Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Пример 1.56. Вычислить неопределенный интеграл

sin x cos5x sin 4x dx .

Решение

Воспользуемся формулами

sin αcosβ 12 (sin(α β) sin(α β)); sin sin 12 (cos( ) cos( )).

Тогда

sin x cos5x sin 4xdx 1 sin(x 5x) sin(x 5x) sin 4xdx
					2
12 sin 6xsin 4x sin2 4x dx 12 12 cos 2x cos10x dx
	1	1 cos8x dx 1			cos 2xdx 1			cos10xdx 1	dx 1	cos8xdx
	2	2	4			4		4	4
	1 sin 2x		1	sin10x 1 x		1	sin8x c.
	1 sin 2x		40	sin10x 1 x		32	sin8x c.
	8		40		4	32
Пример			1.57.		Вычислить			неопределенный		интеграл
tg 2x ctg5x dx .
Решение
tg 2x ctg 5x dx sin 2x dx cos5x dx
					cos 2x			sin 5x

12 cossin 22xx d(2x) 15 cossin 55xx d(5x)

12 d(coscos 22xx) 15 d(sinsin 55xx) 12 ln cos 2x 15 ln sin 5x c.

Пример 1.58. Вычислить неопределенный интеграл 1sin3sin6xdx6x .

Решение

sin 6xdx

sin 6x d(6x)

u 6x

sin udu

1 3sin 6x

1 3sin u

tg u		t
tg u		t
2					2t			1	2t			2dt	1			4tdt
sin u					2t			1	1 t2			1 t2	1			4tdt
sin u				1	t		2	6	1			6t	6	(1 t	2	)(1	t	2	6t)
				1	t			6				6t	6	(1 t		)(1	t		6t)
du			2dt								1 t2
du		1 t2
		1 t2
2						tdt
3										.
3	(1 t2 )(t2 6t 1)									.

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, пень числителя меньше степени знаменателя. Разложим простейших дробей:


		t			At B				Ct D		.

	2		2		t	2	1	t	2	6t 1
1 t		(t		6t 1)

так как стеее на сумму

Приведем дроби, стоящие справа, к общему знаменателю и приравняем числители получившейся дроби и дроби, стоящей слева:

t (At B)(t2 6t 1) (Ct D)(t2 1)

t At3 Bt2 6At2 6Bt At B Ct3 Dt2 Ct D .

Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C и D приравняемкоэффициенты, стоящиеприодинаковыхстепеняхпеременнойt:

t3 : A C 0 ;

t2 : В 6A D 0 ; t : 6B A C 1; t0 : В D 0 .

А затем решим получившуюся систему уравнений:

A 0;

A C 0;

A C;

C 0;

B 6 A

D 0;

B D;

В 6 ;

A 6B C 1;

6В 1;

B D 0

6 A 0

1 .

Следовательно,

(1 t

)(t

Вычислим интеграл:

2										tdt												2	1					dt						dt
2										tdt												2	1					dt						dt
3								2			2											3	6		2								2
3			(1			t			)(t						6t		1)					3	6		t		6t 1					t
			(1			t			)(t						6t		1)								t		6t 1					t			1
	1												dt													1			dt
	1												dt													1			dt
																					atctg t													atctg t
	9				(t					3)				2		9		1			atctg t					9			(t 3)2		8			atctg t
					(t					3)						9		1
	1				1							t 3							8
	1				1							t 3							8
									ln												atctg t				c
									ln												atctg t				c
	9			2			8					t 3							8
	9			2			8					t 3							8
		t tg					u		tg3x								1					1	ln	tg 3x 3					8	3x					c.
							u										1					1		tg 3x 3					8


							2										9			4 2				tg 3x 3 8

Пример 1.59. Вычислить неопределенный интеграл sin xdxcos3 x .

Решение

Заметим, что сумма показателей степеней функций sin x и cos x – четная отрицательная, следовательно, можно сделать замену t = tg x. Тогда выделим в интеграле производную от функции tg x:

dx			1	dx		I.
sin x cos	3	x		2	x
			sin x cos x cos

Умножим числитель и знаменатель на cos x и воспользуемся формулой

cos12 x 1 tg2 x .

