Математика. Учебное пособие

Решение

При решении указанных примеров используются следующие правила дифференцирования:

1)c 0, c const.

2)x 1, x – независимая переменная.

3)u v u v , где u u x ; v v x .

4)u v u v v u.

5)c u c u .

dxdy dudy dxdu . Кроме того, используется таблица производных элемен2 тарных функций:

1)u u 1 u .

2)au au ln a u .

3)eu eu u .

4)loga u u ln a .

5)ln u uu .

6)sin u cosu u .

7)cosu sin u u .u

71

а) y 2x2 x 1 . 3 2 4x

Воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

72

в) y sin 3x arcctgx .

Это показательно2степенная функция. Прологарифмируем ее: ln y arcctgx ln sin 3x

и затем продифференцируем обе части полученного равенства:

Это неявно заданная функция. Продифференцируем по x обе части уравнения:

2xy2 y xy y x y .

Разрешим полученное равенство относительно производной y : y 2xy2 x xy y;

Задача 9. Найти вторые производные от функций:

а) y 4x 7 2x 3

73

Решение

Исследуем функцию по следующей схеме:

1) Область определения. Точки разрыва. Вертикальные асимптоты. Функция теряет смысл, если знаменатель обращается в нуль

( x 2 1 0 ). Следовательно, x 1 – точки бесконечного разрыва.

Данная кривая имеет две вертикальные асимптоты: x = –1 и x = 1.

74

2) Корни функции. Интервалы знакопостоянства. Четность, нечет2 ность.

Найдем точки, в которых функция обращается в нуль:

при x = 0. Точка пересечения с осью абсцисс 0 (0, 0). Укажем интер2 валы знакопостоянства функции.

Следовательно, функция нечетная, и ее график симметричен отно2 сительно начала координат 0 (0, 0).

3) Интервалы возрастания, убывания. Экстремумы. Найдем первую производную и приравняем ее к нулю:

Определим вид экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

Знак f x

75

Знак f x

21 0 1

выпукл. вогн. выпукл. вогн.

Точка 0 (0, 0) – точка перегиба графика функции. Интервалы выпуклости: (– ; 1) и (0, 1). Интервалы вогнутости: (–1, 0) и (1, + ).

5) Наклонные асимптоты. Найдем

Таким образом, у данной кривой существует одна наклонная асимптота y = x.

График функции приводится на рис.5.

б) Исследовать методами дифференциального исчисления функ2

цию f x 2ln x и построить ее график. x

Решение

1) Область определения. Точки разрыва. Вертикальные асимптоты. Функция существует в интервале (0; ), так как в этом интервале существуют функции lnx и x и, кроме того, знаменатель в этом

интервале не обращается в нуль.

Вычислим правый односторонний предел в точке x = 0:

Из этого следует, что прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.

2) Корни функции. Интервалы знакопостоянства. Четность, нечет2 ность.

С осью ординат график функции не пересекается, так как при x = 0

функция не определена. Положим y = 0, 2ln x 0 при x = 1. График x

77

функции пересекает ось абсцисс в точке A (1, 0). Укажем интервалы знакопостоянства функции.

Знак f x

Функция f x 0 при x (0, 1) и f x 0 при x 1; . Функция f x – не четная, не нечетная, так как при x < 0 не

существует. Ее график не обладает свойством симметрии.

3) Интервалы возрастания, убывания. Экстремумы функции. Определим критические точки:

интервал возрастания (0; e2), интервал убывания ( e2, ). 4) Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба. Найдем вторую производную:

78

Знак f x

В точке x e83 график функции имеет перегиб

На интервале (0; e83 ) график функции выпуклый, на интервале

(e83 ; ) – вогнутый.

5)Наклонные асимптоты будем искать в виде y kx b :

2 x

Ось абсцисс y = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции (рис. 6).

y

Рис. 6

79

Задача 11. Проверить, удовлетворяет ли уравнению

функция u xey x .

Решение

Найдем все производные второго порядка от функции u xey x :