Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

12.3. y x2 5x 6, y 0 .

12.4.y x2 1 y x, x 0, x 1.

12.5.y x, xy 1, y 0, x 2 .

12.6.y x2 , xy 1, y 4 .

12.7.x2 y2 3, y x / 2, y 0 .

12.8.y x3 , y 0, x y 2 .

12.9.xy 6, x y 5 .

12.10.y 2x x2 , y x .

12.11.y ln x, y 0, x 2 .

12.12. y2 6x, y 6x2 .

12.13.3x y 0, 3x 4 y 0, y 3 .

12.14.y xex , x 1, y 0 .

12.15.y x2 / 2, 2 y 2x 3 .

12.16. y arcsin x, y 0, x 1 .

12.17.y ex 1, y 2, x 0 .

12.18.y x3 , x 0, x y 2 .

12.19.y 2x x2 , y 2 x .

12.20.y 1 2x2 , y 0, x 0, x 1.

12.21.y x, x y 6, y x 4, x 0 .

12.22.(x 3)2 ( y 4)2 1.

12.23.y sin2 x, y 0, (0 x ) .

12.24.y 3 x2 , y x2 1.

12.25.y 2x , 4x 3y 5 0 .

12.26.y log2 x, y 0, x 4 .

12.27.y2 x 4, y 0, y (x 2)3 , y 1 .

12.28.y 7 x2 2x, y x2 2x 1.

12.29.(x 2)2 ( y 6)2 25 .

12.30.y cos2 x, y 3cos2 x, ( / 2 x / 2) .

131

Задача 13. Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси Oy.


13.1.	xy 4,	y 1,	y 2,	x 0 .
13.2.	y2 x 2, y 0, y x3 ,				y 1.
13.3.	y x2 4x 2		и y x2		8x 2 .
13.4.	y 1 x2 , x 0, x			y 2, x 1 .

13.5.y 2x x2 , y 2 x .

13.6.yx 6, y 0, x 1, x 4 .

13.7.y2 16 x, x 0 .

13.8.y e x , y 0, x 0 (x 0) .

x2 y2

13.9.4 9 1, y 3, y 3 .

13.10.y ln x, y 0, y 2, x 0 .

13.11.	y	8	, y	x2	.
		x2 4		4

13.12.y 4x2 , y 8x2 , y 2 .

13.13.y 4x x2 , y 2x .

13.14.(x 2)2 y2 1 .

13.15.y2 4x, x 1.

13.16.y sin x, y 0, (0 x ) .

13.17.x 3 y 2, y 1, x 1.

13.18.y x, y 3x, x 3 .

13.19.y x 2, x y 8, 4x y 8 .

13.20.y arccos x, y 0, x 0 .

13.21.y log2 x, x y 6 x 1 .

13.22.y x 2 , x 3y 6 0 .

13.23.yx 2, y 2x, y x / 2 .

13.24.x2 y2 1, x 4 . 4 25

13.25.y 2x, y 5x, y 10 .

132

13.26. y arctg x, y 0, x 1.

13.27.y ln x, y 4ln x, x e3 .

13.28.y sin x, y 6sin x, (0 x ) .

13.29.x y, 5x y 4 0, x 0 .

13.30.y e1 x , y 0, x 0, x 1 .

133

3. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


Пример 3.1. Вычислить несобственный интеграл dxn , a 0 или
a	x
a
установить его расходимость.
Решение

Покажем, что несобственный интеграл

расходится при n 1. Пусть n 1, тогда

x n 1

a1 n

dxn

lim b1 n

n 1

n b

1 n


dxn сходится при n > 1 и
a	x

Если n > 1, то показатель степени 1 − n < 0 и lim b1 n 0 , следо-

вательно, в этом случае несобственный интеграл сходится и равен

a1 n

dxn

n 1

Если n < 1, то показатель степени 1 − n > 0 и lim b1 n

, сле-

довательно, в этом случае несобственный интеграл расходится.

Пусть n = 1, тогда

lim ln

ln a .

