Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Ва р и а н т 26

1.По прогнозу метеорологов, вероятность дождя – 0,3; вероятность ветра – 0,6; вероятность повышения атмосферного давления – 0,4. Найти вероятность того, что будет или дождь, или ветер.

2.Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания

вцель при одном выстреле из первого орудия равна 0,9, для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадет в цель, б) только два снаряда попадут в цель, в) все три снаряда попадут в цель, г) хотя бы один стрелок поразит цель.

3.На общий конвейер поступают детали с двух станков. Вероят% ность получения стандартной детали с первого станка равна 0,85, со второго – 0,8. На втором станке деталей производится в три раза больше, чем на первом. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь стандартная.

4.Вероятность своевременного прибытия поезда на станцию при% нимается 0,9. Определить вероятность того, что из четырех ожидаемых поездов прибудут своевременно: а) не менее трех поездов, б) хотя бы один поезд.

5.Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 x2 . Известны вероятность p1 =0,1,

=3,9 и дисперсия D X =0,09. Найти

закон распределения случайной величины X.

6. Дана функция распределения случайной величины X:

0	при	x 0,

x
F x	при	0 x 5,

5	при	x 5.
1

Найти плотность вероятности	f x , построить графики		f x и

F x , вычислить математическое ожидание M X и дисперсию D X .

171

Ва р и а н т 27

1.Студент знает 25 вопросов из 30 вопросов в программе. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, предложенные ему экза% менатором.

2.Рабочий обслуживает два станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки для первого станка равна 0,8, для второго – 0,7. Найти вероятность того, что: а) за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего, б) оба станка потребуют вмешательства рабочего.

3.Вероятность того, что для проведения измерений будет взят пер% вый прибор, равна 0,3, второй – 0,3 и третий – 0,4. Вероятность неис% правности в первом приборе равна 0,2, во втором – 0,1, а в третьем – 0,3. Какова вероятность получить неверный отсчет?

4.Сто станков в цехе работают независимо друг от друга. Вероят% ность бесперебойной работы каждого из них в течение смены равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение смены бесперебойно прорабо% тают: а) ровно 70 станков, б) от 60 до 80 станков.

5.Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 x2 . Известны вероятность p1 =0,5, мате%

=3,5 и дисперсия D X =0,25. Найти закон

распределения случайной величины X .

6. Дана функция распределения случайной величины X :

		x			3	,
0	при
0	при				2
					2
			3
			3
F x cos x	при			x			0,
F x cos x	при		2	x			0,
	при		2
1	при	x 0.


Найти плотность вероятности	f x , построить графики							f x и

F x , вычислить математическое ожидание M X и дисперсию D X .

172

Ва р и а н т 28

1.В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт – 14 штук, по 75 Вт – 16 штук. Вынуты наудачу 2 лампы. Какова вероятность того, что они одинаковой мощности?

2.Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,8, второго – 0,9, третьего – 0,7. Найти вероятность того, что абитуриент сдаст успешно: а) только один экзамен, б) только два экзамена, в) все три экзамена.

3.На общий конвейер поступают детали с двух станков. Вероят% ность получения стандартной детали с первого станка равна 0,9, со второго – 0,7. На втором станке деталей производится в два раза меньше, чем на первом. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь стандартная.

4.Испытываются 20 двигателей. Вероятность безотказной работы каждого двигателя равна 0,85. Определить вероятность того, что безот% казно будет работать: а) ровно 18 двигатель, б) от 14 до 19 двигателей.

5.Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 x2 . Известны вероятность p1 =0,4,

=3,6 и дисперсия D X =0,24. Найти

закон распределения случайной величины X .
6. Дана функция распределения случайной величины X:
0			при	x 0,
	1

F x		x2	при	0 x 4,

16			при	x 4.
1

Найти плотность вероятности			f x , построить графики		f x и

F x , вычислить математическое ожидание M X и дисперсию D X .

173

Ва р и а н т 29

1.В ящике 20 деталей, среди которых 15 деталей окрашены. Науда% чу извлекают 3 детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окрашены.

2.Прибор состоит из трех узлов, каждый из которых независимо друг от друга может отказать в течение часа. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы первого узла – 0,8; второго – 0,9, третьего – 0,7. Найти вероятность безотказной работы прибора в целом.

