Математика. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x1 2x2 3x3 6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

8. x 2 2 z y2 2 z 0;

x 2 y2

9.2 z 2 z 0;x 2 y

10.a2 2 z 2 z ;

x 2 y2

11.

2 z

12.

3 z

0 ;

x 2 y

y x2

13.

2 z

x 2

14.

15.

x y

2 z

;

x y

16.2 z 2 z ;x y y x

17.2 z 2 z ;x y y x

18.2 z 2 z ;x y y x

19.2 z 9 2 z ;y2 x 2

2 z 2 z

20.x y y x ;

21.2 z 2 z ;x y y x

22.z 2z z 2z 0;x x y y x2

2 z 2 z

23.x y y x ;

	z y		y
	z y		x
			x
	z ln		1

x 2 y2

ze cos x ay

ze x 3 y sin x 3y

zln x e y

zarctg xy

z arcsin x x y

z cos y y x sin y

	z arcsin	x y

		x
		x

z sin2 x sin2 y

z ln x x2 y2

z sin x 3y

z		1
		x 2 y2
2

z sin2 2x 3y

zln x e y

zx sin y

24.

2 z

;

x 2 y2 3

x y

y x

25.

3 z

32 z

;

z x 3 xy2 5xy3 y5

y x y

y2 x

26.

2 z

;

x y

27.

;

z ln tg

x y

y x

28.

2 z

;

z arctg

x y

y x

1 xy

29.

2 z

;

z x2 y y3

x y

y x

30.

2 z

;

z xy2 yx 2

x y

y x

Задача 12. Найти производную и градиент скалярного поля u x, y, z в точке M по направлению вектора l .

3
1. u x 2 y2 z2		,	2. u x ln z2 y2 ,
	2
l = i – j + k ,			l = – 2 i + j – k ,
M ( 1 , 1 , 1 )			M ( 2 , 1 , 1 )
3. u x 2 y xy z2 ,			4. u y ln 1 x 2 arctgz ,
l = 2 j – 2 k ,			l = 2 i – 3 j – 2 k ,
M ( 1 , 5 , – 2 )			M ( 0 , 1 , 1 )
5. u x ln y arctgz ,			6. u ln	3 x 2		xy2 z ,
l = 8 i + 4 j + 8 k ,			l = – i + 2 j – 2 k ,
M ( – 2 , 1 , – 1 )			M ( 1 , 3 , 2 )
7. u sin x 2y xyz ,			8. u x 2 y2 z ln z 1 ,
l = 4 i + 3 j ,			l = 5 i – 6 j + 5 k ,
M ( / 2 , 3 / 2 , 3 )			M ( 1 , 1 , 2 )
9. u xy 9 z2 ,			10. u	x		yz		,
				y	x
							y
l = – 2 i – 2 j – k ,			l = 2 i + k ,
M ( 1 , 1 , 0 )			M ( 4 , 1 , – 2 )

11.

u x 3

z2 ,

12.

u 2 x y yarctgz ,

l = j – k ,

l = 4 i – 3 k ,

M ( 1, –3, 4 )

M ( 3 , 2 , – 1 )

13.

u z2

2arctrg x y ,

14.

u ln x 2 y2

xyz ,

l = i + 2 j – 2 k ,

l = i – j + 5 k ,

M ( 1, 2, – 1 )

M ( 1 , – 1 , 2 )

15.

u xy

16.

u ln x

y2 z2

l = 5 i + j – k ,

l = – 2 i – j + k ,

M (–4,3,–1).

M (1,–3,4).

17.

u x 2

arctg y z ,

18.

u 4ln 3 x 2

8xyz ,

l = 3 i – 4 k ,

l = 2 i – 2 j + 2 k ,

M (2,1,1).

M (1,1,1).

19.

u x

y y

x ,

20.

u 2ln

x 2 5 4xyz,

l 4i 2 j 4k,

l 2i 4 j 4k,

2,4,11 .