Так как lim ln | b | , то несобственный интеграл

dx расхо-

дится.

a x

Следовательно, несобственный интеграл dxn , a 0 сходится при

n > 1 и расходится при n 1.

Пример 3.2. Вычислить несобственный интеграл dxn

или уста-

новить его расходимость.

134

Решение

Покажем, что несобственный интеграл dxn сходится при n < 1 и

расходится при n ≥ 1.

Пусть n 1, тогда

x n 1

b1 n

dxn

lim a1 n .

n 1

1 n

n a 0

Если n > 1, то показатель степени 1 − n < 0 и lim a1 n , следо-

a 0

вательно, в этом случае несобственный интеграл расходится.

Если n < 1, то показатель степени 1 − n > 0 и lim a1 n 0 , следо-

a 0

вательно, в этом случае несобственный интеграл сходится и равен

b1 n

dxn

1 n

Пусть n = 1, тогда

dx ln

ln b lim ln

a 0

Так как lim ln | a | , то несобственный интеграл

расхо-

a 0

дится.

a x

Следовательно, несобственный интеграл dxn

сходится при n < 1

и расходится при n ≥ 1.

Пример 3.3. Вычислить несобственный интеграл xe x2 dx или

установить его расходимость.

Решение

		2			t x2 ;dt 2xdx				12

											et dt
	xe x		dx		t	0;	t	2			et dt
0					1			2			0
		1 et								1 .
		1 et		1			lim eb e0			1 .
		2		0		2	b			2
				0

135

Так как lim eb 0 , то несобственный интеграл xe x2 dx сходит-

ся и равен 12 .

arctg x

Пример 3.4. Вычислить несобственный

интеграл

1 x

или установить его расходимость.

Решение

arctg x

t arctg x; dt

tdt

t1 arctg 0 0; t2

lim arctg b

arctg x

Следовательно, несобственный интеграл

сходится и

1 x

равен

Пример 3.5. Вычислить несобственный интеграл xsin xdx или

установить его расходимость.

Решение

Вычислим интеграл, применив интегрирование по частям:

		u x; du dx

	xsin xdx					x cos x		cos xdx
1		dv sin xdx;	v cos x				1	1
lim bcosb cos1 sin x					lim bcosb cos1 lim sin b sin1.


	b			1	b			b
				1

Так как lim	b cosb , а lim sin b не существует, то несобствен-
b	b

ный интеграл xsin xdx расходится.

136

	ln2 x3dx или
Пример 3.6. Вычислить несобственный интеграл	ln2 x3dx или
2	x

установить его расходимость

Решение

Вычислим интеграл, применив интегрирование по частям два раза:

ln2 xdx

u ln2 x;

2ln xdx

; v x

2ln2

u ln x;

du dx

2 ln xdx

; v

ln2 b

2ln2

2ln x

2 lim

В пределе lim

ln2 b

имеем неопределенность вида

, поэтому

для его вычисления можно воспользоваться правилом Лопиталя:

lim

ln2 b

lim

2 ln b / b

lim

4ln b

lim

4 / b

lim

1 / 2 b

2 b

b 1 /

Тогда

l/ b

I 0 4 lim

ln b 4 ln1 4

x 3/ 2dx 4 lim

b 1 / 2

4 lim

lim

8 8.

ln2 x3dx сходитсяиравен8.

Следовательно, несобственныйинтеграл

Пример 3.7. Вычислить несобственный интеграл

или

установить его расходимость.

137

Решение

Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму простейших дробей:

1		1		A			Bx C	.
x3 8		(x 2)(x2 2x 4)		x	2		x2 2x 4

Приведем дробь к общему знаменателю и приравняем числитель получившейся дроби к числителю дроби, стоящей слева:

1 A(x2 2x 4) (Bx C)(x 2) .

Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B и C подставим в получившееся тождество x = −2, 0, 1.

