Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1713 14 15 16 17 > Следующая >>>


	5 / 2					dx
4.13.						dx											.
4.13.						(5 x				2			)		3		.
	0					(5 x							)
2
4.15.					(x2 3)3 dx .
	3
3						dx
4.17.						dx							.
4.17.			(x			2			5				.
0			(x			3)
2					x4dx
4.19.					x4dx							.
4.19.			(8 x				2	)	3			.
0			(8 x					)
4
4.21.			x2 4dx .
2
	1				(x2 1)5 dx
4.23.																			.
4.23.						x		4											.
1/		3				x
1/		3
4	3					dx
4.25.						dx												.
4.25.					(64 x						2			)		3		.
	0				(64 x									)
8
4.27.			x2 16dx .
4
4				x2 16dx
4.29.				x2 16dx										.
4.29.				36 x				2						.
0				36 x
0

2 3			x2 4dx
4.14.													.
4.14.					x		4						.
	2				x
	2
	4
4.16.		16 x2 dx .
	0
	8		x2 16dx
4.18.			x2 16dx									.
4.18.				x	4							.
	4			x
	4
	1		x2 1dx
4.20.			x2 1dx
										.
			2 x				2			.
	0		2 x
	0
	1
4.22. x4				4 x2 dx .
	0
10			x2 25dx
4.24.													.
4.24.				x		4							.
	5			x
	5
	2		x2dx
4.26.			x2dx								.
4.26.			2						5		.
	0		(x	4)
	2		x2dx
4.28.			x2dx					.
4.28.							2	.
	0	16 x
2/	3
4.30			(x2 1)3 dx.
1

Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

5.1.y x, x y 2, y 0 .

5.2.y x2 4, y x 2 .

5.3.y x, y x2 , x 4 .

5.4.y x3 , x y 2, x 0 .

5.5.y 3 x 1, x y 1, x 0 .

5.6. y

x 1, y

2x, y 0 .

5.7.y 6 x2 , y x .

5.8.y e2x , x ln 2, x 0, y 0 .

121

5.9. yx 3, x y 4 . 5.10. y x2 2x, y x . 5.11. yx 1, y x, x 4 .

5.12. y cos x, y 4cos x, (0 x π2) .

5.13. y 3 x, x y 6, x 0 .

5.14. y 2x , y 2 x , x 1, x 2, y 0 .

5.15. y 4x x2 , y x .

5.16. y x 4, x y 2, y 0 .

5.17. y 2, y 3, x y2 , x 0 . 2

5.18.y (x 2)2 , y 4 x, y 0 .

5.19.yx 1, y x, x 4, y 0 .

5.20.y sin x, y 5sin x, (0 x π) .

5.21.x 2 y2 , x 1 3y2 .

5.22.y x2 6x 10, y 6x x2 .

5.23.y x2 , 4 y x2 , y 9 .

5.24.yx 1, y x, y 6 .

5.25.y2 2x 1, x y 1 0 .

5.26.y 16x2 , y 17 x2 .

5.27.x 3 y2 2 y, x y2 4 y 3.

5.28.y cos 2x , y sin 2x , x 0 (x 0) .

5.29.y2 4 x, x 3y 0 .

5.30.y cos x, (0 x π) .

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

6.1. y x2

4 x2 , y 0, x 1 (x 1) .

6.2.y xe x2 /2 и ее асимптотой.

6.3.y2 2x, y2 4x x2 ( y2 2x) .

122

6.4.y 2 1 , y 0 .

x6x 13

6.5.y ex 1, y 0, x ln 4 .

6.6.y arctgx2 x , y 0, x 1(x 1) .

6.7. y x arctg x, y 0, x 3 .

6.8. y

, y 0, x e3 , x e 1 .

x 1 ln x

6.9. x2 y2

2, x y2 , (x y2 ) .

6.10. y x2e 2 x , y 0, x 0 .

6.11. y ln x, y ln2 x .

6.12. y

, y 0, x 4, x

2 .

16 x2

6.13. y x

9 x2 , y 0 (0 x 3).

6.14. y

lg x

, x 0, y 0 .

6.15. y x2 cos x, y 0, (0 x

) .

6.16. y

, y 0 .

