Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Пример 1.67. Вычислить неопределенный интеграл

1 x

dx .

Решение

1 x

1 x dx

1 x

t2 ; 1 x t2

xt2 x 1 t2

1 x

1 t2

1 x

2t(1 t2 ) 2t(1 t2 )

(1 t2 )2

dt .

)

1 t

1)(1

)

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Разложим ее на сумму простейших дробей:

t2	A	B	Ct D
			t2 1 .
(t 1)(t 1)(t2 1)	t 1	t 1

Приведем дроби, стоящие справа, к общему знаменателю и приравняем числители получившейся дроби и дроби, стоящей слева:

t2 A(t 1)(t2 1) B(t 1)(t2 1) (Ct D)(t2 1) .

Для нахождения коэффициентов A, B, C и D подставим вместо переменной t числа 0, 1, 1 и 2.

При t = 1

1 4B B 14 ;

при t = 1

1 4A A 14 ;

при t = 0

0 A B D D 12 ;

при t = 2

4 15A 5B 3(2C D) 4							15		5 6C			3	C 0 .
							4		4			2
Следовательно,
	t2	1	1		1		1		1	1
					4			2				.
	(t 1)(t 1)(t2 1)	4		t 1	4	t 1		2			t2 1	.

Вычислим интеграл, разложив его на сумму трех интегралов:

1)(1 t

)

t 1

ln | t 1| ln | t 1| 2arctg t c

1 x

c .

2arctg

1 x

Пример 1.68. Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:

4x x2 (x 2)2 4 .

Тогда

x 2 t

4x x

4 (x 2)

4 t

dx dt

arcsin

c arcsin

x 2

c .

Пример

1.69.

Вычислить

неопределенный

8dx

5x 6

Решение

8dx

I .

5x 6

dx . 4x x2

интеграл

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:

x2 5x 6								5 2				25			6			5	2			1	.
x2 5x 6						x						4			6	x		2				4	.
								2				4						2				4
Тогда
I 8					dx											5				5	2			1
					dx											5				5	2			1
										8ln				x		2	x			2				4	с
							2			8ln				x			x								с
						5			1
		x				2			4
						2			4
			5	x2				5x 6					c.
8ln	x		5	x2				5x 6					c.
			2
Пример						1.70.					Вычислить							неопределенный								интеграл
x 3					dx .
					dx .
6x2 4x 8

Решение

Выделим в числителе производную от подкоренного выражения, стоящего в знаменателе. Так как

6x2 4x 8 12x 4 ,

то d 6x2 4x 8 12x 4 dx .

Тогда


		x 3				1		(12x 4)			4	3
					12			(12x 4)				3
				dx	12					12			dx
	6x	2		dx				6x	2	4x 8			dx
	6x		4x 8					6x		4x 8
1			d 6x2 4x 8				10			dx
								3						I .
12			6x2 4x 8					3		6x2 4x 8				I .

В первом интеграле сделаем замену t 5 2x x2 , а во втором интеграле выделим полный квадрат:

I		1	dt	10	dx
I	12		t	3 6	x2	2 x	4
	12

						3	3

		1		t			1	1	10							dx
		1		t			2		10							dx
	12				1				3 6						1	2			1		4
					2			1				x			3				9		3
															3				9		3
=	1		6x		2		4x 8			10								dx
=	6		6x				4x 8			3 6								1	2		11
															x			3			9
																		3			9
	1					2				10							1						1 2		11
	1					2				10							1						1 2		11
	6		6x					4x 8					ln		x		3			x						9		с
			6x					4x 8		3		6	ln		x					x								с
										3		6											3
	1		6x2 4x 8								10						1	x2				2 x		4			c.
	1										10		ln	x			1							4
	6									3		6	ln	x			3							3
	6									3		6					3					3		3

	Пример 1.71. Вычислить неопределенный интеграл
	(8x 11)dx	.
	2
	5 2x x

Решение

В числителе выделим производную от подкоренного выражения, стоящего в знаменателе:

	(8x 11)dx				4( 2x 2) 8 11									dx
	5 2x		x	2			5		2x x		2

4		( 2x 2)dx				3			dx
		2						5 2x x					2
		5 2x x
4		d (5 2x x2 )					3		dx						I.
		5	2x x		2				5 (x	2
												2x)

В первом интеграле сделаем замену t = 5 + 2x x2, а во втором интеграле выделим полный квадрат:

I 4	dt	3	dx	4 2	t 3arcsin	x 1		c
	t		6 (x 1)2			6

8 5 2x x2 3arcsin x 1 c . 6

Пример

1.72.

