Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

											n																									n 1
							1																								1
10.																								25.
10.																								25.		n 2 3																n
n	1 n 2n 1																							n 1		n 2 3
				1									3
				1									3																					n 1
									n 1									n									1							n 1							2n			2			1
11.																n								26.
11.																n								26.											n		2					n

n 1						5n 1																		n 1
n 1						5n 1																		n 1																			n 1
									n 1																																		n 1
				1													n 1																n 1
12.																								27. 1
12.								3										2						27. 1																		2
n	1					n 2n														3				n 1													n										5n 3
						n 2n														3
					1						n																																1

13.																								28. 1 n 1
13.				n 1 !																				28. 1 n 1														ln n 1
n		1		n 1 !																				n 1														ln n 1

										n 1																											n
					1																										1
14.																								29.
14.														2										29.	2					sin									2
																									n																n
n 1				5n 1																				n 1	n																n
n 1				5n 1																				n 1
									n 1							2n 1 n																	n 1										1
15.				1																				30. 1
15.				1																				30. 1														ln n 2
n 1																2n 1								n 1														ln n 2

Задача 32. Найти область сходимости ряда.
	n 2 3 x 3 2n																																			1
1.																								15.
1.									2n 3															15.								n														2n

n 1																								n 1 n 9 x 1
n 1																								n 1 n 9 x 1
								n														n						n							n
		1										x							3										2							2
2.																								16. 3							x
2.						n				1						5n								16. 3							x
n 1																								n 1

		x								2n																	x			2							n2
		x						1																			x			2
3.			n				9		n															17.							n			n
n 1			n				9																	n 1							n
					2n 3																								n5																			2n 1
4.																								18.														x									5
4.		n								5	x 2n													18.	n					1 !								x									5

n 1							1																	n 1
															x						2		2n				3n								2							x 3							n
							n 1								x						2		2n				3n								2							x 3							n
5. 1																			2n					19.																3					n 1

n 1																								n 1							n 1												2
n 1																								n 1							n 1												2
	x 5 2n 1																																	x 5 n
6.																								20.
6.				3n 8																				20.	n					4 ln n 4
n 1				3n 8																				n 1	n					4 ln n 4

131

			n3 1
7.
7.		3n		x 2	n

	n 1
		n!
8.		n!
8.		n
	n 1 x

x 5 2n 3

9.n 1 4n 2n 1

x 7

2n 1

10.

5n 4

n 1

x 2 n

11.

3n 1

n 1

3n x 2 3n

12.

5n 8

n 2

13.

x 5

n 1

14.

sin

x 2 n

n 1

x 2 n

29.

2n 1

n 1

		1
21.
21.		n 2 ln n 2 x 3		2n
	n 2	n 2 ln n 2 x 3
		1
22.
22.		2n n2 x 2	n
	n 5	2n n2 x 2
		x 4 n2
23.		n 1
	n 1	n
	n 1

24.x nn 1

n 1

25.

n 1

26.

n 1

3n 5

27.

n 1

n2 1

28.

n 1

n2 x 3

30.

n 1

Задача 33. С помощью рядов вычислить приближенное значение интеграла с точностью до 0,001.

	0,1	6 x 2			0,4				5x 2
1.	e		dx	16.	sin						dx
1.	e		dx	16.	sin						dx
	0				0				2
	0,1				0,2
2.	sin 100x 2 dx			17.	cos 25x 2 dx
	0				0
	1				1,5		dx
3.	cos x 2dx			18.			dx

						4	81	x		4
	0				0		81	x

132

	0,5			dx
4.				dx

			4 1 x 4
	0		4 1 x 4
	0,1
5.		1 e 2 x				dx
5.				x		dx
	0			x
	0
				1	x
	1 ln
	1 ln				5
6.					5		dx
6.				x			dx
	0			x
	0
	1,5			dx
7.				dx

			3 27 x 3
	0		3 27 x 3

0,2

8. e 3 x 2 dx

0,2

9. sin 25x 2 dx

0,5

10. cos 4x 2 dx

1 dx

11.0 4 16 x 4

	0,2		e		x
12.		1	e			dx
12.			x			dx
	0		x
						x
	0,4 ln			1
	0,4 ln			1
13.						2	dx
13.				x			dx
	0			x
	0