(x2

1)2

6.17. y e2 x , y log2 x , x 1, x 2 .

6.18.y 2 1 , y 0 .

x4x 5

6.19.y2 x3 x2 , x 2 .

6.20.y arcsin(x 2), y 6x , x 1, x 3 .

6.21.х2 + y2 = 10y, y = 2x – 5.

6.22.y ln x , x 0, y 0 .

6.23.y2 x2 8, y2 2x ( y2 2x) .

6.24.y x2 arctg x, y 0 x 1.

6.25.y2 x2 5, yx 2 ( yx 2) .

123

6.26. y	1	, y 0, x 2, x 4 .
	4x x2

6.27.y arcsin(x 2), y x2 , x 1, x 2 .

6.28.y (x22x4)2 , y 0 (x 0) .

6.29.y2 x2 8, y2 2x ( y2 2x) .

6.30. y		1	, y 0, x 1, x e 1 .
	x 4	ln x

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

x 16cos3 t;

7.1. x 2 (x 2) .

y 2sin3 t,

7.2.Одной аркой циклоиды x 4(t sin t); и осью Ох.

y 4(1 cos t)

7.3. x 6cost; y	3 ( y 3) .
y 2sin t,
7.4. x 2 3cos t;	y 4 ( y 4)
y 3 2sin t,

7.5.x t sin t; y 1 (0 x 2π, y 1) .

y 1 cost,

7.6.x 2(t sin t); y 2 (0 x 4π, y 2) .

y 2(1 cost),

			3	t;
7.7.	x 3cos			t;		y 4 ( y 4) .
7.7.						y 4 ( y 4) .
	y 32sin3 t,

7.8.		2 cost;					y 5 ( y	5) .
7.8.	x 2	2 cost;					y 5 ( y	5) .
	y 5	2 sin t,

7.9.	x 5(t sin t),						y 7,5 (0 x 10 , y 7,5) .
7.9.							y 7,5 (0 x 10 , y 7,5) .
	y 5(1 cost),
					3	t;
	x 16cos					t;	x 2 (x	2) .
7.10.		2sin3 t,					x 2 (x	2) .
	y	2sin3 t,

124

			3	t;
7.11.	x 2cos			t;	y	6		3 ( y 6 3) .
7.11.					y	6		3 ( y 6 3) .
	y 16sin3 t,

				x 3t		2	;
7.12. Петлей				x 3t			;
7.12. Петлей				3t t3.
		y		3t t3.

7.13.		2 cos t;	y 4 ( y 4) .
7.13.	x	2 cos t;	y 4 ( y 4) .
	y 4	2 sin t,

7.14.Кардиоидой x cos t cos 2t;

y sin t sin 2t.

				t
		x					;
		x	1 t			3	;
7.15. Петлей			1 t					0 t .
7.15. Петлей				t2				0 t .
		y		t2				,
		y				3		,
			1 t			3
			1 t
7.16.		2 cos	3	t;	x			2 (x 2).
7.16.	x 4	2 cos		t;	x			2 (x 2).
	y	2 sin3 t,

7.17.x 9cost; y 2 ( y 2). .

y 4sin t,

7.18.x 10(t sin t); y 15 (0 x 20π, y 15). .

y 10(1 cos t),

x 24cos3 t;

7.19. x 9 3 (x 9 3) .y 2sin3 t,

7.20. x 2(t sin t);									y 3 (0 x 4π, y 3) .
	y 2(1 cost),
7.21. x 6cost;						y			3 ( y 3) .
	y 2sin t,
					t		2		1;
7.22. Петлей		x			t				1;
7.22. Петлей					t3			3t.
		y			t3			3t.

			3	t;
7.23.	x 8cos			t;		x		1 (x 1) .
7.23.						x		1 (x 1) .
	y 8sin3 t,

125

7.24.Кардиоидой x 3cos t 3cos 2t;

y 3sin t 3sin 2t.

							3t
			x						;
			x			1 t		3	;
7.25. Петлей						1 t				0 t .
7.25. Петлей							3t2			0 t .
			y				3t2			,
			y					3		,
						1 t		3
						1 t
				3	t;
7.26.	x 32cos				t;		x 4 (x 4) .
7.26.		y sin3 t,					x 4 (x 4) .
		y sin3 t,

7.27.Кардиоидой x 5(cos t cos 2t);

y 5(sin t sin 2t).

