Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

Из уравнения x = 4cos t выразим cos t = x/4, из уравнения y = 25sin t выразим sin t = y/25. Тогда из основного тригонометрического тождества cos2t + sin2t = 1 получим

101

Следовательно, данная фигура ограничена эллипсом с центром в начале координат, полуосями a = 4, b = 25 и прямой y = 25/2.

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.9).

Y

25 K

B C

25/2

Рис. 2.9

Точки B, C точки пересечения эллипса и прямой. Найдем координаты этих точек и соответствующие этим точкам значения параметра t. Для этого решим систему уравнений

Так как 0 t π, то t1 π / 6, t2 5π / 6 .

Значение параметра t2 5π / 6 соответствует точке B, тогда

Значение параметра t1 π / 6 соответствует точке C, тогда xC 4cos π6 2 3 .

102

Следовательно, получили координаты точек:

Площадь фигуры найдем как разность между площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху эллипсом, снизу осью абсцисс, а с боковпрямыми AB и CD , и площадью прямоугольника ABCD :

SBKC = SABKCD – SABCD;

Площадь прямоугольника ABCD найдем как произведение длин его сторон:

Пример 2.19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной

x 4(t sin t);

аркой циклоиды и осью абсцисс

y 4(1 cost)

Решение

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.10). Полагая y = 0 в уравнении y = 4(1 – cost), находим пределы интег-

рирования:

4(1 cost) 0 cos t 1 t1 0;

t2 2π.

103

Y

8π X

Рис. 2.10

Тогда

Решение

Найдем точки пересечения кривой с координатными осями и соответствующие им значения параметра t.

При x = 0

t2 1 0 t 1;

при y = 0

t(t2 1) 0 t 1 или t 0 .

Следовательно, получаем следующие точки пересечения кривой с осями координат − (−1,0), (0,0).

104

Заметим, что при изменении параметра t от 0 до – 1 значения переменной x возрастают от –1 до 0, а значения переменной у положительные. Значит, изменению параметра t от 0 до −1 соответствует верхняя часть петли данной кривой.

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.11).

Y

X

Рис. 2.11

Фигура симметрична относительно оси абсцисс, следовательно, ее площадь можно найти как удвоенную площадь части фигуры, лежащей выше оси абсцисс. Движение по верхней части петли кривой осуществляется в положительном направлении при изменении параметра t от 0 до –1.Тогда

Пример 2.21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 1 + cosφ.

Решение

Для построения данной кривой зададим значения полярного угла и найдем из уравнения r = 1 + cosφ соответствующие значения полярного радиуса:

105

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.12).

Y

1

2 X

Рис. 2.12

Фигура симметрична относительно оси абсцисс, следовательно, ее площадь можно найти как удвоенную площадь части фигуры, лежащей выше оси абсцисс. Очевидно, что пределы интегрирования

= 0; = π, тогда

Пример 2.22. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали Архимеда r = aφ (a > 0) и осью абсцисс.

Решение

Из уравнения кривой следует, что если увеличивать угол , то радиус r будет возрастать. Для построения данной кривой зададим зна-

106

чения полярного угла и найдем из уравнения r = aφ соответствующие значения полярного радиуса:

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.13).

Y

X

Рис. 2.13

Очевидно, что пределы интегрирования = 0, = 2π, тогда

Пример 2.23. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат уравнением r = cos6φ.

Решение

Функция r = cos6 четная и периодическая с периодом T = π/3,

поэтому достаточно построить кривую для 0 π/3, а затем, воспользовавшись ее периодичностью, построить ее на остальных ин-

тервалах. Заметим, что r = 1 при = 0, а r = cos (π/2) = 0 при = π/12. Функция r = cos6 на отрезке [0, π/12] монотонно убывает от 1 до 0,

107

а значит, радиус убывает от 1 до 0. На интервале (π/12, π/4) имеем cos6 < 0, т.е. r < 0, значит, нет точек линии, расположенных внутри

угла π/12 < < π/4. На отрезке [π/4, π/3] функция r = cos6 монотонно возрастает от 0 до 1, а значит, радиус возрастает от 0 до 1. Так как

функция r = cos6 четная и периодическая с периодом T = π/3, то фигура состоит из шести одинаковых «лепестков».

Изобразим 1/6 частьфигурына координатной плоскости(рис. 2.14).

Y

S1

X

Рис. 2.14

Найдем площадь искомой фигуры как S = 12S1, где S1 – площадь половины лепестка, лежащего выше оси абсцисс. Тогда

Пример 2.24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат уравнениями

r = 25cos , r = 12cos , 0 π/6.

Решение

Для построения кривой r = 25cos перейдем в ее уравнении к декартовым координатам. Умножив обе части уравнения на r, получим

r2 = 25 r cos . Заметим, что в полярной системе координат

108

Таким образом, заданная кривая − окружность, радиус которой равен 25/2, центр окружности находится в точке (25/2, 0).

Для построения кривой r = 12cos также перейдем в ее уравнении к декартовым координатам. Умножив обе части уравнения на r и подставив соответствующие формулы, получим

x2 y2 12x .

Выделив полный квадрат по переменной x, получим уравнение окружности

(x 6)2 36 y2 0 (x 6)2 y2 36 ,

радиус которой равен 6, а центр находится в точке (0,6). Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.15).

Y

φ

X

12 25

Рис. 2.15

109

По условию задачи пределы интегрирования = 0, = π/6. Тогда

Решение

Найдем производную: y 2 2 x 1x .

Тогда