2dx

14.0 3 64 x 3

	0,3
15.	e 2x2 dx
	0
	0,4	5x 2
16.	sin		dx
16.	sin		dx
	0	2
	0

	0,4						x

		1 e			2
19.								dx
19.				x				dx
	0			x
	0
	0,1 ln 1 2x
20.										dx
20.				x						dx
	0			x
	0
	2,5			dx
21.				dx

		3 125 x 3
	0	3 125 x 3
	0,4			3 x2
22.	e					dx
				4
				4
	0
	0,5
23.	sin 4x 2 dx
	0
	0,4				5x 2
24.	cos								dx
24.	cos								dx
	0						2
	0
	2			dx
25.				dx


	0 4 256 x 4
	0,5			dx
26.	0
26.	0	3 1 x3
	2,5			dx
27.				dx

		4 625 x4
	0	4 625 x4
	1		dx
28.			dx
28.
	0 3 8 x 3
	0,5			3 x2
29.	e
				25 dx
				25 dx
	0
	1
30.	sin x 2dx
	0

133

Задача 33. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную в про межутке от – до .

1. f x x							1				,			x
1. f x x						6					,			x
						6
2.	f x	3,							x 0,
2.	f x								0				x
		x,							0				x
3.	f x	2x,											x 0,
3.	f x								0				x
		3,							0				x
4.	f x	1 2x,													x 0,
4.	f x								0			x
		0,							0			x
		2x							,				x 0,
5.	f x
					5
					5
									0			x
		0,							0			x
6.	f x	2,							x 0,
6.	f x													0 x
		1 x,												0 x
7. f x x							1				,			x
7. f x x						2					,			x
			5			2
8.	f x		5		x,								x
8.	f x	2			x,								x
		2
9.	f x		x		2,								x
9.	f x				2,								x
		3
10. f x				3		3x,									x
10. f x				2		3x,									x
				2								x 0,
				x,								x 0,
11. f x
11. f x				2				,					0 x


				5
				3				,					x 0,
12. f x

				4
															0 x
				x 1,											0 x
13. f x x										6			,		x
13. f x x									5				,		x
									5
14. f x 4x												2		,	x
14. f x 4x												5		,	x
												5
15. f x				2,							x 0,
15. f x													0 x
				2x,									0 x

134

16.	f x x			2			,				x
16.	f x x		5				,				x
			5
17.	f x 2x					1			,		x
17.	f x 2x					4			,		x
						4
18.	x,					x 0,
18.	f x
	1,							0 x
	2,							x 0,
19.
19.	f x x		,					0 x

		2
		2
20.	1 x,										x 0,
20.	f x
	,					0 x
	,					x 0,
21.
21.	f x					x ,					0 x
			2			x ,					0 x
			2
22.	1,				x 0,
22.	f x					0 x
	x,					0 x
23.	2,				x 0,
23.	f x
	x 3,										0 x
24.	10,										x 0,
24.	f x					0 x
	x,					0 x
25.	f x x 10,										x
2 6 . f x x								1		,	x
2 6 . f x x						5				,	x
						5
	3,							x 0,
27. f x					0 x
	x,				0 x
28.	3,					x 0,
28.	f x					0 x
	x,					0 x
29.	3 x,										x 0,
29.	f x
	,					0 x
	3,					x 0,
30.
30.	f x x		,					0 x

		5
		5

135

Примерный вариант решения контрольной работы № 3

Задача 25. Найти общее решение дифференциального уравнения. а) y2 ln xdx y 1 xdy 0.

Имеем y2 ln xdx y 1 xdx.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив

переменные, получим:		y 1
		y 1		dy		ln x		dx.
				dy				dx.
		y2				x
	1		1				ln x
	1		1		dy		ln x		dx .
			y2		dy				dx .
y			y2				x

Интегрируя обе части последнего равенства, получим общее решение исходного уравнения

1		ln y c	ln2 x	.
	y		2

б) x 2 1 y xy x 3 x.
Данное уравнение линейное, так как y и y
					входят в него в первой

степени. Для нахождения общего решения линейного дифференциаль ного уравнения первого порядка вводятся вместо одной неизвестной функции y две неизвестные функции – u и v: y uv для того, чтобы одной из них распорядиться по своему усмотрению. Подставим y uv

и y

предварительно разделив все урав

u v v u в данное уравнение,

нения на x 2 1 0 :

x x 2 1

x 2 1 .

u v v u x 2 1uv

Вынесем из двух последних слагаемых левой части последнего

уравнения общий множитель:

v x.

