Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 174 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

		D 5A 7,			D 3;
		C 4A 6,
		C 4A 6,			C 2;
		B 3,
		B 3,			B 3;
		6(4A 6) 16
	14A	6(4A 6) 16			A 2.
Тогда
	4x3 8x2 10x 8		2		3	2x 3
							.
	(x 1)2 (x2 4x 5)			x 1	(x 1)2	x2 4x 5	.

Следовательно, искомый интеграл можно разложить на сумму трех интегралов:

4x3

8x2 10x 8

2dx

3dx

2x 3

dx I.

(x 1)

4x 5)

(x 1)

4x 5

Для вычисления третьего интеграла в числителе выделим производную знаменателя:

I 2

d x 1

2x 4 4 3

x2 4x 5

x 1

(x 1)2

2 ln

x 1

22 x 4 dx

4x 5

x 4x 5

В четвертом слагаемом в знаменателе выделим полный квадрат:

I 2ln

x 1

d x2 4x 5

x 1

x2 4x 5

x 2 2 4 5

x 2

2ln

x 1

x2 4x 5

x 1

x2 4x 5

arctg x 2 c.

2ln

x 1

Пример

1.48.

Вычислить

неопределенный

интеграл

x 1

dx .

x(x

Решение

C 0;

A B 0;

Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Вычислим интеграл, разложив дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

Знаменатель уже разложен на множители. Тогда разложение на сумму простейших дробей имеет вид

	x2 x 1	A Bx C			Dx E
			x2 1			.
	x(x2 1)2	x	x2 1		(x2 1)2	.
Приведем дроби к общему знаменателю:
	x2 x 1		A(x2 1)2	(Bx C)x(x2 1) (Dx E)x			,
	x(x2 1)2			(x 1)2 (x2 4x 5)			,
	x(x2 1)2			(x 1)2 (x2 4x 5)

иприравняем числители дробей, стоящих справа и слева:

x2 x 1 A(x2 1)2 (Bx C)x(x2 1) (Dx E)x ;

x2 x 1 A(x4 2x2 1) Bx4 Cx3 Bx2 Cx Dx2 Ex .

Здесь проще приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящих в левой и правой частях.

Тогда

x4 : A B 0; x3 : C 0;

x2 : 2A B D 1; x : C E 1;

x0 : A 1.

Решим систему уравнений:

2 A B D 1;C E 1;A 1

Тогда

B 1;

C 0;

D 2;E 1;A 1.

x2 x 1	1	x	2x 1
	x			.
x(x2 1)2		x2 1	(x2 1)2

Следовательно, искомый интеграл можно разложить на сумму трех интегралов:

x 1

xdx

2x 1

dx .

x(x

Найдем каждый из трех получившихся интегралов. Первый интеграл табличный:

dxx ln x c.

Во втором интеграле внесем x под знак дифференциала:


xdx			1	d (x2 1)			1	ln(x	2	1)	c.
x	2	1	2	x	2	1	2

Третий интеграл разложим на сумму двух интегралов, затем в первом из полученных интегралов внесем 2x под знак дифференциала, а во втором прибавим и вычтем x2:

		2x 1						dx					2xdx											dx									d(x2 1)
	(x			2	1)		2	dx				(x		2		1)			2		(x		2	1)						2			(x			2	1)		2
	(x				1)							(x				1)					(x			1)									(x				1)
			x2 1 x2																1							dx										x2dx
										dx																																= I.
				(x2 1)2						dx								x2 1						x2 1											(x2 1)2							= I.
Последний интеграл интегрируем по частям:
									u x;					du dx; dv															xdx

																																		;
			x2dx																							(x			2 1)2					;
			x2dx																							(x			2 1)2
	(x			2	1)		2		v							xdx					1			d (x						2	1)									1
	(x				1)											xdx					1			d (x							1)									1
													(x			2	1)			2	2			(x				2			1)	2						2(x		2	1)
													(x				1)				2			(x							1)							2(x			1)
						x								dx											x							1			arctgx.
				2(x		2	1)				2(x				2		1)					2(x			2		1)					2			arctgx.
				2(x			1)				2(x						1)					2(x					1)					2

Тогда

		I				1			arctg x					x			1 arctg x c
		I				x2 1			arctg x			2(x2 1)					1 arctg x c
						x2 1						2(x2 1)				2
					1				1 arctg x					x			c.
				x	2 1				1 arctg x			2(x2 1)					c.
				x	2 1				2			2(x2 1)
Итак,
		x2	x 1					dx ln			x		1	ln(x	2	1)			1		1	arctg x		x		c.
		x2	x 1										1		2				1		1			x
		x(x		2	1)		2						2					x	2	1	2		2(x	2	1)
				2			2												2					2

	Пример								1.49.			Вычислить						неопределенный						интеграл
2x3 5x2 x 3
										dx .
4x2 6x 8										dx .