Тогда

cos x

sin x cos

tg x cos

x cos

1 tg2

1 t2

dt dt

tdt ln

tg x

cos

ln tg x tg2 x c. 2

Пример 1.60. Вычислить неопределенный интеграл dx . sin3 x

Решение

Сделаем замену tg (x/2) = t . Тогда

sin x									2t			;		dx					2dt			.
sin x						1		t2				;		dx								.
						1		t2									1 t2
	dx															2dt										2(1 t2 )3 dt
	sin		3		x						(1 t				2					2t				3		(1 t	2	) 8t	3
	sin				x										2	)				2t						(1 t		) 8t

																		1 t			2
																		1 t
				(1 t						2		2	dt				dt3							dt										t	2
	1									3 )					1							1				1 tdt				1	1 ln	t				c
																						1								1
																														2
	4								t							4			t				2 t			4				8t	2		8
					1							1 ln				tg2			x		1 tg2				x	c .
					1														x						x
							2 x
		8 tg					2 x					2						2			8			2
		8 tg							2
									2

Данный интеграл также можно вычислить и с помощью интегрирования по частям. Для этого в числителе подставим вместо единицы основное тригонометрическое тождество:

1 sin2 x cos2 x .

Тогда

(sin2 x cos2 x)dx

cos2 xdx

sin

sin x

sin

u cos x;

du sin xdx

cos x

dx; v

cos x

d sin x

sin

2sin

cos x

sin xdx2

cos x

sin x

2sin x

2sin

sin x

2sin x

cos

1 ln

cos

c .

sin x

2sin

Заметим, что ответы, полученные первым и вторым способами, совпадают, так как

	1							1 ln			tg2					x		1 tg				2			x		c					1 ln					tg		x
	1															x						2			x														x
		2 x																					2
8tg		2 x					2					2							8				2									2						2
8tg				2
				2
																																								2		x				2		x
1					x									x							1										x		1	sin											cos
1				2	x						2			x							1										x		1	sin							2				cos		2
	tg						ctg								c							ln				tg															2						2		c
	tg						ctg								c							ln				tg																							c
8					2									2							2									2			8	cos2								x			sin2			x
8					2									2							2									2			8	cos2							2				sin2
																																									2							2
																	4	x	cos				4 x
1						x			1	sin
1	ln		tg			x			1	sin								2					2								c
																		2					2
2					2				8										x
2					2				8					cos				2	x	sin		2 x
														cos					2	sin				2
																			2					2
																		2	x	cos						2			x					2		x		cos					2	x
1 ln						x			1				sin																		sin
													sin						2									2			sin				2									2
			tg																2									2							2									2			c
			tg						2																				sin2 x																		c
2					2				2																				sin2 x

1	ln	tg	x	1	cos x

							2
2			2	2		sin		x

1 cos x

c .

2 sin

Пример									1.61.											Вычислить													неопределенный											интеграл
						dx								.
5cos6x 4sin 6x 2														.
Решение
								dx													6x u											1									du
								dx													6dx du											1									du			I .
	5cos 6x 4sin 6x 2																				6dx du											6			5cosu 4sin u								2	I .
	5cos 6x 4sin 6x 2																								1 du							6			5cosu 4sin u								2
																					dx				1 du
																									6
Сделаем замену tg (u/2) = t.
Тогда
sin u							2t		;		cos u									1 t2				;				du				2dt					;
sin u					1		t2		;		cos u									1 t2				;				du			1 t2						;
					1		t2				2dt									1 t2											1 t2
			1								2dt													1											dt
I			1								1 t2													1											dt
I			6				1	t	2		4			2t										3					5	5t		2	8t						2 2t			2
			6		5		1	t						2t							2			3					5	5t			8t						2 2t
					5		1	t2					1 t				2				2
							1	t2					1 t				2
	1							dt											1								dt					.
	3			7t2 8t 3														21				t2					8 t			3		.
																											7			7
В знаменателе выделим полный квадрат:
I				1									dt																1						dt
I				21							4 2				16						3							21						4		2				37
								t							49						7									t				7						49
											7				49						7													7						49
			1					1				t			4						37												1						7t 4 37
															4						37
										ln					7						49				с													ln						с
			21					37		ln		t			4						37				с						6 37							ln	7t 4 37					с
			21		2			37							4						37										6 37								7t 4 37
					2			49							7						49
								49							7						49
		t tg u						tg 3x												1			ln			7 tg3x 4												37			с.
																				1						7 tg3x 4
																6 37										7 tg3x 4
					2											6 37										7 tg3x 4											37

Пример 1.62. Вычислить неопределенный интеграл 3 5cosdx x .

Решение

Сделаем замену tg (x/2) = t, тогда

cos x

1 t2

; dx

2dt

;

1 t2

2dt

2(1 t

)dt

3 5cos x

(1 t2 )

1 t

(1 t

) 3 3t

5 5t

1 t2

t 2

4 ln

8 2t2

4 t2

t2 4

t 2

4 ln

Пример

1.63.

