением обучающихся ориентироваться в сложном материале, и с организацией контроля и самоконтроля усвоения учебного материала. Методы самостоятельной работы особенно становятся активным и должны способствовать:

–расширению, закреплению, углублению знаний, полученных в аудитории;

–активному приобретению новых знаний;

–развитию творческого подхода к решению поставленных проблем;

–проявлению индивидуальности студента;

–формированию практических навыков в решении ситуационных задач.

Однако по математическим дисциплинам все же имеются учебники и учебные пособия, но обучающиеся ограничены в возможности ими воспользоваться. С одной стороны, из-за отсутствия данной литературы в библиотеке, с другой – даже при ее наличии в других учебных заведениях обучающиеся одного учебного учреждения не могут обслуживаться

вбиблиотеке другого.

Чтобы устранить эти недостатки и трудности, необходимо:

– предлагать вспомогательную учебно-методическую литературу, которая позволяет обучающимся самостоятельно переработать большой объем информации;

129

–использовать коллективные формы изучения учебников, которые ограничатся в количестве;

–использовать информационные и коммуникационные технологии, позволяющие обучающимся беспрепятственно получать необходимую информацию для самостоятельной деятельности и др.

В процессе структурирования содержания самостоятельных работ и особенно в разработке их типов и видов эта

задача должна выступать в качестве средств логической и психологической организации учебного процесса. И в данном случае задача, как ядро любой самостоятельной работы, во-первых, выступает пусковым началом самостоятельной деятельности; во-вторых, детерминирует в соответствии с дидактическими целями занятий определенную структуру учебной деятельности обучающихся.

Вопросы и задания для самостоятельной работы

1.Найдите метод решения систем линейных уравнений, предложенный Гауссом, Крамером.

2.Найдите информацию об учебных математиках, занимавшихся исследованием проблемы решения систем линейных уравнений, и подготовьте реферат.

3.Какая система не имеет сходства с остальными?

130