3.В цехе работают 20 станков. Из них 8 станков марки А, 7 – марки

Ви 5 – марки С. Вероятность того, что качество детали, изготовленной на одном из этих станков, окажется отличным, для этих станков соответственно равна 0,7, 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется отличного качества.

4.Пять процентов строительных блоков не соответствуют стандар% ту. Какова вероятность того, что среди четырех выбранных блоков не соответствуют стандарту: а) не менее трех, б) более двух блоков.

5.Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 x2 . Известны вероятность p1 =0,3,

математическое ожидание M X =3,7 и дисперсия D X =0,21. Найти закон распределения случайной величины X .

6. Дана функция распределения случайной величины X:
0			при	x 0,
	1

F x		x	при	0 x 3,
	3
			при	x 3.
1

Найти плотность вероятности			f x , построить графики		f x и

F x , вычислить математическое ожидание M X и дисперсию D X .

174

Ва р и а н т 30

1.Для некоторой местности число пасмурных дней в мае равно 10. Найти вероятность того, что первого и второго мая будет ясная погода.

2.Два спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятность зачисления в сборную команду для первого спортсмена равна 0,8, второго – 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один из них попадет в сборную, б) оба спортсмена попадут в сборную.

3.В цехе работают 20 станков. Из них 7 станков марки А, 8 – марки

Ви 5 – марки С. Вероятность того, что качество детали, изготовленной на одном из этих станков, окажется отличным, для этих станков соответственно равна 0,8, 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется отличного качества.

4.В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность: а) два автомобиля, б) менее двух.

5.Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 x2 . Известны вероятность p1 =0,2,

=3,8 и дисперсия D X =0,16. Найти

закон распределения случайной величины X .

6. Дана функция распределения случайной величины X:


	при	x 0,
0	при	x 0,
	при	0 x				,
F x sin x	при	0 x			2	,
					2
	при	x		.
1	при	x	2	.
			2
Найти плотность вероятности	f x , построить графики						f x и

F x , вычислить математическое ожидание M X и дисперсию D X .

175

Задача 7. В результате 100 измерений люфта (в градусах) в рулевом управлении автомобилей получены следующие значения:

4.85	4.64	4.66	4.46
4.49	4.59	4.62	4.57
4.72	4.57	4.61+0.01N	4.58
4.71+0.01N	4.84%0.01N	4.74	4.75
4.68	4.75	4.69	4.59
4.52	4.71	4.63	4.45
4.53+0.01N	4.69	4.82	4.40+0.01N
4.69	4.78	4.34	4.51
4.70	4.66	4.72	4.81%0.01N
4.44	4.63	4.76	4.53
4.42	4.80	4.65+0.01N	4.54
4.53	4.62	4.68	4.51
4.90	4.54	4.83	4.39
4.61	4.55+0.01N	4.64	4.70
4.65	4.62	4.82	4.65
4.71	4.87	4.74	4.67
4.67%0.01N	4.56	4.67+0.01N	4.73+0.01N
4.58	4.42	4.56	4.78
4.79%0.01N	4.86	4.68	4.60+0.01N
4.61	4.50+0.01N	4.66	4.48
4.55	4.70	4.76	4.55+0.01N
4.76	4.82	4.66	4.61
4.98	4.58	4.47	4.87
4.60	4.67+0.01N	4.28	4.62+0.01N
4.62	4.37	4.77	4.28+0.01N

N – номер студента по списку группы. 176

1.Составить интервальный (из 7 интервалов) статистический ряд распределения частот наблюдаемых значений случайной величины X.

2.Построить полигоны и гистограммы частот и частостей.

3.Составить эмпирическую функцию распределения и начертить ее график.

4.Определить числовые характеристики выборки методом произ% ведений.

5.Предполагая, что случайная величина X распределена по нор% мальному закону, определить:

а) доверительный интервал для значения люфта X с доверитель% ной вероятностью 0,95, считая, что среднее квадратическое откло%

нение X известно;

б) доверительный интервал для значения люфта X с довери% тельной вероятностью 0,95, считая, что среднее квадратическое

отклонение X не известно;

в) погрешность, с которой выборочная средняя xв оценивает истинный размер, при 0,99;

г) минимальное число измерений, при котором ошибка опреде% ления люфта не превышает 0,05 (при 0,98).

6. По критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X .