M 1,1,1 .

21.

x 2 y

x 2 5z2 ,

22.

u xz2

x 3 y,

l 2i 8 j,

l 2i 2 j 3k,

,1 .

M 2,2,4

23.

u x

y yz2,

24.

u 7ln

x 2 4xyz,

l 2i 2 j 4k,

l 14i 8 j 8k,

M 2,1, 1 .

M 1,1,1 .

25.

u arctg

8xyz,

26.

u ln 1 x 2 xy

z ,

l 2i 2 j 2k,

l 8i 2 j 2k,

M 2,2, 1 .

M 1, 2,4 .

27.

x 2 y2

28.

u x y z y

x ,

l 2i 2 j 4k,

l 2i 2 j 2k,

3,4,1 .

M 1,1, 2 .

						3
29. u	xy	4 z2 ,			30. u x 2 y2 z2			,
29. u	xy	4 z2 ,			30. u x 2 y2 z2		2	,
l 2i 2 j k,						l 4i 2 j 2k,
M 1,1,0 .						M 0, 3,4 .
Задача 13. По данным опыта найти формулу вида y = ax + b мето2
дом наименьших квадратов.
1.	x	1	2	3	4	5
	y	3,2	4,1	2,8	0,6	1,3
2.	x		2
2.	x	1	2	3	4	5
	y	3,5	4,6	3,2	1,4	1,5
3.	x		2		4
3.	x	1	2	3	4	5
	y	3,3	4,5	3,0	1,0	1,3
4.	x		2
4.	x	1	2	3	4	5
	y	3,9	4,6	3,5	1,4	1,9
5.	x		2
5.	x	1	2	3	4	5
	y	4,1	5,2	3,6	1,8	2,2
6.	x		2
6.	x	1	2	3	4	5
	y	3,0	3,8	2,6	0,8	0,6
7.	x		2
7.	x	1	2	3	4	5
	y	4,2	5,4	3,8	1,8	2,4
8.	x		2
8.	x	1	2	3	4	5
	y	4,2	5,1	3,8	2,0	2,6
9.	x		2
9.	x	1	2	3	4	5
	y	4,4	5,6	3,8	1,6	2,8
10.	x		2
10.	x	1	2	3	4	5
	y	4,6	5,4	4,2	2,4	3,0
11.	x		2
11.	x	1	2	3	4	5
	y	3,9	4,9	3,4	1,4	1,9
12.	x		2
12.	x	1	2	3	4	5
	y	4,7	5,7	4,4	2,4	2,9
13.	x		2
13.	x	1	2	3	4	5
	y	3,5	4,5	3,0	1,0	1,5

