Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

где cos

; cos

;

cos

являются координатами единичного

l 2

l 2 .

вектора

, а

Найдем длину вектора

52 62 2 5 2 25 36 20 81 9.

Тогда cos

;cos

2 5

Частные производные функции u x, y, z

в точке M (1; 1; 2) имеют

значения:

2xy2 z

2 1 1 2 4;

2x 2 yz

2 1 1 2 4;

1 1

2 1

Подставив в формулу, найдем:
u		5		2		2 5		5	2	4

l	4		4		0		4				.

	M	9		3		9		9	3	9

Градиент скалярного поля u x, y, z есть вектор gradu , направлен!

ный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания поля. Вычисляем его по формуле

gradu u i u j u k

x y z

Подставив значения частных производных в последнюю формулу, получим:

gradu 4i 4 j .

Задача 13. Найти формулу вида y ax b методом наименьших квадратов по данным таблицы:

x	1	2	3	4	5
y	5,9	6,9	5,4	3,4	3,9

Решение

Найдем коэффициенты a и b путем минимизации суммы

S a,b yi axi b 2 .

i 1

По данным таблицы составим систему двух линейных уравнений:


yi xi a xi2 b xi 0,

i 1	i 1	i 1


	a xi bn 0,
yi
i 1	i 1

решив которую найдем параметры a и b. Предварительно вычислим суммы:

xi yi 5,9 13,8 16,2 13,6 19,5 69;

i 1

xi2 1 4 9 16 25 55;

i 1

xi 1 2 3 4 5 15;

i 1

yi 5,9 6,9 5,4 3,4 3,9 25,5.

i 1

Составим систему уравнений:

55a 15b 69

3a b 5,1 b 5,1 3a,

55a 76,5 45a 69,

10a 7,5 a 0,75, 2 b 5,1 2,25 7,35.

Искомая формула имеет вид:

y 0,75x 7,35. График искомой зависимости приведен на рис. 7.

y
9
8
7
6
5
4
3
2
1					x
0
1	2	3	4	5	9,8
-1
			Рис. 7

Контрольная работа №2 Комплексные числа. Неопределенный и определенный

интегралы. Кратные и криволинейные интегралы. Несобственные интегралы

Задача 14. Найти решения уравнений в комплексной области

1. z2 4z 20 0				2. z2 z 5 0
3. z2 8z 41 0				4. z2 3z 4 0
5. z2 2z 5 0				6. z2 5z 7 0
7. z2 6z 10 0				8. z2 7z 13 0
9. z2 2z 7 0				10.	z2 4z 5 0
11.	z2 10z 26 0			12.	z2 z 2 0
13.	z2		3z 5 0	14.	z2 2z 6 0
15.	z2		5z 8 0	16.	z2 6z 11 0
17.	z2		4z 6 0	18.	z2 10z 30 0
19.	z2 12z 40 0			20.	z2 3z 3 0
21. z2 11z 40 0				22.	z2 3z 1 0
23.	z2	5z 9 0		24.	z2 6z 13 0
25.	z2	20z 105 0		26. z2 20z 110 0
27.	z2		8z 41 0	28.	z2 6z 10 0
29.	z2	5z 9 0		30.	z2 2z 5 0

Задача 15. Даны комплексные числа z1, z2, z3 .

Найти модуль и аргумент комплексных чисел z1, z2, z3 и изо

бразить их на чертеже.

Записать комплексные числа z1 и z2

в тригонометрической фор

ме и выполнить следующие действия: z

;

z3 ,

4 z

Записать комплексные числа z1

и z2

в показательной форме и

выполнить следующие действия: z z

;

, z5

4 z .

Записать комплексное число z3

в арифметической форме и вы

полнить следующие действия: z

;

z z

;

1. z1		1 i, z2			1 3i,					z3										i sin
1. z1		1 i, z2			1 3i,					z3	3 cos						4			i sin					4
																	4								4
2.	z1	1 i,		z2 1					3i,		z3										i sin
2.	z1	1 i,		z2 1					3i,		z3	2 cos						4			i sin					4
																		4								4
		2 2i,							3														2			i sin						2
3.	z1				z2						3i,				z3				cos
3.	z1				z2						3i,				z3				cos				3
																							3									3
4.		2 2i,							3														2			i sin						2
	z1				z2						3i,				z3				cos
	z1				z2						3i,				z3				cos				3
																							3									3
5.	z1		7	21i,			z2 4 4i,							z3 cos
5.	z1		7	21i,			z2 4 4i,							z3 cos													i sin
																								4											4
																								3											3
6.	z1		2		6i,			z2		2		6i,				z3 sin														i cos
6.	z1		2		6i,			z2		2		6i,				z3 sin							2							i cos						4
																							2						4						2	4
7.	z1		2	6i,		z2				6		2i,																		i sin
7.	z1		2	6i,		z2				6		2i,				z3 5 cos												6		i sin				6
																												6						6
																									5								5
8.	z1		2		7i,			z2		7		7i,				z3 cos													i sin
8.	z1		2		7i,			z2		7		7i,				z3 cos									6				i sin					6
																									6									6
9.	z	2 2		3i,		z	2	3	3i,		z		3		cos i sin
	1						2						3				6								6
																	6								6
10. z1 3 3i,						z2 2				3 2i,					z3	cos						i sin
10. z1 3 3i,						z2 2				3 2i,					z3	cos					3	i sin									3
																					3										3