Решение

Дробь неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя. Приведем дробь к правильному виду. Для этого поделим многочлен, стоящий в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе:

2x3 5x2 x 3

4x2 6x 8

2x3 3x2 4x

1 x

8x 2 5x 3

8x2 12x 16

7x 13

В результате получили

2x3 5x2 x 3

7x 13

4x2 6x 8

4x2

Тогда

2x3

5x2 x

7x 13

4x2

x 2

6x 8

4x2 6x 8

=	1	xdx 2 dx	1		7x 13			dx
	2		2	2x	2	3x 4

	1	xdx 2 dx	1	7x 13			dx J.
	2		2	2x	2	3x 4

В третьем интеграле выделим в числителе производную от многочлена, стоящего в знаменателе.

Так как (2x2											–3x 4) 4x –3, то d(2x2														–3x 4) (4x –3)dx.
Тогда
				1 x			2					7			4x 3				21		13						x	2
J				1 x					2x			1	4						4					dx			x		2x

				2 2											2x	2	3x		4
				2 2								2			2x		3x		4							4
	7				d 2x2 3x 4										dx	31						dx
	8					2x		2	3x 4						dx		8	2x		2	3x 4
	8					2x			3x 4								8	2x			3x 4
		x	2		2x					7		d 2x2 3x 4							dx				31					dx		.
	4				2x					8		2x		2	3x 4				dx				16		x2				3 x 2	.
	4									8		2x			3x 4								16		x2				3 x 2
																													2

В последнем интеграле в знаменателе выделим полный квадрат по переменной x:

J			x2		2x		7	ln			2x			2	3x 4		31							dx
			x2				7							2			31							dx
			4				8										16					3			2				9
			4				8										16					3							9
																				x										2
																				x		4						16		2
																						4						16
		x2		2x		7	ln			2x		2	3x 4			31					dx
		x2				7						2				31					dx
		4				8										16					3		2				23
		4				8										16					3						23
																		x			4						16
																					4						16
	x2					7 ln										31			1							x			3
				2x					2x2				3x 4								arctg								4	с
																													4

		4				8										16			23								23
		4				8										16			23								23
																			16								16

7 ln

2x2

3x 4

arctg 4x 3

7 ln

2x2

3x 4

arctg

4x 3 c.

Пример

1.50.

Вычислить

неопределенный

интеграл

ln(3x2

4x 6)dx .

Решение

Интегрируем по частям:

ln(3x2 4x 6)dx

u ln 3x2 4x 6 ;

dv dx

6x 4

dx;

v x

3x2 4x 6

x ln 3x

4x 6

6x 4

3x2 4x 6

x ln 3x2 4x 6

6x2 4x

dx I.

3x 4x 6

Дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень числителя равна степени знаменателя. Приведем дробь к правильному виду. Для этого выделим целую часть, поделив многочлен, стоящий в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе:

6x2 4x

3x2 4x 6

6x2 8x 12

4x 12

Тогда

6x2 4x

4x 12

3x2 4x

3x2 4x 6

Следовательно,

I x ln 3x

4x 6

4x 12

3x2 4x 6

x ln(3x2 4x 6) 2 dx 4 2 x 3 dx. 3x 4x 6

Для нахождения второго интеграла выделим в числителе производную от многочлена, стоящего в знаменателе. Так как

3x2 4x 6 6x 4 ,

то

		x 3				1		(6x					4) 4 3				1					6x 4
		x 3			dx		6						6		dx		1					6x 4					dx
3x	2	4x 6			dx				3x	2	4x 6				dx		6		3x		2			4x 6			dx
3x		4x 6							3x		4x 6						6		3x					4x 6
7				dx		1			d 3x				2 4x 6			dx		7						dx				A .
3		3x	2	4x	6	6			3x			2	4x	6		dx		3					2		4	x 2		A .
3		3x		4x	6	6			3x				4x	6				3					2		4
																				3 x					3
																									3

Во втором интеграле в знаменателе выделим полный квадрат по переменной x:

A		1		ln		3x			2	4x		6		7							dx									1	ln		3x	2	4x
		1							2					7							dx									1				2
		6												9					2			2			4					6
		6												9					2						4			2		6
																x			3						9			2
																			3						9
																																			2
	7							dx					1		3x		2	4x 6									7			9					x 3
	7							dx					1				2										7			9					x 3
													6 ln																			arctg
	9						2 2				14																9		14						14
	9						2 2				14																9		14						14
			x				3				9																								9
							3				9																								9
	1 ln				3x2		4x 6							7		arctg 3x 2 c .
														7

	6												3	14								14
	6												3	14								14
Тогда
I x ln 3x								2		4x		6 2x					2			3x			2	4x 6							28
								2									2						2								28
																	3 ln																		arctg
																																3 14
																																3 14
Пример										1.51.				Вычислить												неопределенный

(5sin8x 4cos6x)dx .

3x 2 c .

