вается вероятность , с которой осуществляется неравенство n .
Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице (обычно 0,95, 0,99 и 0,999).
Доверительным
называют
интервал ( n , n ) , который
накрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .
Для математического ожидания нормально распределенного
признака справедливо
P xв
t
a xв t
2 t ,
n
n
то есть с надежностью можно утверждать, что доверительный
интервал (
в t
;
в t
) содержит неизвестный параметр a ;
x
x
n
n
точность оценки равна t . n
Для проведения выборочного наблюдения весьма важно правильно установить объем выборки n , который в значительной степени опреде% ляет необходимые при этом временные, трудовые и стоимостные затраты. Для определения объема выборки следует задать надежность (доверительную вероятность) оценки и точность (предельную ошибку выборки) :
n t2 2 .
2
В большинстве случаев среднее квадратическое отклонение X
исследуемого признака неизвестно. Поэтому вместо X при большой выборке применяют исправленное выборочное среднее квадратическое
отклонение S
n
. Доверительный интервал в этом случае будет
n 1
в
иметь вид
t
S
a
t
S
.
х
в
х
в
n
n
а) Из п.4 имеем n = 7, хв 4,638 , в 0,133 .
По таблице для функции Лапласа при 0,95 найдем t =1,96. Тогда точность оценки:
По таблице находим t t( ,n) t(0,95, 7) 2,45 . Точность оценки:
t
s
2,45
0,134
0,124 .
n
7
Доверительные границы:
в 4,638 0,124 4,514 ,
в 4,638 0,124 4,762.
х
х
Искомый доверительный интервал
4,514 a 4,762 .
в) При 0,99 и n=7 имеем t
t( ,n) t(0,99, 7) 3,71.
Точность оценки:
t
в
3,71
0,133
0,187 .
2,6457513
n
г) По условию, 0,98 . Следовательно, Ф(t) =
0,98
0,49 . По
2
таблице найдем t = 2,33. При точности оценки 0,05 искомый объем выборки
2,33 0,134
2
n
40 .
0,05
6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X
В наиболее часто используемом на практике критерии Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина 2 , равная сумме квадратов отклонений частостей (статистических вероятностей) wi от гипотетических pi , рассчитанных по предполагаемому распределению, взятых в некоторыми весами ci :
m
U 2 ci wi pi 2 .
i 1
192
Веса ci
вводятся таким образом, чтобы при одних и тех же откло%
нениях w
p 2 больший вес имели отклонения, при которых p мала,
i
i
i
и меньший вес – при которых pi
велика. Поэтому ci принимаются
обратно пропорциональными вероятностям
pi . Можно доказать, что
при c
n
и n статистика
i
pi
m
U 2
n
w
p
2
i
i
i 1 pi
или
m
w p 2
U 2
i
i
i 1
npi
имеет 2 %распределение с k m r 1 степенями свободы, где m – чис% ло интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда); r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Числа ni nwi и npi называются соот% ветственно эмпирическими и теоретическими частотами.
Для выбранного уровня значимости по таблице 2 %распределе% ния находят критическое значение 2 при числе степеней свободы k m r 1. Если фактически наблюдаемое значение 2 больше крити% ческого, то есть 2набл крит2 , то гипотеза H0 (значения люфта распре% делены нормально) отвергается; если 2набл крит2 , гипотеза H0 не
противоречит опытным данным.
Теоретические вероятности попадания X в интервалы определятся
из
x
i 1
a
x
i
a
Рi
,
где xi,xi+1 – границы i&го интервала:
P P 4,28
4,38
4,38 4,638
4,28 4,638
x
в
1
0,134
0,134
1,9254
2,6716 0,4729 0,4962 0,0233;
193
P P 4,38
4,48
4,48 4,638
4,38 4,638
x
в
2
0,134
0,134
1,1791 1,9254 0,3799 0,4729 0,0930;
P P 4,48
4,58
4,58 4,638
4,48 4,638
x
в
3
0,134
0,134
0,4328 1,1791 0,1676 0,3799 0,2123;
P P 4,58
4,68
4,68 4,638
4,58 4,638
x
в
4
0,134
0,134
0,3134
0,4328
0,1229 0,1676 0,2909;
P P 4,68
4,78
4,78 4,638
4,68 4,638
x
в
5
0.134
0,134
1,0597 0,3134 0,3553 0,1229 0,2324;
P P 4,78
4,88
4,88 4,638
4,78 4,638
x
в
6
0,134
0,134
1,8060 1,0597 0,4646 0,3553 0,1093;
P P 4,88
4,98
4,98 4,638
4,88 4,638
x
в
7
0,134
0,134
2,5522 1,8060 0,4947 0,4646 0,0301.
