Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Решение

Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода. Подынтегральная функция неотрицательна на промежутке

[0, + ).

Так как для любого x верно неравенство

4	5 sin x	6	,
5 x7 4x 5	5 x7 4x 5	5 x7 4x 5

то для того чтобы установить сходимость или расходимость несобст-

	(5 sin x)dx
венного интеграла								, достаточно исследовать несобст-
венного интеграла		5		x	7	4x 5		, достаточно исследовать несобст-
	0			x		4x 5
					dx
венный интеграл					dx		.
венный интеграл	5	x	7	4x 5			.
0		x		4x 5

Для исследования интеграла на сходимость воспользуемся при-

знаком

сравнения.

Заменим

подынтегральную

функцию

f (x)

на

эквивалентную

при

x → +∞ ей

функцию

5 x7 4x 5

dx7 .

g(x)

и исследуемна сходимость несобственный интеграл

Так как

5x 52

lim b

1 x

2 b

dx7

то несобственный интеграл

сходится, тогда по признаку срав-

нения сходится и несобственный интеграл

, а так как

5 sin x

4x 5

, то сходится и несобственный интеграл

5 x7 4x 5

(5 sin x)dx .

5 x7

4x 5

141

Пример 3.11. Исследовать на сходимость несобственный инте-

грал (5 sin x)dx .

0 5 x3 4x 5

Решение

[0, + ).

Так как для любого x верно неравенство

4	5 sin x	6	,
5 x3 4x 5	5 x3 4x 5	5 x3 4x 5

то для того чтобы установить сходимость или расходимость несобст-

	(5 sin x)dx
венного интеграла								, достаточно исследовать несобст-
венного интеграла		5		x	3	4x 5		, достаточно исследовать несобст-
	0			x		4x 5
				dx
венный интеграл				dx			.
венный интеграл	5	x	3	4x 5			.
0		x		4x 5

Для исследования интеграла на сходимость воспользуемся при-

знаком

сравнения.

Заменим

подынтегральную

функцию

f (x)

на

эквивалентную при x → +∞ ей

функцию

5 x3 4x 5

dx3 .

g(x)

и исследуем на сходимость несобственный интеграл

Так как

dx3

5x5

5 lim b5

2 b

dx3

то несобственный

интеграл

расходится, тогда

по

признаку

сравнения расходится и несобственный интеграл

, а

4x 5

142

так как			4					5 sin x	, то расходится и несобственный
	5 x3 4x 5
							5 x3 4x 5
	(5 sin x)dx
интеграл								.
		5	x	3	4x	5
0

Пример 3.12. Исследовать на сходимость несобственный инте-

грал (ln(1 x3 ) 3ln x)dx .

Решение

[1, + ).

Для исследования интеграла на сходимость воспользуемся признаком сравнения. Заменим подынтегральную функцию

f (x) ln(1 x	3	) 3ln x ln	x3 1			1
					ln 1
			x	3	ln 1	x	3
			x			x

на эквивалентную при x → +∞ ей функцию g(x)										1	и исследуем на
на эквивалентную при x → +∞ ей функцию g(x)											и исследуем на
										x3
									dx3 .
сходимость несобственный интеграл									dx3 .
								1	x
Так как								1
Так как
	dx3		x 2		1 lim b 2		1	1

									,
									,
1	x	2		1	2 b		2	2
						dx3
то несобственный интеграл						dx3	сходится, а значит, по признаку срав-
					1	x
					1

нения сходится и несобственный интеграл (ln(1 x3 ) 3ln x)dx .
									1

Пример 3.13. Исследовать на сходимость несобственный инте-

	xdx
грал			.
	x 4x2 3
1		x 5

143

Решение

Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода.

Подынтегральная функция неотрицательнана промежутке [1, + ). Для исследования интеграла на сходимость воспользуемся при-

знаком сравнения. Заменим подынтегральную функцию

f (x)

x 4x2 3 x 5

4 3 x 3 1 5

на эквивалентную ей при x → +∞ функцию g(x)

и ис-

dx5 .

следуем на сходимость несобственный интеграл

Так как

dx 6x6

6 lim b6 6 ,

dx5

то несобственный интеграл

расходится, а значит,

по признаку

xdx

сравнения расходится и несобственный интеграл

4x2

3 x 5

Пример 3.14. Исследовать на сходимость несобственный инте-

грал

x ln ln x

Решение

t ln x

dt x

x ln ln x

t1 ln e

ln t

144

	dt
Исследуем на сходимость несобственный интеграл		.

2	ln t

Подынтегральная функция неотрицательна на промежутке [2, + ). Заметим, что для любого t > 0 верно неравенство lnt < t, тогда

	dt
1/lnt > 1/t. Несобственный интеграл	dt	расходится, а значит, рас-
2	t
2
				dt
ходится по признаку сравнения интеграл				dt		.
ходится по признаку сравнения интеграл						.
		2	ln t
		2
							dx
Следовательно, несобственный интеграл							dx	также расхо-
Следовательно, несобственный интеграл							x ln ln x	также расхо-
				e	2		x ln ln x
дится по признаку сравнения.				e
дится по признаку сравнения.
								1

Пример 3.15. Вычислить несобственный интеграл xln xdx или

установить его расходимость.

