Математика. Учебное пособие

x cost

t sin t

2 .

4. x 2 y2 dS , С – кривая

, 0 t

C

y sin t t cost

5. y2dS

x t sin t

, где С – арка циклоиды

, 0 t 2 .

C

y

1 cost

6. xydS

x 2cost,

вдоль окружности

.

C

y 2sin t.

7.

x 2 y2 dS , где С – окружность x 2 y2 6x .

C

8. y x dS , где С – дуга параболы

y = x3 от точки A(1, 1) до точ

C

ки B(2, 8).

9. xydS

x 3cost,

, где С – дуга окружности

C

y 3sin t.

43

x 3 y dS вдоль прямой, соединяющей точки A(–1, 0)

10.

и

C

B(0, 1).

t sin t ,

4

11. y2dS ,

x

0 t

2 .

где С – арка циклоиды

4

1 cost

C

y

12. x 2 y2 dS , где С – окружность

x 2 y2 4 .

C

13.

x 2 y2 dS , где С – окружность x 2 y2 4x .

C

14.

dS

по отрезку прямой, соединяющей точки A 0, 2

и

C

x 2 y2

точки B(4, 0).

15.

dS

вдоль отрезка прямой, соединяющей точки A(0, –2) и

C

x 2 y2

B(8, 2).

16.

dS

по отрезку прямой, соединяющей точки A(2, –1) и

C

x 2 y2

B(6, 1).

17. y2dS ,

x

3(t sin t)

0 t

2 .

где С – арка циклоиды

,

C

y

3(1 cost)

18.

x 2 ydS , где С – часть окружности

x 2 y2 R2 ,

лежащая в

C

I четверти.

19.

x 2

y2 3 dS вдоль окружности x 2 y2

9 .

C

20.

x 2

y2 5 dS , вдоль окружности x 2

y2

25.

C

21.

x 2 y2 dS , где С – окружность x 2

y2

8x .

C

22.

x 2

y2 4 dS , где С – окружность x 2

y2 16 .

C

23.

xdS ,

где L – часть параболы y

3

x 2,

расположенной на

L

8

0 x 4 .

24.

dS

,

где L – отрезок прямой y

1

x 2,

заключённой между

2

L

x y

точками A(0, 2) и B(4, 0).

25.

y x dS, где C – дуга параболы

y x 3

от точки A(1, 1) до

C

точки B(2, 8).

где C – арка циклоиды x t sin t , 0 t 2 .

26.

y2dS,

C

y 1 cost

27.

x 2 y2 dS, где C – окружность x 2

y2

2x .

C

28.

x 2

y2 dS, где C – окружность x 2

y2

4 .

C

29.

dS

по отрезку прямой, соединяющей точки A(0, –2) и

L

x 2 y2

B(4, 0).

t sin t

,

30.

y2dS ,

x 4

2 .

где С – арка циклоиды

4

1 cost

0 t

C

y

обходя его против часовой стрелки.

4.

x 2 2y dx y2 2xy dy

вдоль

дуги параболы L:

y x 2

от

L

точки A(–1, 1) до точки B(1, 1).

5.

x 2 y 3x dx y2 x 2y dy

вдоль

верхней

половины

эллипса

L

x 3cost, y 2sin t,

0 t .

6.

x 2 y dx y2 x dy вдоль ломаной

L=ABC:

A(1,

2),

L

B(1, 5), C(3, 5).

7.

ydx

x

dy , L : y e x от точки A(0,

1) до точки B 1, e .

L

y

8.

y2 1

dx

x

dy , L – прямая от точки A(1, 2) до точки B(2, 4).

2

L

y

y

xy x 2

dx xdy вдоль дуги параболы L: y 2x 2 от точки A(0, 0)

9.

L

до точки B(1, 2).

10.

y

dx xdy вдоль дуги L : y ln x от точки A(1, 0) до точки B(e, 1).

L

x

11.

x 2 y2 dx x 2

y2 dy вдоль прямой L : y x от точки А(0; 0)

L

до точки B(2, 2).

12.

xdy ydx вдоль циклоиды L : x a t sin t , y a 1 cost от

L

точки A 2 a, 0 до точки B(0, 0).

13.

x y dx x y dy вдоль окружности L : x 4cost,

y 4sin t ,

L

обходя ее против хода часовой стрелки.

14. x2 y dx y2 x

dy вдоль ломаной L ABC : A 1,2 , B 1,5 , C 3,5 .

