Математика. Учебное пособие

F(x)

2

1,5

1

0,5

x

Вероятность P 1 X 2 попадания случайной величины в интер% вал 1,2 равна приращению ее функции распределения на этом интер% вале, то есть

P 1 X 2 = F 2 F 1 22 12 3 , 4 4 4

или через плотность вероятности f x :

181

Математическое ожидание

182

1.Составить интервальный (из 7 интервалов) статистический ряд распределения частот наблюдаемых значений случайной величины X.

2.Построить полигоны и гистограммы частот и частостей.

3.Составить эмпирическую функцию распределения и начертить ее график.

4.Определить числовые характеристики выборки методом произведений.

5.Предполагая, что случайная величина X распределена по нормальному закону, определить:

а) доверительный интервал для значения люфта X при довери% тельной вероятности 0,95, считая, что среднее квадратическое

отклонение X известно;

б) доверительный интервал для значения люфта X при довери% тельной вероятности 0,95, считая, что среднее квадратическое

отклонение X не известно;

в) погрешность, с которой выборочная средняя xв оценивает истинный размер, при 0,99;

г) минимальное число измерений, при котором ошибка опре% деления люфта не превышает 0,05 (при 0,98).

6. По критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распре% делении случайной величины X .

Решение

1. Изучение выборки начинают с составления статистического рас% пределения случайной величины (таблица значений признака, рас% положенных в возрастающем порядке (вариационный ряд), и соот% ветствующих им частот или относительных частот). Сначала опре% деляются наименьшее xmin и наибольшее xmax значения признака.

Интервал изменения варьируемого количественного признака разби%

вают на частичные интервалы одинаковой длины (шаг h xmax xmin ). m

Число интервалов m следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака. В рассматриваемом

подсчитывают число количественных признаков в каждом интервале. Обычно признак, находящийся на границе двух интервалов, относят к правой границе интервала. Далее подсчитывают частоты ni и отно%

сительные частоты W i nni каждого значения признака.

183

При изучении статистического распределения наряду с понятием частоты используется понятие накопленной частоты, которая показы% вает, сколько наблюдалось Вариантов со значением признака, меньшим x . Отношение накопленной частоты nнак к общему числу наблюдений

называется накопленной относительной частотой Wнак . Накопленные

относительные частоты для каждого интервала находят последова% тельным суммированием частостей всех предшествующих интервалов, включая данный.

Результаты сведем в таблицу:

2. Для наглядности статистическое распределение дискретной слу% чайной величины иллюстрируется полигоном распределения, представ% ляющим собой ломаную, в которой концы отрезков имеют координаты

xi ,ni или xi ,Wi .

Гистограмма относительных частот представляет собой ступен% чатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями, равны% ми длине частичного интервала h , и высотами, равными отношениям

Wi (относительная плотность частоты). Площадь частичного прямо% h

угольника Whi h равна относительной частоте Wi Вариант, попавших в

184

i %й частичный интервал. Площадь всей ступенчатой фигуры равна сумме всех прямоугольников:

S hWhi Wi 1.

ni

x

Полигон частот

ni

h

xi

Гистограмма частот

185

wi

xср

Полигон относительных частот

wi

h

xi

Гистограмма относительных частот 3. По определению, эмпирическая функция распределения есть

функция F x W (X x) nnx , которая для каждого значения X

186

определяет относительную частоту события X x . Здесь nx – число опытов, при которых наблюденные значения X были меньше x ; n – об& щее число наблюдений. Для данного x эмпирическая функция распре% деления представляет собой накопленную относительную частоту.

Роль эмпирической функции распределения выборки состоит в возможности оценить по ней теоретическую функцию распределения генеральной совокупности.

Для рассматриваемого примера эмпирическая функция распреде% ления имеет вид:

xср

Эмпирическая функция распределения

187

4. Определение числовых характеристик выборки методом произведений

При вычислении условных моментов различных порядков с равно% отстоящими Вариантами удобно пользоваться методом произведений. Строится расчетная таблица, в столбцах которой указываются xi ср,

варианты; постоянная C (ложный нуль) является примерно серединой вариационного ряда и имеет наибольшую частоту. Последняя строка содержит сумму соответствующих значений элементов каждого из столбцов. Последний столбец используется для контроля вычислений. При правильно проведенных вычислениях должно выполняться сле% дующее условие:

В рассматриваемом случае получим таблицу:

После того, как расчетная таблица заполнена и проверена правиль%

ность вычислений, находят условные начальные моменты:

188

Выборочная средняя:

xв 1 h C 0.08 0,1 4,63 4,638.

Всилу громоздкости непосредственного вычисления центральных

моментов их выражают через начальные моменты:

2 2 1 2 ,

3 3 3 2 1 2 1 3 ,

4 4 4 3 1 6 2 1 2 3 1 4 .

Сучетом k k hk получим следующие значения центральных

моментов:

= 8,5 4 0,28 0,08 6 1,27 0,08 2 3 0,08 4 0,0001=0,000841.

Выборочная дисперсия:

Dв 2 0,017736.

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

в 0,017736 =0,13318 0,133.

Выборочная дисперсия имеет систематическую ошибку, приводя%

щую к уменьшению дисперсии. Вычисляют исправленную дисперсию

S 2 = nn 1 Dв .

189

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормаль%

ного определяют асимметрию

As 3 0,0007 0,2975 .3в 0,1333

и эксцесс

Es 4 3 0,000841 0,3122 .4в 0,1334

Коэффициент вариации (показывает относительный разброс

вокруг выборочной средней хв ):

V в 100 % 0,133 100 % 2,87 % . хв 4,638

5. Интервальные оценки параметров распределения

Точечная оценка n определяется одним числом и является лишь приближенным значением неизвестного параметра ; для выборки ма% лого объема n может существенно отличаться от . Чтобы получить представление о точности и надежности оценки n параметра , ис% пользуют интервальную оценку (числовой интервал) параметра. Еслиn служит оценкой неизвестного параметра по данным выборки, тоn тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности

n .

Положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утвер% ждать, что n удовлетворяет неравенству n . Можно говорить лишь о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по n назы%

190