Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4x3 8x2 10x 8

(x 1)2 (x2

4x 5) (Cx D)(x 1)2

(x 1)2 (x2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева, и найдем коэффициенты A и B:

1 A(4x 5) B(x 2) .

Подставим x = 2:

1 A( 8 5) B 0 A 131 .

Подставим x = 54 :

		5					4	.
1 A 0 B			2		B
1 A 0 B		4	2		B		13
		4					13
Тогда
	dx			1			1		4		1 dx
										dx
(x 2)(4x 5)				13		x		2	4x 5	dx	13 x	2
(x 2)(4x 5)				13		x		2	4x 5		13 x	2

	4			dx		1				d (x 2)			4		1 d (4x 5)	1
	4			dx		1				d (x 2)			4		4	1		x 2
											x 2				4		ln
	13		4x 5					13						13	4x 5	13	ln
	13		4x 5					13						13	4x 5	13
	1	ln		4x 5			с		1		ln	4x 5		с.



	13								13			x 2
	13								13			x 2
Пример						1.42.					Вычислить				неопределенный				интеграл
4x 3
					dx .
2x2 6x 1					dx .

Решение

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:

4x 3

2x2

6x 1

2x2 6x 1

(4x

6)dx

6x 1

(4x 6) 6 3

4x 6

dx 9

6x 1

В первом интеграле внесем (4x + 6) под знак дифференциала, во втором интеграле в знаменателе выделим полный квадрат:

	4x			6	dx 9						dx	d	2x2 6x					1
2x	2			6x 1	dx 9			2x	2		6x 1		2x		2	6x			1
2x				6x 1				2x			6x 1		2x			6x			1
9				dx			ln	2x		2	6x 1	9					dx
9				dx						2		9					dx
2		x	2	3x		1						2					3	2		9	1
2			2			1						2					3			9	1
						2								x						4	2
						2											2			4	2

9dx

ln 2x2 6x 1 2 x 3 2 11

2 4

		9		1			x	3		11
ln	2x2 6x 1					ln		2		4		c
								2		4
		2			11		x	3		11
		2	2		11		x	3		11
					4			2		4
= ln	2x2 6x 1		9		ln	2x 3 11					c.


		2	11			2x 3			11				x	3		1
		2	11			2x 3			11
Пример 1.43. Вычислить неопределенный интеграл																	dx .

													4x		3	x
													4x			x

Решение

Дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень числителя равна степени знаменателя. Приведем дробь к правильному виду. Выделим целую часть:

														3			x					x
x3 1				1		x3 1						1	x											1
x3 1				1		x3 1						1	x				4					4		1			=
																	4					4
									x
4x3 x				4	x3				x			4				x3					x
4x3 x				4	x3							4				x3
									4											4
			3	x						x
	1	x					1				1			1				1						x 4
	1	x		4			1			4	1			1				1						x 4
				4						4																		.
	4			x			4					x			4				4				4x		3	x		.
		x3		x				x3				x
		x3		4				x3				4
				4								4

Тогда

x3 1

1 x 4

4 4x

x 4

dx.

Вычислим интеграл 4xx3 4x dx , разложив дробь, стоящую под

знаком интеграла, на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

Разложим знаменатель на множители:

4x3 x x(4x2 1) x(2x 1)(2x 1) .

Тогда разложение на сумму простейших дробей имеет вид

x 4

x(2x 1)(2x 1)

2x 1

Приведем дроби к общему знаменателю:

x 4

A(2x 1)(2x 1) Bx(2x 1) Cx(2x 1)

x(2x 1)(2x 1)

иприравняем числители дробей, стоящих справа и слева:

x4 A(2x 1)(2x 1) Bx(2x 1) Cx(2x 1) .

Подставляя x = 0, x = 12 и x = 12 , находим коэффициентыA, B иC.

При x = 0

4 A( 1) A 4 ;

при x = 12

12 4 B 12 2 B 72 ;

при x = 12

		1	4	C	1	( 2) C			9	.
		2			2				2

Тогда
			x 4			4	7 / 2	9 / 2			.
	x(2x 1)(2x 1)					x	2x 1
								2x 1

Следовательно, искомый интеграл можно также разложить на сумму трех интегралов:

x 4

2x 1

4 dx

7 d(2x 1)

d(2x 1)

x 4 2x 1

4 2x 1

4ln

7 ln

2x 1

9 ln

2x 1

c .