14.	x	1	2	3	4		5
	y	5,7	6,7	5,2	3,2		3,7
15.	x	1	2	3	4		5

	y	5,6	6,6	5,3	3,3		3,8
16.	x	1	2	3	4		5

	y	4,6	5,6	4,1	2,1		2,6
17.	x	1	2	3	4		5

	y	5,3	6,3	4,8	2,8		3,3
18.	x	1	2	3	4	5

	y	4,1	5,1	3,6	1,6	2,1
19.	x	1	2	3	4		5

	y	4,8	5,8	4,3	2,3		2,8
20.	x	1	2	3	4		5

	y	2,3	3,3	1,8	0,8		1,3
21.	x	1	2	3	4	5

	y	5,2	6,2	4,7	2,47	3,2
22.	x	1	2	3	4		5

	y	3,7	4,7	3,2	1,2		1,7
23.	x	1	2	3	4		5

	y	2,5	3,5	2,0	1,0		1,5
24.	x	1	2	3	4		5

	y	5,5	6,5	5,0	3,0		3,5
25.	x	1	2	3	4	5

	y	4,3	5,3	3,8	1,8	2,3
26.	x	1	2	3	4		5

	y	2,7	3,7	2,2	1,2		1,7
27.	x	1	2	3	4		5

	y	4,67	5,7	4,2	2,2		2,7
28.	x	1	2	3	4		5

	y	5,1	6,1	4,6	2,6		3,1
29.	x	1	2	3	4		5

	y	5,4	6,4	4,9	2,9		3,4
30.	x	1	2	3	4		5

	y	4,5	5,5	4,0	2,0		2,5

Примерный вариант решения контрольной работы №1

Задача 1. Даны векторы a = (2, 1, 0); b = (1, –1, 2); c = (2, 2, 1); d = (3, 7, 27) в некотором базисе. Показать, что векторы a,b ,c обра2

зуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора x в этом базисе.

Решение

Базис n2мерного линейного векторного пространства составляют ровно n линейно независимых векторов. Следовательно, надо показать,

что векторы a,b ,c линейно независимы, то есть нулевая линейная комбинация этих векторов

a b c 0

возможна только при нулевых коэффициентах 0. Запишем матричное уравнение

2	1		2
1		1	2
0		2	1

и перейдем к системе уравнений

2 2 01 2 00 2 0.

Вычислим определитель этой системы:

2	1	2	1	2		1	2	2 4 2 1 4 1.
2	1	2
1	1	2			2
0	2	1	2	1		2	1
0	2	1

Определитель 0, следовательно, имеется единственное решение

0 , а векторы

линейно независимы и образуют базис.

Найдем координаты вектора

x1, x2, x3 в базисе векторов

Координаты вектора – это коэффициенты при базисных векторах в его разложении по базису.

Тогда

d x1 a x2b x3 c

или
2			1					2						3
	1 x		1 x		2			2			x		3		7 .
		1			2								3
	0		2					1							7
Перейдем к системе уравнений
		2x		x		2	2x			3		3
			1			2				3
		x x			2		2x		3			7
			1		2				3
				2x2 x3							7.

Решим систему по формулам Крамера:
	3	1			2						1							2						7		2					7	1


	7	1			2	3																1							2
1															2 1									7		1					7	2
	7	2			1										2 1									7		1					7	2
	7	2			1
3 1 4 1 7 14 2 14 7 9 7 14 2;
	2		2		3			2						2					7 2							1		3		2


			1		7 2
			0		7		1														7			1				7		1
			0		7		1
		2 7 14 1 3 14 14 11 3;
				2	1					3										1				7			1				3


	3			1	1					7						2									1
				0	2			7												2			7				2			7
				0	2			7
		2 7 14 1 7 6 14 13 1;
							x						1						2 1;
									1													1
																						1
							x			2											3		3;
							x	2		2													3;
								2													1
																					1
							x		3				3						1 1.
									3													1
																						1
Следовательно, в базисе												,				,				d = (1, 23, 1).
Следовательно, в базисе									a			,		b		,	c			d = (1, 23, 1).

Задача 2. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами:

1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение

Вычислим определитель системы

Следовательно, система совместна. 1) Решение системы методом Гаусса

1 2			3	6	1 2			3	6


			4					10



	2	3		20		0	7		8


	3	2	5	6		0	4	14	12

1 2			3	6	1 2			3	6


			10 / 7					10 / 7



	0	1		8 / 7		0	1		8 / 7	.

	0	0	58 / 7	116 / 7		0	0	1	2

Откуда

x3 2;

x2 10 / 7x3 8 / 7, x2 8 / 7 10 / 7 2 4;

x1 2x2 3x3 6 x1 6 2 4 3 2 3 2 8.

Ответ: x1 8, x2 4, x3 2. .

2) Решение системы средствами матричного исчисления. Запишем систему в виде матричного уравнения, введя три матрицы:

1 2			3			6		x1
			4
A	2	3	4	;	B	20	;	x x2	.
	3	2	5			6
	3	2	5			6		x3

A x B x A 1 B.