Вычислить

неопределенный

интеграл

sin2 x 3cos2 x .

Решение

Функции cos x и sin x входят в выражение подынтегральной функции только в четных степенях, поэтому можно сделать замену tg x = t.

Так как

sin2 x 1 t2t2 ; cos2 x 1 1t2 ; dx 1 dtt2 ,

то

sin

x 3cos

(1 t

)

1 t

1 t2

t 3

tg x 3

2 3

t 3

2 3

tg x 3

Пример 1.64. Вычислить неопределенный интеграл

2 tg x

Решение

Сделаем замену tg x = t, тогда dx

;

1 dx2 tg x (1 t2 dt)(1 2t) .

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Разложим дробь на сумму простейших дробей:

1		At B		C	.
(1 t2 )(1 2t)		t2 1		2t 1

1 ( At B)(2t 1) C(t2 1) .

Для нахождения коэффициентов A, B, C подставим вместо переменной t числа 0, 1/2 и 1.

При t = 1/2

1 C 54 C 54 ;

при t = 0

1 B C B 15 ;

при t = 1

1 3A 3B 2C A 52 .

Следовательно,

					1		1 2t 1					4	1			.

	(1 t2 )(1 2t)						5		t2 1			5	2t 1
	(1 t2 )(1 2t)						5		t2 1			5	2t 1
Вычислим интеграл:
				dx		1	1 2t			dt	4		dt				1		dt			1		d(t		2 1)
		1 2 tg x				5	t	2	1	dt	5		2t 1				5	t	2	1		5		t	2	1
		1 2 tg x				5	t		1		5		2t 1				5	t		1		5		t		1
		4			d(2t 1)			1				1		2				2
		4			d(2t 1)			1				1		2				2
								5 arctgt				5 ln t			1			5 ln			2t 1		c
			10		2t 1																		c
			10		2t 1

26 x 5 dx . 4 x 83 x

Решение

15 arctg(tg x) 15 ln tg2 x 1 52 ln 2 tg x 1 c

15 x 15 ln tg2 x 1 52 ln 2 tg x 1 c .

	Пример 1.65. Вычислить неопределенный интеграл
	dx
	x 1 3 x 1 .

Решение

Наименьший общий знаменатель дробей 1/2 и 1/3 равен 6. Сделаем замену x + 1 = t6, тогда

6t5dt

t3dt

x 1 t5

x 1

3 2

dx 6t

t t

t 1

Дробь неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя. Выделим целую часть. Для этого в числителе прибавим и отнимем t2, а затем разложим на два интеграла:

t3dt

6 t3 t2 t2

6 t2 (t 1)dt 6 t2dt

t 1

6 t2dt 6 t2 t t

dt 2t3 6 tdt

6 t 1 1 dt

t 1

2t3 3t2

6 dt 6

2t3 3t2 6t 6ln

t 1

2 x 1 33 x 1 66 x 1 6 ln

6 x 1 1

Пример

1.66.

Вычислить

неопределенный

интеграл

26 x 5

6 x t

2t 5

x t

x 8

6t5dt

3	t5	2t 5			dt	3	t3	2t 5	dt	3	2t4 5t3	dt J.
2	t	2	(t	2)		2		t 2		2	t 2

Дробь неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя. Приведем дробь к правильному виду:

2t4 5t3												t 2
2t4 5t3												t 2
2t4 4t3												2t3 9t2 18t 36
		9t 3
		9t3 18t2
							18t2
							18t2 36t
											36t
											36t 72
														72
Тогда
2t4 5t3					2t				3 9t2 18t 36											72			.
	t 2				2t				3 9t2 18t 36										t				.
	t 2																		t	2
Следовательно,
J		3				3				2							72
		2			2t		9t				18t 36											dt
					2t		9t				18t 36											dt
																t 2
				4				3					2
	3	2t				9t			18t					36t 72ln							t 2					с
	2		4				3				2
	3t4			9t3					27t2									t 2						с
	4				2				2		54t 108ln							t 2						с
	4				2				2
		2					1						1	1										1
		2					1						1	1										1
	3 x3				9 x2				27 x3					54x6	108ln									x6	2		с
	4				2					2
	3 3		x2			9			x		27 3 x 546						x 108ln									6 x 2		c.
	3 3		x2			9			x		27 3 x 546						x 108ln									6 x 2		c.
	4					2					2
	4					2					2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]