Тогда

x3 1

4ln

2x 1

4x3

1 x ln | x |

ln | 2x 1|

ln | 2x 1| c.

Пример

1.44.

Вычислить

неопределенный

интеграл

x2 3x 2

dx.

x(x2 2x 1)

Решение

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Вычислим интеграл, разложив дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

Разложим знаменатель на множители: x(x2 2x 1) x(x 1)2 .

Тогда разложение на сумму простейших дробей имеет вид

x2 3x 2	A	B	C
				.
x(x 1)2	x	x 1	(x 1)2

Приведем дроби к общему знаменателю:

x2 3x 2	A(x 1)2 Bx(x 1) Cx	,
x(x 1)2	x(x 1)2

иприравняем числители дробей, стоящих справа и слева:

x2 3x 2 A(x 1)2 Bx(x 1) Cx .

Подставляя x = 0, x = 1 и x = 1, находим коэффициенты A, B и C. При x = 0

2 A A 2 ;

при x = 1

1 3 2 C C 6 ;

при x = 1

1 3 2 4 A 2B C 0 8 2B 6 B 1 .

Тогда

x2 3x 2	2	1	6	.
x(x 1)2	x	x 1	(x 1)2

Следовательно, искомый интеграл можно разложить на сумму трех интегралов:

x2 3x 2

2 dx

x 1

(x 1)

x(x 1)

2 dx

d (x 1)

6 d (x 1)2

x 1

(x 1)

2ln

x 1

6(x 1) 1 c 2ln

x 1

Пример 1.45. Вычислить неопределенный интеграл x3dx 1.

Решение

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Вычислим интеграл, разложив дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

Разложим знаменатель на множители: x3 1 (x 1)(x2 x 1) .

Тогда разложение на сумму простейших дробей имеет вид

1			A			Bx C	.
x3 1			x 1			x2 x 1

Приведем дроби к общему знаменателю:


1		A(x2 x 1) (Bx C)(x 1)		,
x3	1	(x 1)(x2	x 1)

и приравняем числители дробей, стоящих справа и слева:

1 A(x2 x 1) (Bx C)(x 1) .

Подставляя x = 0, x = 1 и x = 1, находим коэффициенты A, B и C. При x = 0

1 = A + C;

при x = 1

1 = 3A A = 1/3;

при x = 1

1 = A + 2B + 2C.

Получили следующую систему линейных уравнений:

											1							2					2
		A C 1;									3	C		1;			C	3	;		C		3		;
					1						3		1					3					3
			A		1	;						A	1		;		A	1	;			A	1		;
			A		3	;						A	3		;		A	3	;			A	3		;
					3		1			1			3					3		1			3
A 2B 2C							1			1	2B 2C 1									1				1		.
										3	2B 2C 1					B C				3	B			3		.
										3										3				3
Тогда
		1		1		1		1			x 2			.
	x3 1			3		x 1		3	x2 x 1					.
	x3 1			3		x 1		3	x2 x 1

Следовательно, искомый интеграл можно разложить на сумму двух интегралов:


	dx		1	dx	1	(x		2)dx	.
x	3	1	3	x 1	3	x	2	x 1	.
x		1	3	x 1	3	x		x 1

Для вычисления второго интеграла в числителе выделим производную знаменателя:

1		d(x 1)			1		1		(2x 1)		1	2
							2				2			dx
3			x 1		3				x2 x 1
1	ln		x 1	1		(2x			1)dx	1				dx	I .

3				6		x	2	x 1		2		x	2	x 1

В третьем слагаемом в знаменателе выделим полный квадрат:

I		1	ln				x 1			1			d (x2 x 1)							1						dx
		1								1			d (x2 x 1)							1						dx
		3								6					x	2	x 1			2					1		2		1
																2											2			1

																						x			2				4
																									2				4
																				d					1
	1							1										1		d		x			2
		ln				x 1				ln			x	2	x 1
														2
	3							6										2					1	2			3
	3							6										2					1				3
																				x			2				4
																							2				4
	1 ln								1 ln									1		1				x			1
					x 1							x2			x 1						arctg						2	c



	3							6										2		3						3
	3							6										2		3						3
																				4						4
	1 ln			x 1					1 ln		x2				x 1			1		arctg			2x 1 c .



