Математика. Учебное пособие

d 2 y

dx

3

dy

.

dt 2

dt

dt

Подставим

dx

x 5y (см.

первое уравнение) в

d 2 y

:

dt

dt

2

d 2 y

2

dy

2y 0 .

dt 2

dt

y C e t cost C

e t sin t .

1

2

Откуда

dy

C e t cost

C e t sin t C

e t sin t C

e t

cost .

dt

1

1

2

2

Выразим из второго уравнения x

dy

3y .

dt

Откуда

x e t C

2

2C

cost C 2C

2

sin t .

1

1

x e t C

2

2C

cost C

2C

sin t

,

1

1

2

y C e t cos t C

e t sin t .

1

2

n 4

n

.

n 1 2n

1 !

Это числовой ряд с положительными членами.

Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем:

l lim

un 1

lim

n 1 4n 1 2n 1 !

2n 1 ! n 4n

n u

n

n

lim

n 1

lim

4 1 2 3 ...

2n 1

0.

1 2 3 ...

2n 1 2n 2n 1

n n

n

Так как l 1, ряд сходится.

Задача 31. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

2n 3

1 n 1

.

5n2 4

n 1

Условия теоремы Лейбница выполняются:

3

2n 3

2

0,

lim u

n

lim

lim

n

5n2 4

n

n

n

4

5n

n

u u

2n 3

2 n 1 3

n

n 1

5n2 4

5 n 1 2 4

2n 3

5n2 10n 1 2n 5 5n2 4

5n2 4 5n2 10n 1

10n2 40n 23

0;

5n2 4 5n2 10n 1

un un 1

n N .

Рассмотрим ряд un из абсолютных величин членов данного ряда

n 1

и сравним его с расходящимся гармоническим рядом v

=

1

.

n

n 1

n 1 n

un

2

Имеем lim

0

, так что ряд u

расходится. Следовательно, ряд

n vn

5

n

n 1

n 1

2n

3

1

сходится условно.

4

5n2

n 1

Задача 32. Найти интервал сходимости степенного ряда

x 9

.

n

n2 6n

n 1

lim

un 1

lim

x 9 n 1

n2 6n

x

9

.

n 1

2

6

n 1

x 9

n

6

n

n

un

x 9

Ряд сходится,

если

1,

т.е.

x 9

6 ,

6 x 9 6,

6

15 x 3 .

В указанном промежутке данный ряд абсолютно сходится.

Проверим граничные точки.

9

n

6

n

1

n

1) x = –15: 15

.

n2

6n

n2

6n n2

n 1

n 1

n 1

1

ряда, получим ряд:

, который сходится, как обобщенный гар

n2

n 1

1

монический ряд вида

при p = 2.

n p

n 1

1

Следовательно, ряд 1 n

абсолютно сходится.

n2

n 1

6

n

1

2) x = –3:

.

n2 6n

n2

n 1

n 1

0,25

Задача 33. Вычислить определенный интеграл

4 1 2x 2 dx с

0

1 x m 1 mx

m m 1

x 2

m m 1 m 2

x 3

...

2!

3!

при замене в нем x на 2x2 и m

1

.

4

1

3

1

3

7

1

22

4 1 2x 2

1 2x 2

1

1

x 2

4

4

x 4

4

4

4

23 x6 ...

4

2

2!

3!

1

1

x 2

3

x 4

7

x6

....

2

8

16

Проинтегрируем этот ряд.

1

4

1

3

7

1

x 2

x 4

x6

... dx

0

2

8

16

1

x

3

3x

5

7x

7

4

1

1

3

1

x

...

...

6 43

40 45

16 47

6

40

112

0

4

1

1

3

... .

4

384

40960

0,25

1

1

4 1 2x 2 dx

0,2526 0,253.

4

384

0

Задача 34. Разложить функцию f x x 2 2

в интервале (– ; ) в

a0

f x

an cos nx,

2

n 1

2

2

a0

f x dx; an

f x cos nx dx

0

0

2

2

x 3

2

3

2

0

x 2

dx

2

2

4.

a

2

3

2x

3

3

0

0

2

u x

2

2

du 2xdx

an

x 2

2 cos nxdx

1

v

0