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Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Математика. Учебное пособие

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В а р и а н т 2 5 .

1) lim	1 2x x 2
			x 3
x 2
3) lim		x 2 x 2
			5x 6
x 2 x 2
5) lim			x 12	4 x

			x 2 2x 8
x 4
7) lim			x 2
	1 cos6x
x 0

9)lim(2x 3) ln(x 2) ln x

В а р и а н т 2 6 .

1)	lim	x 2	7x 9

	x 4 2x 2 5x 3

3)lim x 2 2x 15 x 5 x 2 7x 10

	5) lim	x 2 4 2
		x 2 16 4
	x 0
	7) lim	arcsin5x
		3x
	x 0

9) lim(x 2) ln(3 2x) ln(4 2x)

В а р и а н т 2 7 .

1) lim x 2 3x 8

x 7 x 2 2x 7

3)lim 3x 2 10x 8 x 4 4x 2 15x 4

5) lim	5x 4	3
	2x 1	1
x 1

7) lim

x 0 arctg3x

3x 5

9)lim (4x 9) x 2

x 2

2)lim 3x 2 4x 2 x 6x 2 2x 4

4) lim		x 2	3x 4
		x 2	2x 8
x 4
6) lim			2 x	x 6

			x 2 x 6
x 2
8) lim	arctg11x

x 0			7x

3 x

10) lim(2x 3)x 2

x 2

2)lim (n 1)3 2n4 x (n 1)3 n4

	4) lim	5x x
	4) lim	x 5
	x 5	x 5

6) lim x sin 2x ctg2 3x

x 0

8)lim (3x 7)4 x2

x 2

10)lim( x 2 1 x)

2) lim		100n3 3n2
2) lim
x 0,001n4 100n3 1
4) lim		3 x	3 x
4) lim		5x
x 0		5x
6) lim	sin2 3x ctg2x
6) lim		x
x 0		x

8)lim(x 3 x 2 x)

10) lim(3x 2) ln(x 3) ln(x 4)

В а р и а н т 2 8 .

1)lim 4x5 3x 2 8 x 2x6 x 3 x

3)lim 3x 2 4x 1

x 1 x 2 3x 2

	5) lim	2x 7 5
		3 x
	x 9
	7) lim	cos x cos3 x
		x sin 2x
	x 0

9)lim(3x 2) ln(x 2) ln(x 1)

В а р и а н т 2 9 .

	1) lim	3x 3 8x 2

	x 1 x 3 2x 2 1
	3) lim	3x 2 x 2

	x 1 3x 2 4x 1
	5) lim	1 3x 1 2x
		x x 2
	x 0
	7) lim	1 cos8x
		1 cos4x
	x 0

9)lim(3 x) ln(1 x) ln(2 x)

В а р и а н т 3 0 .


1) lim	4x5	3x 2 1
		2x 3
x 1 2x5
3) lim	3x 2	17x 28
	x 2	9x 14
x 7
5) lim	5x x
	x 5
x 5

7) lim

16x

x 0 arctg2x

9) lim(x 2) ln(x 1) ln(x 1)

2)lim 8x 3 4x 2 11 x 1 2x 3 2x 5

	4) lim	x 2 2x 15

	x 5 2x 2 7x 15
	6) lim	2 x

		6x 1 5
	x 4

8) lim	arctg6x
8) lim	5x
x 0	5x
		3 x

10) lim(2x 5)			x 3
x 3
2) lim		7x 3 4x 2 3
2) lim		x 4 1
x		x 4 1
4) lim	2x 2 5x 7
4) lim		3x 2 x 2
x 1		3x 2 x 2
6) lim		x 3

		3x 3
x 3		3x 3
8) lim x ctg5x
x 0
			5 x

10) lim(3x 2)x 1

x 1

2)lim 2x 3 7x 2 2 x 6x 3 4x 3

4) lim		x 3

		4x 3 3
x 3		4x 3 3
	1 cos			x
	1 cos
6) lim			2
6) lim		x 2
x 0		x 2
8) lim		2			4

		1 x			x 2
x 1		1 x	1		x 2

10) lim(3x 2)x 1

x 1

Задача 8. Найти производные

данных функций:

а) y =

2(3x

3 4x 2 x 2)

;

б) y = sin

1 sin3

;

15 1 x

3 cos6x

				1	ln arctgx
	в) y arctgx 2				ln arctgx
	в) y arctgx 2				;
		(2x 2	1)		1 x 2
2.	а) y =					;
2.	а) y =		3x 3			;
			3x 3
	в) y sin x 5ex				;

3. а) y 3 x 4 5x 4 5x 1 3

		2
	в) y x		x
4.	а) y	1 x 2

		1 x 2
		1 x 2
	в) y xarcsin x
5.	а) y x					1

					x		x 2 1
					x		x 2 1
		1
	в) y x			x2
		2
6.	а) y x 3
6.	а) y x 3
					1 x
	в) y ln x x
7. а) y			x			x

			x			x
			x			x

	в) y arctg2x sin 3 x
8.	а) y x		1 x 2
				1 x

	в) y x ln x
9.	а) y		x

		5 x 2

в) y ln x x

г) xy ln(ex ey ).

