Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

= ln	1	9	ln		1	4	ln	3 5	.
		5				5
							2
Задача 23. Вычислить		J xydx x 2 y dy, если линия L – дуга
				L
параболы y = x2, расположенная между точками A (0, 0) и B (2, 4).
				Решение
Из y = x2 следует dy 2xdx,				x 0,2 . Откуда

	b
P x, y dx Q x, y dy P x, f x Q x, f x f x dx
L	a
2		2
x x 2 x 2	x 2 2x dx 5x 3dx				5	x 4	2 20.
					5
				4
0		0					0
							0

Задача 24. Проверить,		является	ли	заданное				выражение
4x x 2 y2 dx 4y x 2 y2	dy	полным	дифференциалом					функции
u x, y , и найти u x, y . Сделать проверку.
		Решение
Имеем: P 4x x 2 y2 , Q 4y x 2 y2 .
Выполняется равенство
	P	Q 8xy.
	y	x

Следовательно, данное выражение действительно является полным дифференциалом некоторой функции

Справедливо:

u x, y L	x ,y		x ,y	4x x 2 y2 dx 2
u x, y L		Pdx Qdy C L		4x x 2 y2 dx 2
	x0 ,y0		x0 ,y0

4y x 2 y2 dy C,

где криволинейный интеграл в правой части равенства можно брать по любому пути L.

Выберем в качестве пути интегрирования L ломаную, состоящую из двух звеньев L1, L2, параллельных осям координат (рис.13).

121

		(x,y)
		L2
		(x1,y0)
(x0,y0)	L1	x

			Рис.13
Тогда
	x ,y		4x x 2 y dx 4y x 2 y2 dy
u x, y L1			4x x 2 y dx 4y x 2 y2 dy
	x0 ,y0
L2	x ,y	4x x 2 y2 dx 4y x 2 y2 dy.
L2		4x x 2 y2 dx 4y x 2 y2 dy.
	x0 ,y0

Но на L1 y y0 const, dy 0; на L2 x const, dx 0.

Следовательно,

x		y
u x, y 4	x 2	y02 xdx 4	x 2 y2	ydy c.
x0		y0

122

Контрольная работа №3 Дифференциальные уравнения. Числовые и функциональные

ряды. Приложения

Задача 25. Найти общее решение дифференциального уравнения.

xy x 3 y y 1 y2

2. y xy 2

1 x 2 y

3. y 2y y2ex

4. x 1 y y x 3 x 2

x xy2 dy ydx y2dx 0

6. y y x

2ey x y 1

8. y y4 cos x ytgx

x 1 y 3x

10.

9. xy

y x

sin y xy

11.

y y е x

12.

1 еx y y еx

y tgx sec x

13.

14.

15.

1 y2

16.

y 2xy

2xex

xy 1 x 2

1 y2

17.

1 x 2 0

18.

2xy

19.

y cos x sin x cos x

20.

4 x

xy 4

21.

sin x y cos x 1

22.

x ln x

23.

1 x 2 0

24.

1 x

y arcsin x

25.

1 e2x y

26.

y 3y tg3x sin6x

27.

y ln y cos x y

28.

y 10x y

29.

1 y2 y y

1 x 2 0

30.

x 1 y 2y ex x 1 3

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. y sin x						2.	y	x 5
		x	2	e	x				x
3.						4.	y		2 3
	y
5.	y	2x 1				6.	y		3x e x

123

7. y

sin 2

8. y

cos 3

9. y cos 2x 1

10.

y sin

3x 2

11.

y cos

3x 2

12.

y sin 2x 3

13.

sin 3x

14.

sin

15.

y x cos x

16.

y x sin x

17.

x sin 2x

18.

x cos2x

19.

x sin 2

20.

x cos

21.

22.

x e

3 x

23.

cos 2

24.

5 e

4 x

25.

26.

5 e

x e

27.

28.

x e

29.

30.

x sin 3

Задача 27. Найти частное решение дифференциального уравнения.