Решение

Подынтегральная функция имеет на отрезке [0, 1] одну особую точку x = 0. Вычислим данный интеграл, применяя интегрирование по частям:

1						u ln x; du				dx						1 x2 ln x					10	1	1


x ln xdx													x2										xdx
0						dv xdx; v						x				2						2	0
0												x				2						2	0
											2
	1	ln1		1	limb		2	ln b		x2			1				1	lim	ln b			1
	1			1			2			x2			1				1		ln b			1
	2									4												4
	2			2 b 0						4			0				2 b 0 b 2					4
		1	lim	1 / b				1	1	lim				b3			1	0		1			1	.
			lim	2b 3				4		lim					b		4	0		4			4	.
		2 b 0		2b 3				4	4 b 0						b		4			4			4
Здесь для						вычисления							предела lim b2 ln b мы воспользовались
																		b 0

правилом Лопиталя.

145

Следовательно, несобственный интеграл xln xdx сходится и ра-

0
вен 1 .
4
2			dx
Пример 3.16. Вычислить несобственный интеграл			dx
Пример 3.16. Вычислить несобственный интеграл	x	2	4x 3
0	x		4x 3
0
или установить его расходимость.
Решение
Разложим знаменатель на множители:

x2 4x 3 (x 1)(x 3) .

Подынтегральная функция имеет на отрезке [0, 2] одну особую точку x = 1. Разложим интеграл на сумму двух интегралов:

2			dx			1						dx					2							dx
			dx									dx												dx				.
	x	2	4x 3				x	2		4x 3									x		2		4x				3	.
0	x		4x 3			0	x			4x 3							1		x				4x				3
0						0											1
																		2							dx
Для сходимости интеграла																									dx					необходима сходимость
Для сходимости интеграла																				x		2		4x 3						необходима сходимость
																		0		x				4x 3
																		0
							1					dx									2					dx
обоих интегралов:												dx					и									dx					.
обоих интегралов:									x		2	4x 3					и						x		2	4x			3		.
							0		x			4x 3									1		x			4x			3
							0														1
												1				dx
Вычислим интеграл																dx							, выделив в знаменателе полный
Вычислим интеграл													x	2									, выделив в знаменателе полный
												0	x		4x 3
квадрат:												0
квадрат:
1			dx			1						dx					1 ln							(x 2) 1								1
1						1																										1


	x	2	4x 3									2		1										(x 2)					1
0	x		4x 3			0	(x 2)							1			2							(x 2)					1			0
	1 ln			x 3	1		1 limln								b 3						1 ln 3 .


				x 1											b 1
	2			x 1	0		2 b 1								b 1					2
																															1				dx
Следовательно,							несобственный интеграл																												dx			расходится,
Следовательно,							несобственный интеграл																									x	2	4x			3	расходится,
																															0	x		4x			3
																															0
																																	2			dx
а значит, расходится и несобственный интеграл																																				dx			.
а значит, расходится и несобственный интеграл																																		x	2	4x 3			.
																																	0	x		4x 3
																																	0

146

1	27x 4	5dx
Пример 3.17. Вычислить несобственный интеграл	27x 4	5dx
1	x

или установить его расходимость.

Решение

Подынтегральная функция имеет на отрезке [−1, 1] одну особую точку x = 0. Разложим интеграл на сумму двух интегралов:

1	27x 45dx							0	27x		45dx							1		27x	45dx .
	27x 45dx								27x		45dx									27x	45dx .
1		x						1			x							0		x
																							1		27x 4			5dx
Для		сходимости									интеграла														27x 4			5dx					необходима				сходимость
обоих интегралов																						1				x
обоих интегралов
0	2x 5							1	2x 5
	7	x	4			dx и			7		x	4		dx .
1		x						0			x
Вычислим интегралы:
0	27x 4							0		xdx						0			dx							0	3						0	4
					5dx 2					xdx			5						dx			2				x7 dx 5 x 7 dx
					5dx 2					7 4			5						7 4			2				x7 dx 5 x 7 dx
1		x						1			x						1			x						1							1
					10		0						3				0
	2	7x 7					0	5			7x		7				0		2					7		5			7		( 1)			154		;
		7x 7									7x		7											7					7					154
		10					1					3					1						10						3					15
		10										3											10						3					15
1											10				1						3				1
											10										3
									7x 7											7x										7
27x 4				5dx 2					7x 7							5				7x	7					2				7		5		7	196 .
27x 4				5dx 2												5										2						5		7	196 .
0		x							10						0					3					0				10					3		15
0		x							10						0					3					0				10					3		15
Тогда
1	27x 4				5dx			154 196										70 .
	27x 4				5dx			154 196										70 .
1		x						15				15						3
																																	1		5dx сходится и ра-
Следовательно, несобственный интеграл																																	27x 4		5dx сходится и ра-
																																	1	x
вен 70 .
	3
																																					1	27x 9 5dx
Пример 3.18. Вычислить																						несобственный												интеграл				27x 9 5dx
																																					1	x