При x = −2

1 12A A 121 ;

при x = 0

1 4A 2С 1																					1			2С С 1 ;
																					3																3
при x = 1
1 3A 3B 3С 1																												1			3B 1 B															1			.
1 3A 3B 3С 1																												4			3B 1 B														12				.
																												4																	12
Тогда
							dx									1				dx									1						(x 4)dx										1


																																																ln				x 2
			x			3		8						12					x					2				12							x	2	2x			4				12				ln				x 2				1
						3																														2
1																		1														1
1							1											1														1
		1										(2x 2) 3																				1													1								(2x 2)dx
												(2x 2) 3
											2														dx									ln			x 2
											2
	12										x2 2x 4																				12										1				24								x2 2x 4
	12										x2 2x 4																				12														24								x2 2x 4
						3		1									dx										1																1							1


=																														ln			x 2											ln			x2					2x 4


				12								x	2		2x 4											12																24
				12					1			x			2x 4											12													1			24																1
									1																														1																			1
	1												dx											1													2					1							2


																											ln(x								2)									ln x							2x 4
	4								(x			1)					2	3					24				ln(x								2)			1				24		ln x							2x 4						1
	4					1			(x			1)						3					24																			24
						1
					1												x 1											1								(x 2)2																1							b 1
					1												x 1											1								(x 2)2																1							b 1
										arctg																						ln																							lim arctg
										arctg																		24				ln			x2 2x 4																				lim arctg
	4					3												3				1																						1						4				3 b						3
	4					3												3				1																						1						4				3 b						3

138

	1		arctg0		1		lim ln	(b 2)2		1	ln	9	1
4	3							b2	2b 4	24		3	4 3	2
					24 b
		1	ln 3			,
	24			8	3

так как			lim ln			(b 2)		2	0,
так как			lim ln		b2		2b 4		0,
			b		b2		2b 4
	lim arctg b 1					.
	b		3			2
											dx
Следовательно,						несобственный интеграл							сходится и ра-
Следовательно,						несобственный интеграл				x	3	8	сходится и ра-
									1	x		8
									1
вен			1	ln 3 .
вен	8	3	24	ln 3 .
	8	3	24

Пример 3.8. Исследовать на сходимость несобственный инте-

x3	4x2 5x 2
грал						dx .
грал	x	4	2x	3	5	dx .
0	x		2x		5
0

Решение

Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода.

Подынтегральная функция неотрицательнана промежутке [0, + ). Для исследования интеграла на сходимость воспользуемся при-

знаком сравнения. Заменим подынтегральную функцию

5x 2

f (x)

x4 2x3 5

на эквивалентную при x → +∞ ей функцию

g(x)

и исследу-

dx .

ем на сходимость несобственный интеграл

Так как

lim ln

1 x

139

то несобственный интеграл

расходится,

а значит,

по признаку

4x2 5x 2

сравнениярасходитсяинесобственныйинтеграл

dx .

Пример 3.9. Исследовать на сходимость

несобственный инте-

грал

Решение

Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода. Подынтегральная функция неотрицательнана промежутке [1, + ).

Для исследования интеграла на сходимость воспользуемся признаком сравнения. Заменим подынтегральную функцию

f (x)	1		1
f (x)	x5 4x2 3x	5	1 4	3
		x2
		x2	x3	x4
			x3	x4

на эквивалентную при x → +∞ ей функцию g(x)												1		и исследуем на
на эквивалентную при x → +∞ ей функцию g(x)												5		и исследуем на
												5
												x2
										dx5 .
сходимость несобственный интеграл										dx5 .
Так как									1	x2
Так как
dx		2x 23		2	lim b	3		2		2	,
dx		2x 23		2		3		2		2
	5	3				2		3		3
1	x2	3	1	3 b				3		3
1	x2		1				dx5

то несобственный интеграл									сходится, а значит, по признаку
						1	x2
														dx
сравнения сходится и несобственный интеграл														dx			.
сравнения сходится и несобственный интеграл													5		2		.
											1	x		4x		3x

Пример 3.10. Исследовать на сходимость несобственный инте-

грал (5 sin x)dx .

0 5 x7 4x 5

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]