1.xy y при y 1 2, y 1 4

2.xy y x 1 0 при y 1 54 , y 1 32

3.y x yx при y 2 0, y 2 4

4.xy x y 2 y 0 при y 2 2, y 2 1

5.y x 2 1 2xy при y 0 1, y 0 3y

		y		при y 1	4	1 1

6. y	x		x
					3 , y

7.2xy y при y 1 13 , y 1 2

8.xy ln x y при y e 1, y e 2

9.xy y x 3 при y 1 0, y 1 14

124

10.2xy y 1 y 2 при y 1 13 , y 1 1

11.x 3 y x 2 y 1 при y 1 2, y 1 1

12.		2ctgxy	sin		3								2					0
						x	при y
	y					x	при y						3		, y
										2			3			2
			sin x									1
13.							при y										0
13.	y	2y ctgx					при y					3		, y			0
									2			3				2
14.																0
14.	y tgx 1 y			при y						2	, y					0
								2		2				2

15.y 2x y 2 0 при y 0 3, y 0 1

16.xy y x 2ex при y 1 0, y 1 e

17.y 2y tgx sin x при y 0 5, y 0 13

18.y 1x y x 2 при y 1 1716 , y 1 14

19.xy 2y x 3 при y 1 2021, y 1 15

20. y							2
20. y	y tgx sin 2x	при y		2	, y		2
			4	2		4

21.1 x 2 y 2xy 0 при y 0 3, y 0 1

22.1 x 2 y xy при y 0 0, y 0 1

23. x 1 y		x 1		5

	2y	x 2		2 2
			при y 2 ln 2, y

24.5xy y при y 1 65 , y 1 1

25.x y 2 y 2 xy при y 2 2, y 2 1

26.xy y x 2ex при y 1 0, y 1 e

27.y x 2 1 2xy при y 0 1, y 0 3

28.xy y при y 1 2, y 1 4

29.x y 2 y 2 xy при y 2 2, y 2 1

30. xy x y 2 y 0

при y 2 2, y 2 1

125

Задача 28. Найти частное решение дифференциального уравнения

y py gy f

x ,

удовлетворяющее

начальным

условиям

y(0)=y(0); y 0

y 0 .

1. y 2y y 12cos2x 9sin 2x;

0 2;

y 0

0 .

2. y 6y 9y 9x 2

39x 65;

y 0 1;

y 0

3. y 2y 2y 2x 2 8x 6; y 0 1;

y 0 4.

4. y 6y 25y 9sin 4x 24cos4x;

0 2;

y 0

5. y 4y 20y 16xe2x ; y 0 1; y 0 2.

6. y y 14 6x e x ; y 0 0; y 0 1.

7. y 10y 34y 9e 5x ; y 0 0; y 0 6.

8. y 10y 25y e5x ; y 0 1; y 0 0.

9. y 2y 5y 5x 2

6x 12;

y 0 0;

y 0 2.

10.

y 2y 6x 2 2x 1;

y 0

y 0 2.

11.

y 2y y 6ex ,

y 0 5,

y 0 4.

12.

y 2y y e x ,

y 0 1,

y 0 3.

13.

y 4y 4y 2 x e3 x ,

0 0.

14.

y 4y y 3e2x ,

y 0

y 0 1.

15.

y 6y 9y 4e3 x ,

y 0

y 0 2.

16.

y 6y 9y 2e3 x ,

y 0

y 0 2.

17.

y 8y 16y 2e 4 x ,

y 0 1,

y 0 1.

18.

y 8y 16y xex ,

y 0 3,

y 0 3.

19.

y 10y 25y e 5x ,

y 0 3,

y 0 1.

20.

y 10y 25y 5e5x ,

y 0 3,

y 0 3.

21.

9y 6y y x 1 ex ,

y 0

22.

4y 4y y x 4

e2x ,

y 0 1.

23.

4y 4y y e0,5x ,

y 0

24.

9y 12y 4y 4ex ,

y 0 1,

y 0

25.

4y 20y 25y 1 4x ex ,

y 0

y 0 0.

26.

9y 6y y e

x ,

0 1.

126

27.

25y 10y y e3 x ,

y 0 2,

y 0 3.

28.

4y 12y 9y xex ,

y 0

29.

y 14y 49y 1 x ex ,

y 0

30.

y y 9xe2x ,

y 0 0,

y 0 5.

Задача 29. Дана система линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами

a x a

x a

Требуется найти общее решение системы.

dx			2x y
1.
	dt
	dy		3x 4y

dt
dx			x 8y
3.
	dt
	dy		x y

dt
dx			x y
5.
	dt
	dy		4x 4y

dt
dx			6x y
7.
	dt
	dy		3x 2y

dt
dx			3x y
9.
	dt
	dy		x 3y

dt
dx				5x 8y
11.
		dt
		dy		3x 3y

dt


dx				x y
2.
		dt
		dy		4x y

dt
dx				2x 3y
4.
		dt
		dy		5x 4y

dt
dx				2x y
6.
	dt
	dy			3x 2y

dt
dx				2x y
8.
	dt
	dy			6x 3y

dt
dx					x 2y
10.
			dt
			dy		3x 4y

dt
dx					x 4y
12.
			dt
			dy		2x 3y

dt

127

13.