Вычислить

неопределенный

интеграл

(2x 3)

4x x

Решение

2x 3

( dt)

(2x 3) 4x x

2 1

3t 1

x 2t

24t2

8t 9t2 6t 1

15t2

2t 1

4t2

В квадратном трехчлене выделим полный квадрат:

1						dt											1					dt

	15		t	2			2t						1				15			1 2				1				1
																		t
						15					15
																								125				15
																				15				125				15
		1								dt								1	ln		t		1		t	2			2		t		1	c
		1								dt								1					1			2			2				1
		15							1			2				28		15				15							15			15
					t
					t			15							375
								15							375
		1	ln			1								1			1	2				2						1		c .
		1				1								1			1	2				2						1

		15		2x				3					15				2x 3			15(2x 3)							15
		15		2x				3					15				2x 3			15(2x 3)							15
Пример						1.73.									Вычислить						неопределенный												интеграл

1 4x x2 dx .

Решение

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:

1 4x x2 (x2 4x) 1 ((x 2)2 4) 1 (x 2)2 5 .

Тогда

1 4x x2 dx	5 (x 2)2 dx	x 2 t
1 4x x2 dx	5 (x 2)2 dx	x 2 t
		dx dt

												t					5 sin u
			5 t2 dt								dt								5 cosudu												5 5sin2 u								5 cosudu
												u arcsin												t
												u arcsin												5
																								5
		5			5(1 sin2 u) cosudu 5 cos2 udu 5																																1 cos 2u					du
		5			5(1 sin2 u) cosudu 5 cos2 udu 5																																					du
	5						5														5 u					5 sin 2u															2
	5	du					5	cos 2udu													5 u					5 sin 2u						c .
	2						2						t								2					2		2
Так как sin u													t			,
Так как sin u													5			,
													5
то cosu					1 sin2 u														1 t2							1				5 t2 .
то cosu					1 sin2 u														1 t2								5			5 t2 .
Тогда																						5					5
Тогда
sin 2u 2sin u cos u																				2t			5 t2					.
sin 2u 2sin u cos u																						5						.
Следовательно,																						5
Следовательно,															5 arcsin										t			1 t
	1 4x x							2 dx																							5 t2 c							x 2 t


															2										5			2
															2										5			2
	5 arcsin						x 2								x 2						1 4x x2									c .
	5 arcsin																				1 4x x2									c .
	2							5									2
Пример 1.74. Вычислить неопределенный интеграл																																											x2dx		.
Пример 1.74. Вычислить неопределенный интеграл																																											2		.
Решение																																											x	9
Решение									x 3tg t
	x2dx																										9 tg2 t 3dt

															3dt
		x	2	9					dx						3dt										cos		2		t	9 tg		2	t 9
			2											cos				2		t							2					2
																		2

9					tg2 t dt												9								tg	2 t dt						9		tg2 t dt
9			cos		2	t	tg			2		t 1					9					cos2 t							1			9			cos t
			cos			t	tg					t 1										cos2 t							cos2 t
																													cos2 t
	9		sin2 t dt						9						sin2 t cost dt													9			sin2 t d sin t									sin t y
			cos			3	t												cos			4		t							(1	sin		2	t)	2
						3																4												2		2

9					y2dy								9					y2dy
9			(1 y						2	)	2		9			( y		2	1)				2
			(1 y							)						( y			1)
		u y;					du dy																				d( y2 1)
		u y;					du dy
		dv						ydy					; v									ydy				1										1
		dv				( y		2		1)		2	; v						( y			2		1)	2	2	( y		2		1)	2		2( y		2	1)
						( y				1)									( y					1)		2	( y				1)			2( y			1)
									y					1					dy					c						y			1			y 1		c
									y					1					dy											y			1			y 1
	9																									9									ln
	9			2( y					2	1)				2				y	2	1						9		2( y		2	1)		2		ln	y 1


	9								sin t						1 ln						sin t 1					c I .


				2(sin2 t 1)																	sin t 1
																	4
																	4

Вернемся к переменной x:

x 3tgt tgt 3x ctg x 3x .

Из основного тригонометрического тождества легко выводится формула

1 ctg2 x									1					sin2						x								1
1 ctg2 x								sin2				x		sin2						x				1 ctg2							x
								sin2				x												1 ctg2							x
sin			2		x						1					sin					2	x							x2			sin x								x		.
sin					x		1			3 2						sin						x					x2				9	sin x								x2 9		.
										3 2																	x2				9									x2 9

Тогда										x
Тогда
																																						x			1


	x2dx																				x												1			x2
	x2dx																				x												1			x2				9			c
								9																									4 ln
	x	2						9																x		2							4 ln					x
			9										2 x2 9																1												1
																																					2
																							2
																				x			2		9											x				9


									x(x2 9)															1 ln						x			x2 9

9																																							c
9							2		9 x					2				2	9															2					c
				2 x			2							2	x			2								4				x			x	2	9
				2 x											x											4				x			x		9

	x					x2 9						1					x				x2 9
	x					x2 9						1					x				x2 9
9														ln																c
9														ln																c
						18						4					x				x	2			9
						18						4					x				x				9

x x2	9	9	ln	x	x2 9		c.
2		4		x	x2	9

Данный интеграл также можно вычислить с помощью подстановки Эйлера. У нас a 1 0 , следовательно, можно применить первую подстановку Эйлера.