б) y = tglg 1 1 sin2 4x ; 3 4 cos8x

г) x 3 y3 x 2 y 0.

б) y

1 tgx

12tgx

г) x sin y y cos x 0 б) y arctg 1x

г) y sin x cos x y cos y

б) y sin 1 x 2

г) x ey yex xy

б) y

1 sin 3x

г) xy ln y 2ln x 0

б) y x arcsin 2x 1 3

г) x y 2 x 2y 3

	б) y	1
	б) y	tg2 2x
		tg2 2x

г) y sin x cos x y

	б) y	sin2 x
	б) y	2 3cos2 x
		2 3cos2 x

г) ex 1 ey 1 1 0

10. а) y

1 x 2

в) y x x 2 x

11. а) y 5 5 x 2 x 1 x

в) y cos x x

12.

а) y 3

x 3

3x 5

x x

в) y arcsin

13.

а) y

x 2

;

1 3x 2

в) y x arcsin x ;

14.

а) y

x 2

;

1 3x 2

в) y x arcsin x ;

15.

а) y

(x 2 6)

(1 x 2 )3

;

120x5

2ex

;

в) y (ctg3x)

16.

а) y

(x 2 8)

x 2 8

;

в) y x etgx ;

17.

а) y

4 3x

;

x 3 (2 x 3 )2

4ex

;

в) y (tgx)

18.

а) y 3

(1 x

;

x 2

;

в) y (cos5x)

б) y 12 tg2 x ln cos x

г) x y x sin y 0

б) y 2x e x

г) ln y arctg x y

б) y 1 ctg2 3x e x

г) x y 2 x 3y 2 0

б) y cosctg2

1 cos2

16 sin16x

г) xy arcsin(x y) 0.

б) y cosctg2

1 cos2

16 sin16x

г) xy arcsin(x y) 0.

б) y

cosln7sin2 7x

;

7cos14x

г) cos

б) y cosctg2

cos2 8x

;

16sin16x

г) (x y)2 (x 3y)3 0.

б) y ctg cos2

sin2 6x

;

6cos12x

г) x 3 y 3 1;

б) y 3 ctg2 1 cos2 10x ; 20 sin 20x

г) 4xy 4x 4y 4 0.

19. а) y	(x 2 2) 4 x 2
							;
		24x 3					;
		24x 3
в) y (x 5)chx ;
20. а) y	x6 x 3 2			;
20. а) y		1 x 3		;
		1 x 3
в) y (x sin)ln(x sin x );
21. а) y		1 x 2
			;
			;
	2	1 2x 2
в) y (x 3 4)tgx ;
22. а) y		x 1(3x 2)			;
22. а) y		4x 2			;
		4x 2
в) y x sin3 ;
23. а) y		(1 x 2 )3		;
23. а) y		3x 3		;
		3x 3
в) y (x 2 1)shx ;
24. а) y	x6 8x 3 128				;
24. а) y		8 x 3			;
		8 x 3
в) y (x 4 5)ctgx ;
25. а) y		2x 3(x 2)				;
25. а) y						;
		x 2
		5x

в) y (sin x) 2 ;

26.а) y (1 x 2 )5 x 3 1x ; в) y (x 2 1)cos x ;

27. а) y	(2x 2	3)		x 2 3	;
27. а) y		9x	3		;
		9x	3

в) y 19x19 x19;

б) y ln sin			1			cos2 12x		;
			2			24sin 24x

г) xey yex			xy.
б) y	1	costg			1		sin2 10x		;
	3			2			10cos20x

г) y x arctg3x arcsin 2y 0.

б) y 8sin ctg3

1 sin2

;

5 cos10x

г) xy ln(ex ey ).

б)

cosctg3cos2 14x

;

28sin 28x

г) cos(x y) 2x 4y 0.

cos tg(

x)sin2 15x

б)

;

15cos30x

г) y cos(x y).

sin tg

cos2 16x

б)

;

32sin 32x

г)

xey yex xy.

ctg sin

sin17x

б)

;

17cos34x

г) cos xy

б)

ctg2 cos2 18x

;

36sin 36x

г) (x 2y)2 (x 3y)3 0.

б)

tg ln 2sin2 19x

;

19cos38x

г) y ln x x ln y ln(xy).

28. а) y	x 1		;

	(x 2 5) x 2
		5

в) y x 3 x 2x ;

29.а) y 3 3 x 2 x 1 ; x 1

в) y x 2x 5x ;

30. а) y 33 (x 1) ; (x 1)2

в) y x esin x ;

Задача 9. Найти dy и d 2 y dx dx 2


1.	а) y		7x 1		;

			17(4x 3)
2.	а) y	1 x		;

		1 x

3.а) y log3 (x 5);

4.а) y x x 1;

5.а) y 25x ;

6.а) y 11 12x ; 6x 5

7.а) y sin(3x 1) cos5x;

8.а) y a2x 3;

б) y ctg cos5

cos2 20x

;

40sin 40x

г) (x y)2 (x 2y)3 .