15.

17.dt

19.dt

21.dt

23.dt

25.dt

27.dt

29.dt

2x y

x 2y

4x y

x 2y

x y

x 3y

x 6y

2x 9y

x 3y

3x y

x 4y

x y

2x 3y

x 4y

4x 6y

4x 2y

x 4y

2x 3y

14.

16.

18.

20.dt

22.dt

24.dt

26.dt

28.dt

30.dt

x 5y

x 3y

5x 4y

2x 3y

4x y

x 2y

5x y

3x 9y

x 2y

3x 6y

3x 2y

2x y

x 5y

7x 3y

5x 4y

2x 11y

3x y

8x y

128

Задача 30. Исследовать сходимость числовых рядов.

			1
1.
1.		2n 1 22n 1
	n 1	2n 1 22n 1
			1 n2	2
2.
2.			1 n3
	n 1		1 n3

3.n 1 3 n3

	n 1		n2 2n
			1
5.
5.		n 1 n 4
	n 1	n 1 n 4
			2n2 n 1		n
6.
6.			3n2 1
	n 1		3n2 1
			2n 1	n
			2n 1
7.
7.
	n 1		3n 1

8.n 1 3n n!

9.4

n 1		n	1
		6n		n2
		6n		n2	1
10.
10.				n!
	n 1			n!
			n	2
11.			n
11.		n 1 !
	n 1	n 1 !
					1
12.
12.		n 1 ln2 n 1
	n 1	n 1 ln2 n 1
		3n 1
13.		3n 1
13.		n 3n
	n 1	n 3n

7n n 1 2

17.n

	n 1				5
			1
18.			1
18.
	n 2 n ln n
		1 n
19.		1 n
19.		1 n2
	n 1	1 n2
		5	n		3	n	2
20.		5				n
20.		n 1 !
	n 1	n 1 !
			n 1
21.			n 1
21.		n 2 n
	n 1	n 2 n
		n				1		n2
		n				1
22.
22.
	n 1	n				3
					3n
23.
23.		n 1 ! 4n
	n 1	n 1 ! 4n
						1
24.
24.				4n 5
	n 1 n2			4n 5

25.n

n 1 2

2 n!

	n 1	2n 3
		n 1 !
27.		n 1 !
27.		10n n2
	n 1	10n n2
		n 1 3
28.
28.
	n 1 n4 3n2 2
		1
29.		1
29.
	n 2 n ln2 n

129

				1	n2	1			1
14.		1					30.
14.		1		n		4n	30.		n 1 ln2 n 1
				n		4n			n 1 ln2 n 1
	n 1							n 1
					1	2
15.	3
15.	3
	n 1		2n 1

16.n 1 3n 2n 1

Задача 31. Исследовать сходимость знакочередующихся рядов.

							1
1.	1 n						1
1.	1 n						n
	n 1	1					n
		1			n 1
2.
2.		n 1					2n
		n 1					2n
	n 1
			n						n 2 n
3.	1
3.	1
	n 1							3n 5
		1 n n2
4.
4.		n3 2n2 1
	n 1
		1		n 1					n
5.		1							n
	n 1	6n 5
									1
6.	1 n								1
6.	1 n								n 3
									n 3
	n 1	1
		1				n 1
7.
7.		n 1 2n
		n 1 2n
	n 1		1
			1							n
8.
8.		2n 3 22n 3
	n 1
			n 1								n 1	n
9.	1
9.	1
	n 1								2n 3

		1	n 1	3	n
16.		1		3
	n 1	2n 1 n
		1	n 1	2n 1
17.		1		2n 1
	n 1	n n 1

1 n

18. n 1 !

n 1

1 n 1 n2 1

19.2

	3n
n 1
	n	n	n
20. 1
20. 1
n 1	2n 1

1 n 1

21.2n 1 2n 1

1 n 1

22.2

	n
n 1
	1	n 1	2n 1
23.	1	n	2n 1
		n	n
n 1

1 n n

24.3 n 2n 1

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]