Математика. Учебное пособие

Модуль векторного произведения:

5) Уравнение плоскости A1A2A3 запишем как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

x 10 6 8 y 6 36 16 z 6 24 8 0; 14 x 10 52 y 6 16 z 6 0;

14x 52y 16z 356 0.

61

Следовательно, искомое уравнение плоскости A1A2A3: 7x 26y 8z 178 0 .

6) Уравнения высоты из точки A4 на грань A1A2A3 определятся как уравнения прямой, проходящей через точку A4 перпендикулярно

За направляющий вектор a l,m,n примем нормальный вектор

плоскости A1A2A3:

n 7,26, 8 .

Тогда уравнения высоты запишутся в виде:

x 7 y 10 z 3 . 7 26 8

7) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3 – это угол между пря2 мой и плоскостью, составляющий в сумме с углом между направляю2 щим вектором прямой и нормальным вектором плоскости прямой угол.

стороны – одной третьей произведения площади S основания A1A2A3 на высоту H, опущенную на основание из вершины A4.

62

Высоту H найдем как расстояние от точки A4 (7, 10, 3) до плоскости

A1A2A3:

6

7

10

x

Рис.1 (к задаче № 3)

63

Задача 4. Уравнение линии второго порядка

x2 y2 4x 2y 7 0

привести к простейшему виду. Определить вид и расположение этой линии.

Ре ш е н и е . Выделим полные квадраты по х и по у:

x 2 4x y2 2y 7 0 ,

x 2 4x 4 4 y2 2y 1 1 7 0 ,

x 2 2 4 y 1 2 1 7 0 ,

x 2 2 y 1 2 4 0 .

Обозначим

Геометрически это означает, что мы делаем параллельный перенос осей координат в точку О (2; 1). После параллельного переноса получим:

т.е. уравнение гиперболы, центр которой расположен в точке О (2; 1). Так как ее полуоси равны (а = b = 2), то это — равносторонняя гипербо2 ла, действительная ось которой направлена по оси О у .

Для того чтобы построить данную гиперболу, нарисуем старые и новые координатные оси. Отложим на осях О х и О у в обе стороны от О отрезки, равные двум единицам длины. Через полученные вершины гиперболы проведем ее основной прямоугольник (в данном случае — квадрат). Его диагонали являются асимптотами гиперболы. Далее чертим ветви гиперболы, помня, что ее действительные вершины на2 ходятся на оси О у (рис. 2).

Для уточнения расположения гиперболы найдем точки ее пересечения со старыми координатными осями. Для этого полагаем в данном уравнении сначала у = 0, а затем х = 0:

x2 4x 7 0 ,

y2 2y 7 0 .

64

В точке x1 3 функция терпит бесконечный разрыв.

y 153 x

15

x

1 2 3

Рис.3

Задача 6. Функция задается различными аналитическими выра2 жениями для различных областей изменения независимой переменной

Требуется:

1)найти точки разрыва функции, если они существуют;

2)найти скачок функции в каждой точке разрыва;

3)сделать схематический чертеж.

Решение

Данная функция определена при всех значениях x. Разрыв она может иметь в точках x = –1 и x = 1. Найдем односторонние пределы в этих точках.

66

Найдем односторонние пределы функции в точке x = 1.

x = 1 непрерывна.

Сделаем схематический чертеж (рис.4).

y

Рис.4

Задача 7. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом

Точка x = 2 принадлежит области определения функции.

67

Воспользуемся тем, что для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

При подстановке предельного значения аргумента получим неоп2 ределенность 00 , которая разрешается сокращением дроби на разность

(x – 2). Для чего квадратные трехчлены, стоящие в числителе и в

знаменателе, разложим по формуле

ax 2 bx c a x x1 x x2 ,

68

одно из которых является сопряженным числителю, другое – знамена2 телю. После этого сократим дробь на двучлен (x – 4):

Используем формулу 2sin2 x 1 cos2x , а затем – эквивалентность

69