Найдем обратную матрицу A 1 . Определитель матрицы A:

	1	2	3

A	2	3	4	58 0.

	3	2	5

Следовательно, матрица A невырожденная, и обратная матрица A 1 существует:

где A* – присоединенная матрица. Запишем транспонированную матрицу

и каждый ее элемент заменим его алгебраическим дополнением. Получим присоединенную матрицу:

	3		2	2		2	2		3
	3		2	2		2	2		3
	4		5	3		5	3		4
				3			3			23

	2		3		1 3			1	2
											2
A*											2
	4		5		3	5		3	4
	4		5		3	5		3	4		13
		2	3	1		3		1	2


		3	2	2		2		2	3
		3							3

			23		16	1
A	1	1		2	14	10	.

		58

				13	4	7
				13	4	7

Найдем матрицу X:
x1	1	23		16	1	6		1	138

x2			2	14	10		20			12
	58							58
			13	4	7		6			78
x3

			1	464	8
			1
				232	4	.
			58	232	4	.
			58	116	2
Откуда x1 8,	x2 4,	x3 2.		116	2
Откуда x1 8,	x2 4,	x3 2.

16 1

14 10 .

4 7

320 6

280 6080 42

Задача 3. Даны координаты вершин пирамиды A1 (10, 6, 6); A2 (–2, 8, 2); A3(6, 8, 9); A4 (7, 10, 3).

Найти: 1) длины ребер A1A2, A1A3, A1A4; 2) косинус угла между ребрами A1A2 и A1A4; 3) площадь грани A1A2A3; 4) уравнения прямой

A1A2;

5) уравнение плоскости A1A2A3; 6) уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3; 7) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 8) объем пирамиды (двумя способами). Сделать чертеж.

Решение

1) Имеем:

A1A2 = (–12, 2, –4); A1A3						= (–4, 2, 3); A1A4			= (–3, 4, –3),
	12 2 22				4 2		144 4 16		164 2 41,

A1A2
				4	2 22 32			16 4 9	29,
			A1A3
				3 2	42 3 2			9 16 9 34.
		A1A4

2) A1A2, A1A4 12 3 2 4 4 3 36 8 12 56 Угол между ребрами равен углу между векторами:

А1А2, А1А4 .


Тогда
			,
cos		A1A2	,	A1A4			56		28	0,7499.

	A1A2				A1A4	2	41	34	1394
	A1A2				A1A4	2	41	34	1394

3) Площадь грани A1A2A3 равна площади треугольника, построен2 ного на векторах A1A2 и A1A3 :

S A1A2A3 12 A1A2, A1A3 . Найдем векторное произведение A1A2, A1A3 :


				i		j	k		2	4		12	4		12	2
				i		j	k
		,		12	2		4
	A A	,	A A	12	2		4	i			j			k
1 2 1 3				4	2		3		2	3		4 3			4	2
				4	2		3

6 8 i 36 16 j 24 8 k 14i 52 j 16k 14,52, 16 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

	3		2	2		2	2		3
	3		2	2		2	2		3
	4		5	3		5	3		4
				3			3			23

	2		3		1 3			1	2
											2
A*											2
	4		5		3	5		3	4
	4		5		3	5		3	4		13
		2	3	1		3		1	2


		3	2	2		2		2	3
		3							3

	3		2	2		2	2		3
	3		2	2		2	2		3
	4		5	3		5	3		4
				3			3			23

	2		3		1 3			1	2
											2
A*											2
	4		5		3	5		3	4
	4		5		3	5		3	4		13
		2	3	1		3		1	2


		3	2	2		2		2	3
		3							3

	3		2	2		2	2		3
	3		2	2		2	2		3
	4		5	3		5	3		4
				3			3			23

	2		3		1 3			1	2
											2
A*											2
	4		5		3	5		3	4
	4		5		3	5		3	4		13
		2	3	1		3		1	2


		3	2	2		2		2	3
		3							3