		3	t;
7.28.	x 4cos		t;	y 3 ( y 3).
7.28.				y 3 ( y 3).
	y 24sin3 t,

7.29. x 6(t sin t); y 6 (0 x 12π, y 6) .y 6(1 cost),

x t2 1;

7.30. Петлей y t3 t.

Задача 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

8.1. r 2sin 3φ. 8.2. r 2cos φ, r 4 cos φ .

8.3.r 2(2 cos φ) .

8.4.r 2φ (первый виток спирали Архимеда).

8.5. r 4(1 sin φ) .

8.6. r 2(cos φ sin φ) .

8.7.r 6(1 cos φ) .

8.8.r 5cos 2φ (одним лепестком).

8.9. r 3(1 cos φ), r 3 .		8.10. r 2sin φ, r 2 3 cos φ .
8.11. r 2sin 5φ.		8.12. r cos3 φ.
8.13. r 2(1 cos φ), r 2cos φ .		8.14. r cos φ sin φ .
8.15. r 1	2 sin φ.	8.16. r 3sin φ, r 5sin φ.
8.17. r 1	2 cos φ.	8.18. r 4cos3φ, r 2(r 2) .
8.19. r 2(1 cos φ), r 2 .		8.20. r 3(1 sin φ) .
8.21. r 6sin 3φ, r 3(r 3) .		8.22. r 7(1 cos φ) .

126

8.23. r 4sin φ, r 6sin φ.

8.24. r 6 cos 6φ .

8.25.r 6φ (первый виток спирали Архимеда).

8.26.r 3(cos φ sin φ) .

8.27. r 4sin 3φ, r 2(r 2) .

8.28. r cos φ 1 / 2 .

8.29.r 2cos φ, r 2 3 sin φ(0 φ π/ 2) .

8.30.r cos φ, r 2cos φ.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой.

9.1. y ln(1 x2 ), 0 x 3 / 4 . 9.2. y 2 ln cos x, 0 x / 6 .

9.3.y 4ch 4x , 0 x 3.

9.4.y 2 x, 0 x 1.

9.5. y	x x2			arcsin x,			1 / 4 x 1 .
9.6. y	x2		ln x		, 1	x 2 .
	4		2

9.7. y ex		6,		ln		8 x ln	24 .

9.8.y2 x3 от начала координат до точки В(4;8).

9.9.y 1 x2 arcsin x, 0 x 7 / 9 .

9.10.y ln sin x, / 3 x 2 / 3 .

9.11.y 2x x2 от вершины до точки В(2;0).


9.12.	y ln x,		8 x 15 .
9.13.	y	x x2 arccos		x, 0 x 1/ 4 .

9.14.y 2ch 2x , 0 x 3 .

9.15.y 5ln(x2 25), 10 x 15 .

9.16.y arcsin e x , 0 x 1 .

9.17.y2 (x 2)3 , 2 x 3 .

9.18.y 25 x2 5arccos 5x , 1 x 4 .

127

9.19. y ln(x2 1),							2 x 6 .
9.20.	y	x2		4x			15	, 3	x 5 .
		2					2
					e
9.21.	y ln					, 0 x / 6 .
			cos x

9.22. y		x x2				arcsin			x 9, 1/ 16 x 1.
9.23. y ch x 15,							0 x 2 .
9.24. y 8 ln cos x,								0 x / 6 .
9.25.	y ln		7		,	3 x			8 .
			x
9.26. y 3					1 x2 arccos x,					0 x 9 / 16 .

9.27.y2 16x, отсеченной прямой x 4 .

9.28.y ch22x 1, 0 x 2 .

9.29. y 9 ln sin x, / 3 x / 2 .

9.30. y 5 100 x2 10arccos(x / 10), 1 x 6 .

Задача 10. Вычислить длину дуги кривой.