L

16. xex3 dy ydx

вдоль

параболы

L : y x 2

от точки A(0,

0)

до

L

точки B(1, 1).

17. 2xydx x 2dy

вдоль параболы

L : x 2y2

от точки A(0,

0)

до

L

точки B(2, 1).

18.

x 2dy y2dx

вдоль астроиды L : x 8cos3 t, y 8sin3 t

от точки

5

5

L

x 3 y 3

A(8, 0) до точки B(0, 8).

19.

x 2

y2

dx xydy

вдоль прямой L,

соединяющей

точки

L

A(1, 1) и B(3, 4).

20. x y 2 dx x y 2 dy вдоль ломаной L ABC : A 0,0 , B 2,0 , C 4,2 .

L

x 2

dx

x 2 y2

dy вдоль прямой L : y x от точки A(–1, 1)

21.

y2

L

до точки B(0, 0).

22.

ydx xdy

,

где АВ

– верхняя часть окружности

x R cos t,

x

2

y

2

AB

y R sin t .

23. x y dx x y dy

вдоль окружности L : x 4cost,

y 4sin t

L

от точки A(4, 0) до точки B(0, 4).

24. x 2

y dx y2 x dy вдоль прямой L AB от точки A(1, 2) до

L

точки B(3, 5).

L

обходя его против часовой стрелки.

26.

xex21dx ydy

вдоль гиперболы

L : y x 3

от точки A(0,

0)

до

L

точки B(1,1).

27.

2xydx x 2dy

вдоль параболы

L : x 2y2

от точки A(0,

0)

до

L

точки B(8, 2).

28.

x y 2 dx x y 2 dy вдоль

ломаной

ОАВ, где O(0,

0),

29.

x 2

2xy dx y2 2xy dy вдоль параболы

y x 2 от точки

AB

A(–1, 1) до точки B(1, 1).

30.

x 2

y2 dx x 2 y2

dy вдоль линии y

x

от точки A(–1, 1) до

2x

1

1.

y cos xy

dx

x cos xy dy .

x

2 y

x 2

y

3x 2

sin x y

1

sin x y

2.

x

3

2y

dx

x

3

2y

dy .

2

3. 3x 2 3y 1 dx 3x 8y dy .

4.

xdx

ydy

.

x 2 y2 1

x 2 y2 1

5.

dx

dy

.

1 x 2 y2 2xy

1 x 2 y2 2xy

6.

dy

dx

.

y x

y x

7. e3 x 2 2y2 xy 6x y dx e3 x2 2y2 xy 4y x dy .

8.

2x

dx

2y

dy .

x 2 y2

x 2 y2

9.

1

ctg

y

dy

y

ctg

y

dx .

x

x

x 2

x

12.

2xdx

2ydy

.

1 x 2 y2

1 x 2 y2

1

1

2y x

27.

dx

dy

y2

x

y

28.

x

dx

2x y

dy .

x

y 2

x y 2

1

2x

1

2x 2

29.

2xy2

3x 2

dx 2x 2 y 3y2

dy .

x 2

y2

y2

y3

30.

1 sin 2x dy (3 2y cos2x)dx .

Задача 14. Найти

решения уравнения z2 20z 110 0 в

ком

плексной области.

Решение

D b2 4ac 202 4 110 100 440 40 1 40 i2 40

z

b

D

20

i2

40

10

10i

1,2

2a

2

Задача 15. Даны

комплексные числа

z1

5

5i ,

z2 1 3i ,

9

9

z3 sin

i cos

.

2

2

4

4

1) Найти модуль и аргумент комплексных чисел z1, z2, z3

и изобра

зить их на чертеже.

2) Записать комплексные числа z1 и z2 в тригонометрической фор

ме и выполнить следующие действия: z

z

2

;

z1

,

z3 , 4

z

2

.

1

z2

1

3) Записать комплексные числа z1

и z2

в показательной форме и

выполнить следующие действия: z z

2

;

z2

,

z5 ,

4

z .

1

z1

2

1

4)

Записать комплексное число

z3

в арифметической форме и

выполнить следующие действия: z 2z

3

;

z

2

2z

3

;

z z

3

;

z2

.

1

1

z3

Решение

1) Для комплексного числа z1 5

5i имеем x1

5 0,

y1

5 0.

Тогда

z1

r1

5 2

5 2

10 .