	3							6											3						3
	3							6											3						3
Пример								1.46.									Вычислить						неопределенный								интеграл
		dx							.
(x2	1)(x2 x)								.

Решение

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Вычислим интеграл, разложив дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

Разложим знаменатель на множители:

(x2 1)(x2 x) x(x 1)(x2 1) .

Тогда разложение на сумму простейших дробей имеет вид

1			A	B	Cx D .
	x(x 1)(x2	1)	x	x 1	x2 1
Приведем дроби к общему знаменателю:
1			A(x 1)(x2 1) Bx(x2 1) (Cx D)x(x 1)				,
	x(x 1)(x2	1)			x(x 1)(x2	1)	,
	x(x 1)(x2	1)			x(x 1)(x2	1)

и приравняем числители дробей, стоящих справа и слева:

1 A(x 1)(x2 1) Bx(x2 1) (Cx D)x(x 1).

Подставляя x = 0, x = 1, x = 1 и x = 2, находим коэффициенты A,

B, C и D.

При x = 0 1 = A;

при x = 1

1 = 2B B = 1/2;

при x = 1

1 = 4A + 2B + 2C + 2D;

при x = 2

1 = 15A + 10B + 12C + 6D.

Получили следующую систему линейных уравнений:

	A 1;			A 1;
	B 1 ;			B 1	;
	B 1 ;			B 1	;
	2			2
	4A 2B 2C 2D 1;		4	1 2C 2D 1;
				5 12C 6D 1
15A 10B 12C 6D 1		15		5 12C 6D 1

A 1;

B 1 ;

B 1

;

B 1 ;

2C 2D 2;

D 1 C;

2C 1

12C 6D 9

4C 2D 3

Тогда

1 1

x 1

x(x 1)(x2 1)

2 x 1

2 x2

A 1;1

B 2 ;

D 12 ;

C 1 .2

Следовательно, искомый интеграл можно разложить на сумму трех интегралов:

				dx					dx		1				dx				1			(x 1)dx
	(x2		1)(x2 x)						x		2			x 1					2				x2 1
ln		x			1 ln			x 1	1	xdx						1				dx
									1	xdx						1				dx
										2										2
					2				2	x		1				2			x		1
ln			x		1	ln	x 1		1	d (x			2 1)					1		arctg x
					1				1	d (x			2 1)					1
					2				4		x	2	1					2
												2

ln			x		1				1			2					1
					1				1			2					1
					2 ln		x 1		4 ln x				1				2 arctg x c .
					2 ln		x 1		4 ln x				1				2 arctg x c .

Пример 1.47. Вычислить неопределенный интеграл

4x3 8x2 10x 8 dx . (x 1)2 (x2 4x 5)

Решение

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Вычислим интеграл, разложив дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

Знаменатель уже разложен на множители, так как дискриминант

квадратного трехчлена x2 4x 5 меньше нуля.

Тогда разложение на сумму простейших дробей имеет вид

4x3 8x2 10x 8		A	B	Cx D		.
(x 1)2 (x2	4x 5)	x 1	(x 1)2	x2	4x 5

Приведем дроби к общему знаменателю:

и приравняем числители дробей, стоящих справа и слева:

4x3 8x2 10x 8 A(x 1)(x2 4x 5) B(x2 4x 5)(Cx D)(x 1)2 .

Подставляя x = 0, x = 1, x = 1 и x = 2, находим коэффициенты A,

B, C и D.

При x = 0

8 = 5A + 5B + D;

при x = 1

4 8 10 8 4 A 2B 4C 4D ;

при x = 1

4 8 10 8 10B B 3 ;

при x = 2

32 32 20 8 3A B 18C 9D .

Получили следующую систему линейных уравнений:

	5A 5B D 8;		5A 15 D 8;
	4A 2B 4C 4D 2;		4A 6 4C 4D 2;
	4A 2B 4C 4D 2;		4A 6 4C 4D 2;
	B 3;		B 3;
	B 3;		B 3;

3A B 18C 9D 12		3A 3 18C 9D 12

	D 5A 7,		D 5A 7;
	A C D 1,		A C 5A 7 1;
	A C D 1,		A C 5A 7 1;
	B 3,		B 3;
	B 3,		B 3;

A 6C 3D 5		A 6C 15A 21 5

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]