11. z1 1 i,	z2	3 i,	z3	3
					cos
						3


i sin
		3

12. z1 1 i,	z2 3	3 3i,	z3	3
					sin	2	3


i cos	2	3

13.	z1	2 2i,		z2 1 3i,	z3		2
13.	z1	2 2i,		z2 1 3i,	z3		2	sin		2			i cos			2
										2		4				2	4
	z1		3 i,	z2 5 5i,		2
14.					z3		cos		2			i sin 2
14.					z3	2	cos		2			i sin 2
						2					4						4
15.	z1	2	2 2	6i, z2 10 10i,								4					4
15.	z1	2	2 2	6i, z2 10 10i,		z3 2 cos						4		6	i sin		4	6
														6				6

16. z1			10		z2 7 7i,	z3 2		5	i sin		5
				30i,			cos
				30i,			cos	2
								2			2
17.	z1	7 7i,		z2	10 30i,	z3 cos9 i sin 9
			7 21i,		z2 3 3i, z3			5		5			5	5
18.	z1					7 cos					i sin
18.	z1					7 cos		2			i sin	2
								2		3		2		3

						10					z2		9 9i,																	5										5										5				5
19.	z1							30i,								z3 7 sin																														i cos
19.	z1							30i,								z3 7 sin																										3				i cos						2		3
																														2												3										2		3
20.		z1				5		5i, z2					10		30i,							z3 2											sin 4 i cos4
						7					z2 7 7i,					z3 4															7					i sin									7
21.	z1							21i,															cos
21.	z1							21i,															cos								2
																															2															2
						7					z2		13									z3 4																					7			i sin				7
22.	z1							21i,							13i,																		cos
22.	z1							21i,							13i,																		cos									2								2
																																										2								2
23.	z		7 7i,					z			21		7i,		z			cos							10							i sin											10
23.	z		7 7i,					z	2		21		7i,		z	3		cos														i sin
		1							2							3												4																4
																												4																4
24.	z1					21		7i,			z2		10		30i,									z3 cos																10							i sin				10

																																										4										4
																																										4										4
																														7																			7
25.	z1		3 3i,						z2			21		7i,				z3 sin																							i cos
25.	z1		3 3i,						z2			21		7i,				z3 sin													2										i cos												6
																															2						6												2				6
			7 7i,						z2			21		7i,				z3 4																	7				i sin									7
26.	z1																											cos
26.	z1																											cos								2
																																				2													2
27.	z1		1			3i,		z2 1 i,					z3 3													i sin
27.	z1		1			3i,		z2 1 i,					z3 3				cos					4				i sin										4
																						4														4
				7									2						z3															5				i sin									5
28.	z1						7i,			z2				7i,													cos
28.	z1						7i,			z2				7i,													cos								6
																																			6													6
29.	z1		1			3i,		z2 1 i,					z3 3													i sin
29.	z1		1			3i,		z2 1 i,					z3 3				cos					4				i sin										4
																						4														4
30.	z1		2			3 2i,				z2	3 3i,			z3			cos
30.	z1		2			3 2i,				z2	3 3i,			z3			cos							3				i sin														3
																								3																		3
Задача 16. Найти неопределенные интегралы:
	x			x																		3
1. а)	x			x	dx									б)							sin		x						dx
1. а)					dx									б)							cos		2						dx
		x		x																	cos					x
в)				8x 18						dx				г)							dx

		x 2 5 x 3																	3 x			x
		x 2 5 x 3																	3 x			x
2. а) x5 1 x6							7							б)					cos3 x
							dx																					dx
							dx												sin			4		x				dx
																			sin					x
																												2
в) 3x 2 e 2x dx														г)							x 1											dx
в) 3x 2 e 2x dx														г)							2											dx
																				x 2				1

3.	а)		x 3dx
		3 2 x 4

	в) x 2 sin 2xdx
4.	а)		dx

		x	1 ln2 x

xdx

в) x 1

5.а) 1 2x 2 3 dx


в)			2x 1 cos xdx
6. а)			sin x		dx
6. а)	1		5cos x		dx
	1		5cos x
в)			x 4dx
в)		1 x		10
		1 x

7. а) xe 1 x 2 dx

1 x 2

в)	x 1		dx
	2x	1

8. а) 12sin x cos xdx

в) 3 3x 1 1

3ln x

9. а) x dx

dx в) x 3 x

10. а)	sinln x 3	dx

	x
в)	dx

	x 2 x

б) tg3 xdx

г)