или установить его расходимость

147

Решение

1	27x 9 5dx						0							1	9 5dx .
	27x 9 5dx						27x 9 5dx 27x								9 5dx .
1		x					1			x				0	x
															1			27x 9	5dx
Для		сходимости								интеграла								27x 9	5dx	необходима								сходимость
обоих интегралов																1		x
обоих интегралов
0	2x 5						1 2x 5
	7	x	9		dx и			7		x	9	dx .
1		x					0			x
Вычислим интеграл:
0	27x 9						0	xdx					0	dx				0	2	0		9
				5dx 2				xdx				5		dx		2 x			7 dx 5 x 7 dx
				5dx 2				7 9				5		7 9		2 x			7 dx 5 x 7 dx
1		x					1			x			1	x				1		1
				5		0						2	0										2
	2	7x7				0	5		7x			7	0	2			7	( 1)	lim 5		7	b				35		.
		7x7							7x			7					7				7					35
			5							2							5				2		7				2
			5			1				2			1				5		b 0		2						2
						1							1							0	27x 9			5dx расходится, а
																				0
Следовательно,									несобственный интеграл
																				1		x
																					1	27x 9			5dx .
значит, расходится и несобственный интеграл																						27x 9			5dx .
																				1			x
																												4
Пример 3.19. Вычислить																несобственный						интеграл						(x 1)dx
																												2 x x 2

или установить его расходимость.

Решение

Подынтегральная функция имеет на отрезке [2, 4] одну особую

точку x = 2. Сделаем замену x –2 t2 , тогда dx 2tdt. Найдем новые пределы интегрирования:

если x = 2, то t1 = 0; если x = 4, то t2											2 .
Тогда
4	(x 1)dx	2	(t2	2 1)			2tdt	2	(t2	2 1)dt
								2
	x x 2			(t	2	2)	t	2		t	2	2
2	x x 2	0		(t		2)	t	0		t		2

148

2	(t2	2)dt				2			dt	2	1		t		2
2	(t2	2)dt				2			dt	2	1		t
2					2					2 dt 2		arctg
2	t	2	2		2		t	2	2	2 dt 2	2	arctg	2
0	t		2			0	t		2	0	2		2	0
0	2					0				0		.		0
2t			2(arctg1 arctg 0) 2 2								2


	0											4
												4	1)dx
Следовательно, несобственный интеграл (x													1)dx		сходится и ра-
												2 x	x 2
вен 2 2			2	.
вен 2 2				.
		4
																x 1 dx
Пример 3.20. Вычислить несобственный интеграл																	2
Пример 3.20. Вычислить несобственный интеграл																x 1 x	2
															1	x 1 x
															1

или установить его расходимость.

Решение

Подынтегральная функция имеет на интервале [1, +∞) две особые точки x = 1 и x = +∞.

Сделаем замену

x 1

t , тогда

x 1

t2 .

x 1

Выразим переменную x:

x 1 t2 x t2 x t2 1.

Тогда

t2 1

2t(t

2 1)

2t(t2 1)

4tdt

(t2

1)2

(t2 1)2

Найдем новые пределы интегрирования:

lim

x 1

;

x 1 0

x 1

lim

x 1

Следовательно,

x 1 dx

t2 1

4tdt

t2dt

x 1

		t2dt
4					.
4	(t	2	1)	2	.
1	(t		1)
1

149

Вычислим получившийся интеграл с помощью интегрирования по частям:

u t;				dv					tdt					;
u t;				dv				(t2 1)2						;
								(t2 1)2
du dt;				v						tdt								1	d (t2 1)								1					1		.
du dt;				v					(t	2		1)		2				2	(t		2	1)	2				2			t	2			.
									(t			1)						2	(t			1)					2			t			1
Тогда
		t2dt														t						1				dt
		t2dt														t						1				dt
4							4
4	(t	2	1)		2		4					2(t			2		1)					2			t	2		1
	(t		1)									2(t					1)					2			t			1
1			1								b							1		1				1
1																				1				1
																			1
4				lim														4	2		arctg t
4				lim																	arctg t
			2 b 2(b2 1)
																									1										.
																									1
1 2 lim arctgb 2arctg1 1 2																									2						1
			b																					2					4						2
																																				x 1	dx2 сходится и
Следовательно,											несобственный интеграл																									x 1
Следовательно,											несобственный интеграл
																																1				x 1 x
																																1
равен 1			.
			2
Пример 3.21. Исследовать на сходимость																																	несобственный инте-
9				dx
грал				dx									.
грал	3	x 5			7	x					x		.
0		x 5				x					x

Решение

Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода. Подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на полуинтервале (0,9]. В точке х = 0 функция не ограничена.

f (x)	1				1
f (x)	3 x 57 x	x		4		5
	3 x 57 x	x	7 x(x21 5 x14 )
			7 x(x21 5 x14 )

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]