177

Примерный вариант решения контрольной работы № 4

Задача 1. На автобазе 10 автобусов из 30 прошли капитальный ремонт. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 автобуса – после капительного ремонта?

Решение. Пусть событие А – выбранные наудачу 3 автобуса прошли капитальный ремонт. Общее число случаев выбора 3 автобусов из 30 равно:

п С 3	30!	28 29	30	28 29 5 4060 ,

30	3! 27!	1 2	3

так как комбинации из 30 автобусов по 3 представляют собой сочетания (отличаются только составом автобусов). Число случаев, благоприятствующих событию А, равно:

m С 3	10!	8 9 10	8 3 5 120 .

10	3! 7!	1 2 3

Тогда

P A mn 4060120 0,030 .

Задача 2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только один экзамен; б) два экзамена; в) три экзамена.

Решение. а) Пусть событие В – студент сдаст один экзамен из трех; Ai – студент сдаст i %й экзамен ( i 1,3 ). Событие В произойдет, если

студент сдаст только первый экзамен из трех, или только второй, или только третий, то есть

P B P A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3

0,9 0,1 0,2 0,1 0,9 0,2 0,1 0,1 0,8 0,044.

б) Пусть событие С – студент сдаст только два экзамена. Событие С означает сдачу любых двух экзаменов из трех, то есть

P С P A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3

0,9 0,9 0,2 0,9 0,1 0,8 0,1 0,9 0,8 0,306.

178

в) Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, то есть D A1A2 A3 . Тогда

P D P A1A2 A3 0,9 0,9 0,8 0,648 .

Задача 3. Имеется два набора деталей. Первый набор содержит 10 деталей, а второй – 15. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8; а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартна.

Решение. Пусть событие А – извлеченная деталь стандартная, В1 – деталь извлечена из первого набора, В2 – деталь извлечена из второго набора.

Тогда P B		10		2	, P B		15		3	.

1	25		5		2	25		5

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена
стандартная деталь,			по условию, равна PB A 0,8 , а из второго –
PB A 0,9 .								1

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна:

P A P B1 PB1 A P B2 PB2 A 0,4 0,8 0,6 0,9 0,86 .

Задача 4. При вероятности p 0,2 того, что автомобиль не прошел техосмотр, найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных ГИБДД автомашин окажутся не прошедшими техосмотр от 70 до 100.

Решение. По условию,	p 0,2 ;			q 1 0,2 0,8 ;	n 400;	k1 70;
k2 100 .
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
	1	x	x 2
P400 70,100		e		dz x x .
			2
			2
	2 x

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

x	k1 np	70 400 0,2	1,25 ; x	k2 np	100 400	0,2	2,5 .
		400 0,2 0,8			400 0,2	0,8
	npq			npq

Таким образом, имеем

P400 70,100 2,5 1,25 2,5 1,25 . По таблице функции Лапласа находим

1,25 0,3944; 2,5 0,4838 .

179

Искомая вероятность равна

P400 70,100 0,4938 0,3944 0,8882 .

Задача 5. Дискретная случайная величина X может принимать

только два значения: x1 и x2 , причем							x1 x2 . Известны вероятность
p1 0,3 ,	математическое ожидание						M X 3,1 и	дисперсия
D X 1,89 . Найти закон распределения случайной величины X .
Решение. Поскольку p1 p2				1, то p2 0,7 ; M X 0,3x1 0,7x2 3,1
или 3x 7x		2	31; D X 0,3x2 0,7x2			3,12 1,89 или 3x2		7x2 115 .
1		2		1	2		1	2
Из системы уравнений
					7x2		31,
			3x1		7x2		31,
					7x2		115,
			3x2		7x2		115,
				1	2

с учетом условия x1 x2 ,		получим		x1 1, x2 4 . Следовательно,
P X 1 0,3; P X 4 0,7 .
Задача 6. Дана функция распределения случайной величины X:
	0		при x 0,

F x	x2		при 0 x 2,


	4		при x 2.
	1

Найти плотность вероятности f x ,			построить	графики f x и
F x ,	найти вероятность P 1 X 2	,	вычислить	математическое
ожидание M X и дисперсию D X .
Решение. Плотность вероятности
	0	при x 0,

	x
	f x F x	при 0 x 2,
	f x F x	при 0 x 2,
	2	при x 2.
	0	при x 2.

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]