10.1. x 2cos2 t;		y 2sin2 t; 0 t		/ 4 .
10.2. x t2 , y t		t3 / 3,	3 t	3 .
10.3. x 2cos3 t;		y 2sin3 t; 0 t / 4 .
10.4. x cost t sin t; y sin t t cost; 0 t .
10.5. x 4(t sin t), y 4(1 cost), 0 t / 2 .
10.6. x et (cost sin t) y et (cost sin t), / 2 t .
10.7. x t6 / 6,	y 2 t4 / 4		между точками пересечения с осями
координат.
10.8. x et cost	y et sin t,		0 t 1.
10.9. x 7(2cost cos 2t); y 7(2sin t sin 2t);					0 t / 2 .
10.10. x (t2 2)sin t 2t cost, y (2 t2 )cost 2t sin t, 0 t .
10.11. x cos5 t;		y sin5 t;	0 t / 2 .

128

10.12.	x	8(cost t sin t); y			8(sin t t cost), 0 t / 4 .
10.13.	x		9et (cost sin t)		y 9et (cost sin t), 0 t 3 / 2 .
10.14.	x	3(t sin t), y 3(1 cost),					t 2 .
10.15.	x	e2t cost		y e2t sin t,		0 t / 4 .
10.16.	x	3sin t 4cost; y 4sin t 3cost, / 4 t 3 / 2 .
10.17.	x	5cos3 t;		y 5sin3 t;		0 t / 2 .
10.18.	x 3(cost t sin t); y 3(sin t t cost), 0 t / 3 .
10.19.	x 2t6 , y 24 3t4				между точками пересечения с осями
координат.
10.20. x			4et (cost sin t)		y 4et (cost sin t), / 2 t .
10.21. x			2cos3 t;	y 2sin3 t;		/ 6 t / 4 .
10.22. x			7(t sin t), y 7(1 cost),				0 t / 2 .
10.23. x			3t2 , y 3t t3 ,0 t 2 .
10.24. x			(2t2 4)sin t 4t cost, y (4 2t2 )cost
4t sin t, 0 t / 3 .
10.25. x 5(t sin t), y 5(1 cost),							/ 2 t .
10.26. x			6cos5 t;	y 6in5 t; 0 t / 2 .
10.27. x			9(cost t sin t); y 9(sin t t cost), 0 t 2 / 3 .
10.28. x			3cos2 t;	y 3sin2 t;		0 t / 4 .
10.29. x			9cos3 t;	y 9sin3 t;		0 t / 6 .
10.30. x			2t2 , y 2t 2t3 / 3 ,0 t				6 .

Задача 11. Вычислить длину дуги кривой.

11.1.r е4 /3 , / 2 / 2 .

11.2.r 2sin3 ( / 3), 0 / 2 .

11.3.r 2(1 cos ) .

11.4.r 1 sin , / 2 / 6 .

11.5.r 1 / , 3 / 4 4 / 3 .

11.6. r 4(1 cos ),

2 / 3 0 .

129

11.7.r sin , 0 / 4 .

11.8.r 5 , находящейся внутри окружности r 10 .

11.9.r 3sin4 4 .

11.10.r 1 cos1 , 0 / 2 .

11.11.r 2е , 0 / 2 .

11.12.r 3 , 0 3 / 4 .

11.13.r 2cos , 0 / 12 .

11.14.r 3sin3 ( / 3) .

11.15. r 2(1 cos ),

/ 2 .

11.16.r 5е5 /12 , / 2 / 2 .

11.17.r 6(1 sin ), / 2 0 .

11.18.r 2e , находящейся внутри окружности r 2 .

11.19.r 2 sin .

11.20.r 3,5(1 cos ) .

11.21.r 2 , 0 4 / 3 .

11.22.r 3(1 sin ), / 6 0 .

11.23.r 5e6 , находящейся внутри окружности r 5 .

11.24.r 4е12 /5 , / 2 / 2 .

11.25.r 7 cos , 0 / 4 .

11.26.r 5 , 0 12 / 5 .

11.27. r 5(1 cos ),

2 / 3 0 .

11.28.r 2 , находящейся внутри окружности r 2 .

11.29.r 5е4 /3 , 0 / 3 .

11.30.r 3 , 0 4 / 3 .

Задача 12. Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси Oх.

12.1.	y 2sin x, y 0,	0 x .
12.2.	y 2 x2 , y x,	x 0 .

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1713 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]