4x 2

б) sin 7x cos xdx

г)

x 2 x 1

3x 2 2x

б) ctg3 2xdx

г)

6dx

б) arcsin x dx 1 x 2

3x 2 5x 6

г) x 2 6 x 2 4x 16 б) sin2 3x cos3 2xdx

г)

6x 17 dx

x 4 x 2 x 6

б) sin5 4xdx

г)

x 2dx

x 1

б)

sec2 x

4 tg2 x

г)

2x 10

x 2 5 x 2 2x 5

б)

1 5cos2 x sin 2xdx

x 3 2x 2 x

г)

x 2

x 2 1

			1 2
11.	а)	x		dx

			x

в)

1 x

12. а) 8x 16

в)

xdx

x 4

13. а)

1 x

в)

2x 9

14. а) x 42x 2 7 dx

в)

x 1

15. а)

x e

в)

x 2 dx

x 3

x 1

16.

а)

earcsin x 1 dx

1 x 2

в)

x 9

17.

а)

xdx

1 x

в)

1 4 x

б) x 4 cos x5 1 dx


г)	x 2	12x 14 dx
	x 1		2	x 4

cos xdx б) 7 sin3 x

10dx

г) x 2 1 x 2 9

б) ecos2 x sin 2xdx

г)

4x 29 dx

2x 3 x 2 x 5

б)

sin x cos xdx

3 sin4 x

г)

2x 2 7x 2

б) sin

cos

г)

3x 2 4x 10

2x 1 x 2 4

б) sin3 x 3 cos xdx

г)

11x 25 dx

x 1

x 2 5x 6

б) sin3 4x cos5 4x dx

2xdx

г) x 1 x 2 1

18.а) x 3dx x 8 5

в) 6 3 x 4 3 x 2

19. а) 3 1 ln x 2 dx x

в)

x 5

20.

а)

2 3x

в)

x 1

3 3x

arccos

21. а)

4 x 2

в)

xdx

2x 1 1

22. а)

x ln x

в)		dx
	3 x 2	2 x

23. а) ex x 2 (1 2x)dx

	в)			8		x 3		dx
	в)					x		dx
						x
24. а)				e	6 x
				e			dx
		3		e		6 x	dx
		3		e				dx
	в)				x 3 x			dx
	в)			4 x5 6 x7
				4 x5 6 x7
25.	а)					dx

		1 x 2 arctgx
		1 x 2 arctgx
	в)				2x 3				dx
	в)								dx
			3 2x 3 1

б) cos5x cos4x dx

г) x 2 7,5x 2,5 dx x 2 x x 5

б) cos2 4xdx

г)

4 4x

б)

cos

г)

4x 2 3x 45

9x 27

б)

sin 4x

1 cos

г)

x 2

5x 7 dx

2 x 2 x 1

б) sin 3x sin7xdx

г)

4xdx

б) sin2 x sin 3xdx

г)

б)

2 tg3 x sin2 x

cos

г)

x 3

x 2 18x 17

б)

1 cos3 x sin 2x cos xdx

г)

x 3

2x 2 2x

2x 1

26. а) e2x 2 ln x dx
в)		1 x	dx
в)			dx
		x
27. а)		xdx
27. а)		2x 2 5
		2x 2 5
в)		2x 3 dx
в)		x 2 2x 5
		x 2 2x 5
28. а)		dx

	x 4 ln2 x
	x 4 ln2 x
в)		2x 2		dx

		x 2 8x 1
		x 2 8x 1
29. а) 4sin x cos xdx
в)		2x 2 dx
в)		x 2 6x 11
		x 2 6x 11
30. а)		dx

	x 3 ln x
	x 3 ln x
в)		2x 9 dx
в)		x 2 8x 7
		x 2 8x 7

sin4x

б) sin4 x cos4 x dx

4x 3

г) x 2 3 2x 2 4x 3 dx б) sin 4x sin 34x dx

x 2dx

г) x 3 5x 2 8x 4

б) sin3 x dx cos6 x

x 4 1

г) x 3 x 2 x 1dx

б) 2x 3 sin xdx

2x 3 dx

г) x 2 3x 2 x 4 б) sin10 x cos3 xdx

3x 1

г) x 3 7x 2 12x dx

Задача 17. Вычислить определенные интегралы:

3		x	2		1			dx
1. a) x 3		x		5x dx ,	б)			dx
1. a) x 3				5x dx ,	б)	4x	2	4x 5
0	2				0	4x		4x 5

2					6	x 2 9
2						x 2 9
в) x cosx dx ,					г)				dx
в) x cosx dx ,					г)	x		4	dx
0					3	x
0					3
2		1			9
2. a) x 2		1		2x dx ,	б) 3 x 1dx
2. a) x 2		4		2x dx ,	б) 3 x 1dx
1		x			2
1					2
1					2			dx
в) ln x 1 dx ,					г)			dx

						16 x 2 3
0					0	16 x 2 3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]