(*)

u v u v

x 2 1

Выражение в скобках зависит только от v и x.

Приравняем это выражение нулю (по своему усмотрению):

x 2 1 v 0.

136

x 2 1.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяю щимися переменными относительно неизвестной функции v. Разделим

переменные:	dv	x	v;	dv	x	dx.
	dx	x 2 1		v	x 2 1

Откуда ln v 12 ln x 2 1 c. .

В частности, можно принять v

Подставив v в (*), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x:

u	x 2 1 x.
Разделив переменные, будем иметь			du		x 2 1 x;
Разделив переменные, будем иметь			dx		x 2 1 x;
			dx
du		x		dx.


		x 2 1
Интегрируя, найдем: u x 2		1 c.

Подставив u и v в y uv , получим общее решение: y x 2 1 x 2 1 c x 2 1 c x 2 1.

Задача 26. Найти общее решение уравнения y 1x .

Последовательно интегрируя, получим:

dx = ln

C1 ,

y ln

C1 dx ln

u ln

dx C1 dx

C1 dx x ln

dv dx

v dx x

x ln

x C1x C2.

y x ln

x C1x C2 dx x ln

dx C1 xdx C2

u ln

dv xdx

v xdx

x 2

137

x 2

x 2dx

C1 xdx C2 dx

x 2

x x 1

Задача 27. Найти частное решение уравнения y

x 1

при y 2 1, y 2 1.

Введем y

x 1 x x 1 ,

p p

x x 1

или

p x x 1 .

x 1

Это линейное уравнение.

Введем

p uv

v dxdu u dxdv x 1 1uv x x 1 ,

x 1

Откуда v x 1.

Исходное уравнение будет иметь вид:

x 1

x x 1 , x 1.

Откуда

x 2

x , u

C .

Тогда

y p

x 2

x 1

x 3

x 2

C x C .

138

Интегрируя, получим:
y	x 4		x 3		C1		x 2 C x C				2	.
y							x 2 C x C					.
8				6		2			1
8				6		2
Из начальных условий
				y 2		1,
				y 2 1
следует
		C		3, C					1	.
		C		3, C				2		.
1								2	3
Откуда									3
Откуда

y 241 3x 4 4x 3 36x 2 72x 8 .

Задача 28. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям:

y 4y 8e2x ; y 0 1; y 0 8.

Общее решение состоит из суммы какого либо частного решения y

данного уравнения и общего решения y0 соответствующего однород ного уравнения: y 4y 0 , т.е. y y0 y .

Характеристическое уравнение

k2 4 0

имеет корни k1,2 2. Им соответствуют два линейно независимых ре

шения однородного дифференциального уравнения y1 e2x ; y2 e 2x . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

y0 C1e2x C2e 2x .

Найдем частное решение y неоднородного уравнения. Так как правая часть ДУ равна f x 8e2x , то и y будем искать в виде

Ae x x s ,

где A – неизвестный коэффициент, который надо найти, s – число корней характеристического уравнения, совпадающих с коэффи циентом в показателе степени функции e x , стоящей в правой части

139

уравнения. В рассматриваемом случае k1 2;

k2 2 . Число

совпадений с k1 и k2 равно единице: s = 1. Итак, окончательно: y Ae2x x .

Найдем коэффициент A.

Для этого возьмем производные

				–4					= Ae2x

							y
0									= 2Ae2x x Ae2x
							y
1								= 4Ae2x x 4Ae2x
							y
Умножив		,		,		на их коэффициенты в уравнении (т.е. соответ
	y		y		y

ственно на –4; 0; 1) и сложив, получим левую часть неоднородного уравнения, которая должна быть тождественно равна правой, т.е.

4Ae2x x 4Ae2x 4Ae2x x 8e2x

или

4Ae2x 8e2x 4A 8 A 2.

Подставив A в y , получим:

y 2xe2x .

Общее решение уравнения будет иметь вид: y C1e2x C2e 2x 2xe2x .

Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y 0 1; y 0 8 . Для этого в общее решение и в

y 2C1e2x 2C2e 2x 4xe2x 2e2x

подставим начальные условия. Получим линейную систему уравнений относительно неизвестных c1 и c2:

1 С1 С2 ,8 2С1 2С2 2.

Решив, найдем: C1 2; C2 3.

После подстановки С1,С2 в общее решение получим частное реше ние уравнения

y 2e2x 3e 2x 2xe2x , удовлетворяющее начальным условиям.

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]