Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

№ 2972

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Б.Г. Разумейко,

Е.Л. Плужникова,

ISBN 978-5-906953-03-2

Л.Р. Ким-Тян, 2017

НИТУ «МИСиС», 2017

СОДЕРЖАНИЕ

1.

Неопределенный интеграл...............................................................

4

Домашнее задание № 1 ...................................................................

62

2.

Определенный интеграл и его приложения...................................

86

Домашнее задание № 2 ...................................................................

117

3.

Несобственный интеграл.................................................................

134

Домашнее задание № 3 ...................................................................

155

Библиографический список.................................................................

160

Пример1.1. Вычислитьнеопределенныйинтеграл (3x2 4

x

5)dx .

x

1

x3

1

1

x2

(3x2 4 x

5 )dx 3 x2 dx 4 x2 dx 5 dx

3

4

1

x

x

3

1

8

2

5ln

x

c x3

x3 5ln

x

c.

3

4 x

3

4

x

3

1

3

1

dx

dx

(4 x

2

x

2 )dx

x

x

x

1

1

5

5

1

x 2

x2

2

= 4

x2 dx 8

x

c

8 x

x7

c.

1

5

7

2

1

2 1

sin2 x / 2 dx 1 cos x dx 1 dx cos x dx

2

2

2

1 dx

1

cos xdx 1 x

1 sin x c.

2

2

2

2

5

x

Пример 1.4. Вычислитьнеопределенный интеграл

4

dx .

5

x

Решение

Разобьем интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых

является табличным:

x

1

5

x

1

x

5 1

4x

25

5

4

4x

4

dx

5 x

5 dx 4

dx 5

c

x

c

5

x

1 1

ln 4

4

ln 4

5

Пример

1.5.

Вычислить

неопределенный

интеграл

2x5 x

4

1

dx.

3

2

3

x

x

Решение

Разобьем интеграл на сумму трех интегралов, каждый из которых

является табличным:

4

1

6

2

x

6

1

5 x

x 3dx

5

2x

dx

2

x5 dx 4

x

3 dx

2

3

2

3

x

x

6

1

5

x

2

1

x 3 1

10

11

1

x 2

10

1

3

5

x11 12

3 x

4

c

x 5 12x3

c

c.

2 1

3

1

11

2

11

2x2

3

Пример 1.6. Вычислитьнеопределенный интеграл esin x cos x dx .

Решение

φ(x) = sin x

Заметим,

что

производная

от

функции

равна

esin x cos x dx

sin x t

et

dt et c esin x

c.

dt cos xdx

Пример 1.7. Вычислить неопределенный интеграл

sin 2

x

dx .

1

sin

4

x

Решение

sin 2x

dx

2sin xcos x

dx

sin x t

2t dt

4

4

1

sin

4

x

1 sin

x

cos xdx dt

1

t

t2 u

du

.

2tdt du

1

2

u

В результате получили табличный интеграл:

du

arctg u c arctg t2 c arctg sin2 x c.

1

2

u

Пример 1.8. Вычислить неопределенный интеграл cos 2xdx.

Решение

cos 2xdx

2x t

cost dt

1 sin t c

1 sin 2x c.

dt

2dx

dx dt / 2

2

2

2

жем сделать замену t = sin x:

sin xcos xdx

sin x t

tdt t2

c sin2 x

c.

dt cos xdx

2

2

dx

4x 2 t

1

dt

1

t

1

1

1

4dx dt

2 dt

t c

4x 2 c.

4x 2

4

t

4

2

2

dx 1 dt

4

Пример1.12. Вычислитьнеопределенныйинтеграл x5

3 2 5x6 dx .

Решение

t 2 5x6

1

1

1

x5 3 2 5x6 dx

dt 30x5dx

3

tdt

t 3 dt

30

30

x5dx

dt

30

1 1

4

1

t 3

3

1

6

4

c

t 3 c

3

(2

5x

)

c.

30

1

1

4

30

40

3

1 (t10 t9 )dt 1

t10dt

1 t9dt

1 t11

1 t10

c

9

9

9

9 11

9 10

1

11

1

10

(1 3x)

(1 3x)

c.

99

90

Пример

1.14.

Вычислить

неопределенный

интеграл

3x arcsin 2x dx .

1 4x2

3x arcsin 2x

dx 3

x

dx

arcsin 2x

dx.

1 4x2

1 4x2

1 4x2

x

1 4x2 t

dt / 8

1

1

2

dx

dt 8xdx

t 2

dt

t c

1 4x

2

8

8

xdx dt

/ 8

t

1

1 4x2 c.

4

Заметим, чтововтороминтегралепроизводная arcsin 2x

2

.

Значит, можем сделать замену t = arcsin 2x . Тогда

1 4x2

arcsin 2x

arcsin 2x

t

1

tdt

1 t2

arcsin2 2x

2dx

c

c.

1

4x

2

dx

dt

2

2 2

4

1 4x2

Следовательно,

3x arcsin 2x

3

2

arcsin2 2x

1 4x2

dx 4

1 4x

4

c.

Пример 1.15. Вычислить неопределенныйинтеграл

ex

dx .

1 4e

2 x

Решение

x

x

Заметим, что производная (e

)

e

. Значит, можем сделать заме-

ну t ex .

Тогда

ex

dx