Составим таблицу вида:
Интервал
Эмпирическая
Вероятность
Теоретич.
(ni npi )2
(n np )2
xi xi 1
частота ni
pi
частота npi
i i
np
i
4,28%4,38
4
0,0233
2,33
2,7889
1,197
4,38%4,48
9
0,0930
9,30
0,009
0,0097
4,48%4,58
17
0,2123
21,23
17,8929
0,8428
4,58%4,68
30
0,2909
29,09
0,8281
0,0285
4,68%4,78
27
0,2324
23,24
14.1376
0,6083
4,78%4,88
11
0,1093
10,93
0,0289
0,0026
4,88%4,98
2
0,0301
3,01
1,0201
0,3389
0,9913
2 = 3,0278
194
По таблице критических точек распределения 2 (уровень значимости 0,05; число степеней свободы k 7 2 1 4 ) находим2кр (0,05;4) 9,5.
Так как 3,0278 9,5, т.е. 2набл кр2 , нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении значений люфта.
195
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЭКЗАМЕНЫ
1.Определители второго и третьего порядка. Минор, алгебраи% ческое дополнение. Разложение определителя по элементам строк и столбцов. Понятие определителя любого порядка (по индукции), его свойства и вычисление.
2.Системы линейных уравнений. Формулы Крамера. Системы ли% нейных однородных уравнений, их нетривиальные решения.
3.Векторы%отрезки, линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Размерность, базис. Координаты вектора как коэффи% циенты его разложения по базису и как проекции на координатные оси. Направляющие косинусы.
4.Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение в координатах, применение. Координаты вектора как скалярные произведения вектора на координатные орты.
5.Векторное и смешанное произведения: их свойства, выражения в координатах, применение.
6.Матрицы, линейные операции над ними. Умножение матриц. Обратная матрица.
7.Матричная запись и решение систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, Жор% дана – Гаусса .Теорема Кронекера – Капелли.
8.Понятие линейного векторного пространства. Примеры. Поня% тие линейного оператора. Евклидовы пространства. Ортогональный и ортонормированный базис.
9.Понятие системы координат. Координаты точки как ее анали% тический эквивалент. Прямоугольная декартова система координат. Полярная, сферическая, цилиндрическая системы координат. Преоб% разования координат.
10.Линия на плоскости, ее уравнение. Поверхность в пространстве,
ееуравнение. Линия в пространстве, ее уравнения. Параметрические уравнения линий. Уравнения (системы уравнений) линий и поверхно% стей как их аналитический эквивалент. Второй принцип соответствия.
11.Области на прямой, плоскости в пространстве. Их аналити% ческий эквивалент — системы неравенств.
12.Переменные и постоянные величины. Множества. Операции над множествами. Логические символы. Отрезок, интервал, ограниченное множество. Неравенства для абсолютных величин.
13.Предел последовательности. Сравнение величин. Арифметиче% ские действия с переменными, имеющими предел. Число e.
196
14.Функция. Взаимно%обратные функции. Графики взаимно%обрат% ных функций. Рост функции в данном интервале.
15.Предел функции. Предел функции в бесконечности. Ограниченность функции, имеющей предел.
16.Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых ве% личин. Бесконечно большие величины. Первый замечательный предел. Правила предельного перехода
17.Непрерывные функции. Точки разрыва и их виды.
18.Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к линии. Дифференцирование функций. Правила дифференцирования. Производные сложной и обратной функций. Формулы дифферен% цирования основных элементарных функций. Логарифмическое диф% ференцирование. Производные неявных функций. Параметрически заданные функции и их дифференцирование.
21.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Поведение функции в интервале.