Сделаем замену

t x2 9 x

и выразим переменную x:

t x x2 9 (t x)2 x2 9 t2 2tx x2 x2 9

t2 9 2tx x t2 9 . 2t

Найдем производную от функции x:

x	2t t (t2 9)	t2 9
	2t2	2t2 .

Тогда

dx t22t29 dt.

Выразим подынтегральное выражение через переменную t:

(t2 9)2

(t2 9)2 2t

(t2 9)2

4t2

t t2 9

x2 9

4t2 (t2 9)

2t (t2 9)

Тогда имеем

x2dx

(t2

9)2

t2 9

18t

2 81

2t(t

9) 2t

(

x2 9 x)2

9 x

8( x2 9 x)2

(x2 9 2x

x2 9 x2 )

9 ln

x2 9 x

81(

x2 9 x)2

2x2

9 2x

x2 9

8( x2 9 x)2 (

x2 9 x)2

9 ln

x2 9 x

81(x2

9 2x x2 9 x2 )

8(x2 9 x2 )2

2x2

9 2x x2

2x2 9

2x x2

x x2 9

9 ln

x2 9

Пример 1.75. Вычислить неопределенный интеграл

x2 xdx .

Решение

Вычислим данный интеграл с помощью подстановки Эйлера. У нас a 1 0 , следовательно, можно применить первую подстановку Эйлера.

Сделаем замену t x2 x x и выразим переменную x: t x x2 x (t x)2 x2 x t2 2tx x2 x2 x

t2 x 2tx x	t2	.
	2t 1

Найдем производную от функции x:

x	2t(2t 1) 2t2		2t2 2t
	(2t 1)2	(2t 1)2 .

Тогда

dx 2t2 2t dt. (2t 1)2

Выразим подынтегральное выражение через переменную t:

x2 x t x t

2t2 t t2

t2 t

2t 1

Тогда имеем:

x2 xdx

dt 2

(t 1)

2t 1 (2t 1)

(2t 1)

															u				1							u 1 2										u					1					2
															u				1							u 1 2										u					1					2
		2t 1 u; t																																									1						du
		2t 1 u; t															2												2											2			1
																	2							2					2											2
		2dt du;											dt				du							2													u		3											2
																	du																				u													2
																	2
																	2
									2								2							1 u 2u 1
			u 1						2			u 1					2												4								2
			u 1									u 1						du																								du


							16u						3											16										u	3
							16u																	16										u
	1			udu									1	du							1			du3				u2									1 ln					u						1			c
	1												1								1																											1
																																																		2
	16												8		u					16					u					32							8									32u
	1						(2t 1)2												1								1 ln						2t			1				c
	1																		1
																			1)2
	32															(2t											8
	32															(2t											8
		1					(2 x2 x 2x 1)2																																	1
		1																																						1
																																			2															2
	32																											(2 x							2		x 2x											1)		2
	32																											(2 x									x 2x											1)
	1 ln						2 x2					x 2x 1
	1 ln						2 x2					x 2x 1												c
	8
	8																														(2x 1											2 x2 x)2
	1									2															2						(2x 1											2 x2 x)2
							(2 x						x 2x 1)
																																							2								2					2
	32																										((2x 1)												2		(2				x		2	x)				2	)	2
	32																										((2x 1)														(2				x			x)					)
	1 ln						2 x2
	1 ln						2 x2					x 2x 1												c
	8
	8																														(2x 1 2 x2 x)2
	1										2														2						(2x 1 2 x2 x)2
							(2 x						x 2x 1)
32
32																												(4x2 4x 1 4x2 4x)2

	1 ln						2 x2
	1 ln						2 x2					x 2x 1												c
	8
	8			(2 x2 x 2x 1)2 (2x 1 2 x2 x)2
		1
		32
	1 ln					2		x2				x 2x 1											c						1			(4(x2								x) (2x 1)2
																													1

	8																												32
	8																												32
4(2x 1)												x2 x (2x 1)2 4(x2																									x) 4(2x 1)																	x2 x)
	1 ln				2			x2				x 2x 1										c 8(2x 1)																			x2			x
	1 ln				2			x2				x 2x 1										c 8(2x 1)																			x2			x
	8																																					32
	8																																					32

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]