Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Задача 16. Найти неопределенные интегралы:

а)

cos x

9 sin

sin x t , тогда

cos xdx dt ,

следовательно,

Сделаем подстановку

d sin x cos xdx . Согласно формуле

arcsin

C , находим:

U 2

cos x

sin x

arcsin

sin x

9 sin

sin x

б) cos

cos

Применяя

формулу

cos cos

cos cos , будем

иметь:

cos

43x

cos

43x

cos

28x

cos

x dx

sin

43x

sin

28x

sin

43x

sin

28x

в) x 1 sin 2xdx

Примем U x 1, dV sin 2xdx , тогда dU dx ,V

cos2x .

Используя формулу интегрирования по частям UdV UV VdU ,

получим:

dU dx

x 1 sin 2xdx =

U x 1

dV sin 2xdx

cos2x

x 1

cos2x

cos2xdx

1 x

cos2x

sin 2x C .

г) 1 2x e3 x dx

Примем U 1 2x , dV e3 x dx , тогда dU 2dx ,V

e3 x .

111

Используя формулу интегрирования по частям UdV UV VdU , получим:

1 2x e3 x dx

U 1 2x

dU 2dx

e3 x

dV e3 x dx

1 2x

e3 x

e3 x dx

e3 x

e3 x C .

д)

2x 1 dx

x 2 2x 3

Выделим в числителе производную подкоренного выражения и разложим полученный интеграл на разность двух интегралов. Приме

няя формулы

U C и

U 2 a2

C , получим:

U 2 a2

2x 2

1 dx

x 2 2x 3

x 2

2x 3

2 2x 3

x 1 2 2

2 2x 3 3ln

x 1

x 2 2x 3

C .

е)

x 2

Применяя подстановку x 2tgt , dx

2dt

cos2 t

tgt

sin t

sin2 t

x 2

1 sin2 t

sin2 t

cost

sin2 t

sin2 t 1

sin2 t

x 2

sin t

x 2

получим:

4 x 2

2dt

x 2

4 x 2

cos2 t 4tg2t

4 4tg2t

sin2 t

1 tg2t

cosdt

d sin t

sin t

sin2 t

cos

t sin

sin2 t

cos2 t

112

16xdx

ж) 2x 2 x x 1 .

1	C	1		C .
4sin t	C	4	x 2	C .
		4	x 2
		4	x 2

Разложим знаменатель на произведение линейных множителей и представим рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

16x	16	A	B
				.
x 2x 1 x 1	2x 1 x 1	2x 1	x 1

Должны иметь 16 Ax A 2Bx B или 16 A 2B x A B . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

систему уравнений:
A 2B 0	A 2B
		16.
A B 16	2B B	16.

Решив систему, найдем A 323 и B 163 .

Интеграл представляется разностью двух интегралов:

16xdx

2x 1

x 1

323 12 ln 2x 1 163 ln x 1 C

16 ln 2x 1 ln x 1 C 16 ln 2x 1 C . 3 3 x 1

Задача 17. Вычислить определенные интегралы:

а) 2a x 3 sin axdx .

113

U x 3

du dx

2a x

3 sin axdx

cos ax

dV sin axdx

x 3

2a cosaxdx

cosax

sin ax

б)

		3			0 3		1

2a

			cos a			cos0
					a		a	2
	a			2a

3 1 3a 1. a a2 a2

	xdx	.
	1 3x	.
	1 3x

		1
sin a			sin0
		a
	2a

Примем 1 3x t . Найдем пределы интегрирования для t:
если x=0, то t=1;
если x=5, то t=4.
Выразим x: 1 3x t 2,		x		t 2	1	и найдем дифференциал обеих
Выразим x: 1 3x t 2,		x			3	и найдем дифференциал обеих
	2tdt				3
частей выражения dx	2tdt		. Подставив x, dx и найденные пределы
частей выражения dx			. Подставив x, dx и найденные пределы
3
интегрирования в интеграл, получим:

													1 3x t,				dx			2tdt
				5		xdx							1 3x t,				dx			3
				5								x 0, t 1								3


						1 3x
						1 3x						x 5, t 4
				0

		4		(t 2 1) 2t										4					4
		4		(t 2 1) 2t							2			4			2		4
										dt					t 2 1 dt				t 2 1 dt
				3 t				3		dt			9		t 2 1 dt			9	t 2 1 dt
		1												1					1
2	t 3				4		2		64						1		2 63				2		2
2	t 3				4		2		64						1		2 63				2		2
			t								4					1				3		18		4 .
9		3	t				9				4				3	1				3	9	18		4 .
9		3			1		9		3						3		9 3				9

114

Задача 18. Вычислить несобственный интеграл или установить его

расходимость

Рассмотрим предел:

lim

lim arctgx

Несобственный интеграл

= arctg arctg

сходится.

x 2 1

Задача

19.

Изменить

порядок интегрирования в

интеграле

1 2 y

x, y dx.

dy f

Решение

Область интегрирования D ограничена линиями: у = 0, x y , x 2 y .