б) y ctg sin

1 cos2

24x

;

48 sin 48x

г) x y2 ctg

б) y sin ln

sin2 25x

;

25cos50x

г) y sin x cos(xy).

для заданных функций:

x cost sin t,
б)
y sin 2t.
	1
x			,
	t	2

б)		1
y				.


	t	2	1

x sin t t cost, б) y cost t sin t.

б) x 2(t sin t),
y 4(2cost).
x arctgt,
б)	t	2
y			.
	2

x cost,

б) y sin4 t .

x cost t sin t, б) y sin t t cost.

x cost, б)

y ln sin t.

9. а) y 4x ;

10.	а) y	5x 1	;

		13(2x 3)

11.а) y arctg x 2

12.а) y xx 11e x

13.а) y xe x2

14. а) y x

1 x 2

15. а) y e x sin x

16. а) y arctg x

17.а) y x3 ln x

18.а) y ln ctg2x

19.а) y ln ln x

20.а) y xe x

21.а) y a3 x ;

x t	sin t,
б)	cos t.
y 2	cos t.
x t	sin t,
б)	cost.
y 2	cost.

б) y sin3 t

x 2t sin 2t

y t sin t
б)
x t cost
x ln t

б)	1		1
y	1	t	1
y	2	t		t
	2			t

x t ln sin t

б)

y t ln cost

x 3cost

б)

y 4sin2 t

3cos

б) x

y 2sin3 t

б) x cos

y t cost

б) x cos

y t sin t

2cos

б) x

y sin3 2t

x ctgt

б)

cos

б)

1 t

22.	а) y lg(5x 2);
23.	а) y	x	;

		2(3x 2)

24.а) y lg(x 4)

25.а) y 4x ;

26. а) y	x	;
	9(4x 9)

27.а) y lg(1 x);

28.а) y 7 5 x ;

29.а) y lg(3x 1);

30.а) y = 5 7x 1 ;

	t	cost,
x e
б)
y et sin t.
x		t
		1
б)
y			.
	1 t

x sin t
б)
y sect.

x t	sin t,
б)	cos t.
y 2	cos t.
	t 3,
x	t 3,
б)
y ln(t 2).

x sin t,
б)
y ln cost.
					2	t,
x cos						t,
б)
y tg2t.
x			t 1,

б)		1
y		1		.
y				.
			t
			1 t				2
x			1 t
б)	1
y	1
y		t
		t

Задача 10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. y x 2 5 y ln(25 9x 2 ) x 3

2.y x 2 x 1

3. y	x 3
	x 3	1

4.y 1 x 3 x 2

y 1 xex

y ln x 1 x 2

y (e2x 1) 1

5. y

x 2

6. y

x 3

x 2

7. y

x 1 3

8. y

x 3

x 2

9. y

1 (x 1)3

2 (x 1)2

10.

x 2 1

x 4

11.

2x 1 2

x 1

12.

(x 1)2

13.

2x 1

(x 1)2

14.

x 3

2(x 1)2

15.

x 2 1

16.

x 2

17.

(x 1)2

x 2 1

18.

x 2

19.

x 2

20.

x 2 1

21.

x 1 2

x 1

ln x

y x ln x

ln x

y x 2 ex

y 6x 2 e x2 y 2x 2 ln x

y ln(2x 2 3)

y ex x

yx 3 ex

yx ln(x 1)

yln 1 x 1 x

yx e x

ye x

yx ln x

yln(x 2 4)

y 1

ex 1

y e x 2

22.	y	x 2 2


				x 1
23.	y		x 3		8
			2x 2

24.	y			4x
		4		x 2

25.	y		x 2		1

				x 4
26.	y		x 2		4
			x 2		9

x 2 ln x

x 2e x

x ln x 1

2x 2 ln x

x ln(x 2 4)

27.	y		x 3
		x 2	2x 3
28.	y	x 3
		x 2	1
29.	y	4x 3 5

			x
30.	y	1 2x
		x 2	x 2

Задача 11. Проверить, данная функция u.

2 z 2 z

1.x y y x ;

2 z 2 z

2.x y y x ;

3.2 z 2 z ;x y y x

4.	3 z	3 z	;
	y2 x	x y2

5.2 z 2 z 0;x 2 y2

6.2 z 2 z 0;x 2 y2

7.a2 2 z 2 z ;

x 2 y2

y ln(1 x 2 )

ye2 x

yln x 1 x 2

yxe2x 1

удовлетворяет ли указанному уравнению

z sin2 2x 3y

zx e x

zarctg y x 2

zarctg xy

zln x 2 y2 2x 1

zln x 2 y 1 2

zsin2 x ay

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