22.Экстремум функции. Необходимый признак экстремума. Пер% вый достаточный признак экстремума. Второй достаточный признак экстремума. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба. Призна% ки точки перегиба. Асимптоты линий. Общая схема исследования функций.
23.Приращения функции двух переменных. Предел функции. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
24.Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
25.Производные и дифференциалы высших порядков. Производ% ная сложной функции.
26.Неявные функции. Теорема существования неявной функции. Дифференцирование неявной функции.
27.Геометрические приложения дифференциального исчисления функций двух переменных. Уравнения касательной плоскости, нормали.
28.Производная по направлению. Градиент. Линии уровня
29.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимый признак экстремума. Достаточные условия. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
197
30.Задачи о наибольших и наименьших значениях функции.
31.Метод наименьших квадратов
32.Арифметические действия над комплексными числами. Алге% браическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера, Муавра.
33.Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Следствие из основной теоремы. Действительный многочлен n%й степени.
34.Первообразная: основные свойства. Неопределенный интеграл: свойства. Таблица интегралов.
35.Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной (подстановки). Интегрирование по частям.
36.Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.
41.Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
42.Приложения определенных интегралов.
43.Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел. Вычисление длины дуги кривой. Площадь поверхности вращения.
44.Центр тяжести криволинейной трапеции. Работа переменной силы. Путь.
45.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Не% собственные интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.
46.Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравне% ниям. Основные понятия теории ДУ. Обыкновенные дифференциаль% ные уравнения. Порядок ДУ. Решение (интеграл) ДУ. Интегральная кривая.
47.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Геометрическая интерпретация ДУ первого порядка. Интегрируемые типы дифферен%
198
циальных уравнений первого порядка. ДУ с разделенными пере% менными, с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Особые решения.
48.Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема су% ществования и единственности решения задачи Коши. Задачи с крае% выми условиями. Некоторые типы ДУ, допускающих понижение порядка.
49.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения. Фундаментальная система решений. Опреде% литель Вронского. Теорема о структуре решения однородного линей% ного ДУ. Теорема о структуре решения неоднородного линейного ДУ. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
50.Линейные однородные дифференциальные уравнения с по% стоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
51.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с по% стоянными коэффициентами. Решения при некоторых видах правых частей.
52.Однородные линейные системы с постоянными коэффи% циентами.
53.Задача об объеме цилиндрического тела. Двойной интеграл, теорема существования, свойства. Теорема о среднем.
54.Вычисление двойных интегралов.
55.Приложения двойных интегралов к задачам механики (масса, статические моменты, центр тяжести, моменты инерции плоской пластинки). Вычисление площади поверхности. Вычисление интегра% лов, зависящих от параметра.
56.Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
57.Вычисление тройных интегралов (при задании области инте% грирования в декартовых, цилиндрических и сферических коор% динатах).
58.Общая замена переменных в двойном и тройном интегралах. Якобиан.
60.Криволинейный интеграл по длине (первого рода), вычисление. Масса кривой.
61.Криволинейный интеграл по координатам (второго рода), фи% зический смысл, вычисление.
199
62.Условие независимости интеграла от линии интегрирования. Формула Грина. Интегрирование полных дифференциалов. Первооб% разная функция. Формула Ньютона%Лейбница для криволинейных интегралов.
63.Применение криволинейных интегралов второго рода (вычисле% ние площади, вычисление работы в потенциальном силовом поле).
65.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Знакоперемен% ные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
66.Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное дифференцирование и интегриро% вание функциональных рядов. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
67.Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.
68.Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Прибли% женное вычисление значений функций. Интегрирование функций. Интегрирование дифференциальных уравнений (методы последо% вательного дифференцирования и неопределенных коэффициентов).
69.Разложение по ортогональной системе функций. Формулы Фурье. Тригонометрические ортогональные системы функций и разло% жение функций по этим системам. Теорема о возможности разложения функции в ряд Фурье. Разложение в ряд четных и нечетных функций, функций с произвольным периодом и заданных на половине периода.
70.Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравне% ниям в частных производных.
71.Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка, приведение к каноническому виду. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи, корректность постановки задач.
72.Основные уравнения математической физики.
73.Метод Фурье решения краевых задач для уравнения тепло% проводности.
74.Задача Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона.