интеграл

Решение

(5sin 8x 4cos 6x)dx 5 sin 8xdx 4 cos 6xdx

85 sin 8xd 8x 64 cos 6xd 6x 85 cos8x 23 sin 6x c.

Пример 1.52. Вычислить неопределенный интеграл

sin3 x cos4 xdx .

Решение

В данном интеграле показатель степени функции sin x – положительное нечетное число, следовательно, делаем замену cos x = t. Воспользовавшись формулой sin2x + cos2x = 1, получаем

sin3 xcos4 xdx (1 cos2 x)cos4 xsin xdx

cos x t

dt sin xdx

t2 )t4dt (t6 t4 )dt t7

t5 c

cos7

cos5 x

c .

Пример 1.53. Вычислить неопределенный интеграл

cos3

xdx

sin

Решение

В данном интеграле показатель степени функции cos x – положительное нечетное число, следовательно, делаем замену sin x = t. Воспользовавшись формулой sin2x + cos2x = 1, получаем

cos3

xdx

(1 sin2 x)cos xdx

sin x t

sin

cos xdx dt

(1 t2 )dt

c .

4sin4

2sin2

Пример 1.54. Вычислить неопределенный интеграл

sin2 x cos4 x dx .

Решение

Показатели степеней у функций sin x и cos x − четные положительные. Понизим степень по формулам понижения степени:

sin2 x		1 cos 2x		,	cos2 x	1 cos 2x .
			2				2
Тогда
	2	4			1 cos2x	1 cos2x 2
	sin xcos xdx				2		2	dx
	sin xcos xdx							dx

18 1 cos 2x 1 2cos 2x cos2 2x dx

18 1 2cos 2x cos2 2x cos 2x 2cos2 2x cos3 2x dx

18 1 cos 2x cos2 2x cos3 2x dx 18 dx 18 cos 2xdx

	1		1 cos 4x					dx			1	(1 sin2 2x)cos 2xdx								x				sin 2x			1	dx
	1							dx			1	(1 sin2 2x)cos 2xdx														16		dx
	8			2							8								8				16			16
	1	cos 4xdx								1	(1 sin2 2x)cos 2xd(2x)											x			sin 2x			x
	16	cos 4xdx							16		(1 sin2 2x)cos 2xd(2x)
	16								16												8		16			16
sin 4x						1	(1 sin2					2x)d sin 2x			x		sin 2x					sin 4x
sin 4x					16		(1 sin2					2x)d sin 2x			16		sin 2x					sin 4x
	64				16										16			16					64
	sin 2x					sin3 2x				c			x	sin3 2x		sin 4x			c .
	16				48					c		16		48			64		c .
	16				48							16		48			64
Пример					1.55.								Вычислить				неопределенный											интеграл

cos6 (2x 3)dx .

Решение

Сделаем замену t = 2x + 3, а затем понизим степень по формулам понижения степени:

t 2x 3

1 cos 2t 3

cos (2x 3)dx

dt 2dx

cos

tdt

dx 1 dt

12 18 1 3cos 2t 3cos2 2t cos3 2t dt

=161 dt 3 cos 2tdt 3 cos2 2tdt cos3 2tdt

1 t 3 cos 2t d(2t) 3 1 cos 4t dt cos3 2t d(2t) 16 2 2 2

	1					3									3								3								d (4t)									2				d sin 2t
			t				sin 2t												dt						cos 4t												cos				2t
	16		t			2	sin 2t								2				dt				2		cos 4t								4				cos				2t				2
	16					2									2								2										4												2
	1					3									3						3								1			1 sin				2	2t d sin(2t)
			t				sin 2t										t					sin 4t							2
	16		t			2	sin 2t								2		t				8	sin 4t
	16					2									2						8
										1					5					3								3							1							2
										1					5					3								3							1							2
		sin 2t u														t						sin 2t								sin 4t							1 u						du
		sin 2t u								16					2	t				2		sin 2t						8		sin 4t					2		1 u						du


	1			5				3									3									1					1 u3								1				5
					t				sin 2t										sin 4t								u							c											(2x 3)
	16			2	t			2	sin 2t								8		sin 4t							2	u				2 3			c					16				2		(2x 3)
	16			2				2									8									2					2 3								16				2
	3 sin(4x 6)												3 sin(8x 12)													sin 2t								1 sin			3	2t
	3 sin(4x 6)												3 sin(8x 12)													sin 2t								1 sin				2t		c
	2												8																	2				2		3
	1			5x			15					3		sin(4x 6)												3		sin(8x 12)										sin(4x 6)

	16							2				2														8																2
	16							2				2														8																2
	sin3 (4x 6)																	1																							3
											c											5x		7,5 2sin(4x 6)																			sin(8x 12)
				6							c						16					5x		7,5 2sin(4x 6)																	8		sin(8x 12)
				6													16																								8
sin			3	(4x 6) с
sin				(4x 6) с										.
				6

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 174 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]