B(1;1)

х+y=2

y=х2

0	С(1;0)	А(2;0) x

Если же сначала интегрировать по y, затем по х, то область D

сначала надо разбить на две области ОВС и СВА. Получим:

1	2 y	1	x 2	2	2 x
dy f x, y dx dx f x, y dy dx f x, y dy.
0	y	0	0	1	0

115

	Задача 20.
	а)		Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y				x и осью OX (рис.8).
		x 1 2 , y 5

Решение

По уравнениям границы области D построим данную фигуру. Линии, ограничивающие ее, пересекаются в точке M (1; 4). Должны иметь y x 1 2 и y 5 x .

Откуда x 1 2 5 x;

x 2 3x 4 0, M1 4;9 D, x1 4, x2 1;

y1 9, y2 4, M2 1;4 D.

5y x 1 2

y 5 x

Рис.8

Для области D справедливы неравенства

0 y 4, y 1 x 5 y.

Искомая площадь

			d	2 y			4	5 y					4			y 1 dy
S dxdy dy						dx dy					dx 5 y					y 1 dy
		D	c	1 y			0	y 1					0
	4												4
	4
							y2	2		3 2							2 8	32
							y2	2		3 2							2 8	32
		6 y y dy			6y				y					24	8				.
		6 y y dy			6y		2	3	y					24	8	3		3	.
	0						2	3				0				3		3

116

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 2 a2 sin 2 (рис.9).

2 a2 sin 2

Рис.9

Решение

Построив кривую и заметив, что она симметрична относительно полюса и что при изменении от 0 до 2 текущая точка ( , ) отсечет половину кривой, расположенную выше полярной оси, будем иметь:


	2			a sin 2		2
S d d 2 d					d a2 sin 2 d
D	0			0		0
		a2
		a2	cos 2 2			a2.
			cos 2 2			a2.
	2				0
	2

Задача 21.

а) Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями

x y z 4,

x 3,

y 2,

x o,

y 0,

z 0 (рис.10, 11).

117

x
x y 4	x=3
x y 4
2	y=2
2
1
3	x

Рис.10

x y z 4

2	4	y

Рис.11

118

	1	3	4 x y				2		4 y					4 x y				1		3									2		4 y
V dy dx					dz dy dx											dz dy						4 x y dx dy											4 x y dx
	0	0	0				1			0			0					0		0									1			0
						1					x2								2				x2
							4x						yx \|03 dy 4x												yx \|04 y dy
							4x			2			yx \|03 dy 4x										2		yx \|04 y dy
				1		0				2									1				2
				1				9							2							4 y				2
					(12			9	3y)dy							4		4 y				4 y					y		4 y		dy
					(12				3y)dy							4		4 y					2				y		4 y		dy
							2																2
				0											1
				1 15										2											y2					2
							3y			dy 16 4y 8 4y																	4y y				dy
							3y			dy 16 4y 8 4y															2		4y y				dy
				0 2										1											2
1	15				2								y2					15			3y2			1					2			y3		2	55
		3y dy			8 4y									dy					y					\|0	8y			2y						\|1		кв.ед.
		3y dy			8 4y									dy				2	y			2		\|0	8y			2y				6		\|1	6	кв.ед.
0	2				1								2					2				2										6			6
	б) Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного кониче
ской поверхностью z													x 2 y2				и плоскостью z 3 (рис.12).
			z
																											y
												z 3															y					3
												z 3

x, p

Рис.12

M yz			M xz		0
							3				2	3	3		2		3	2
M xy dxdy									z dz		d d z dz d								z	\|3 d
M xy dxdy									z dz		d d z dz d								2	\|3 d
				D			x 2 y2				0	0			0		0
	1 2			3				3		1	2	9 2	4	3		1	2 81				81
		d 9							d					\|0	d							d
	2	d 9							d	2		2	4	\|0	d	2					4	d
	2	0		0						2	0	2	4			2	9	2			4
	81		\|2			81
			\|2
	8			0	4
	8				4

119

		2		3			3			2	3	2	3 2	3	3
m d d dz d 3 d															\|0	d
m d d dz d 3 d													2	3	\|0	d
		0		0					0		0	0	2	3
	2 27				27
						d			9
						d			9
0		2			3
		81	/ 9				9
z		81					9
z		4						4
		4						4

С (0,0, 49 ).

Задача 22. Вычислить

, где AB – отрезок прямой,

соединяющий точки A

0,2

и B 1,2

Решение

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид:

					x x 1								y y1					.
																		.
					x	2	x						y		y
						2				1				2		1
Тогда уравнение данной прямой: y 2x .
Дифференциал дуги: dL														2		dx			1 4dx			5dx .
Дифференциал дуги: dL							1 2x									dx			1 4dx			5dx .
											dL						=

								x		2	y			2
					AB			x			y				4
1	5			1				5								1		dx					4
1				1												1
=				dx								dx									ln	x x 2		\|10

	2x	2	4		5x			2												4			5
0 x 2	2x		4	0	5x				4							0		x	2	4			5
																		x		5

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]