Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

на эквивалентную при x → 0 ей функцию g(x) 71x и исследуем

											9
на сходимость несобственный интеграл dx1 :
											0 x7
		9		6		9		6	6		6
		9				9		6	6		6
		dx1		7x7				7 97	7 lim b7	7	97 .
		0 x7		6		0		6	6 b 0	6
		0 x7				0					9
		Следовательно,						несобственный интеграл dx1 сходится,				а значит,
											0 x7
по		признаку				сравнения			сходится		и несобственный	интеграл
9		dx
		dx					.
	3	x 5	7	x	x		.
0		x 5		x	x

Пример 3.22. Исследовать на сходимость несобственный инте-

1	dx
грал 0
		.
	e3 x 1

Решение

Подынтегральная функция непрерывна и положительна на полуинтервале (0,1]. В точке х = 0 функция не ограничена. Для исследования интеграла на сходимость воспользуемся признаком сравнения.

Заменим подынтегральную функцию							f (x)		1		на эквивалент-
Заменим подынтегральную функцию							f (x)		e3 x		на эквивалент-
						1			e3 x	1
ную при x → 0 ей функцию					g(x)	1		и исследуем на сходимость
ную при x → 0 ей функцию					g(x)			и исследуем на сходимость
						3 x
				1
несобственный интеграл dx1					:
				0 x3
1	2	1		2
1		1		2
dx1	3x3		3	3 lim b3	3 .
0 x3	2	0	2	2 b 0	2
0 x3		0

151

Следовательно, несобственный интеграл 1 dx1 сходится, а значит,

0 x3

1	dx
по признаку сравнения сходится и несобственный интеграл 0
		.
	e3 x 1

Пример 3.23. Исследовать на сходимость несобственный инте-

/ 4		sin xdx
грал			.
	e	cos x
0		e

Решение

Подынтегральная функция непрерывна и отрицательна на полуинтервале (0, π/4]. В точке х = 0 функция не ограничена. Для исследования интеграла на сходимость воспользуемся признаком сравнения.

Найдем функцию, эквивалентную при x → 0 подынтегральной

функции f (x)				sin x	.
			e	cos x e
Так как

	sin x			sin x		,
	e cos x e	e(e		cos x 1	1)

то

f (x)

sin x

x( cos x 1)

cos x e

cos x 1)

e(cos x 1)

ex2

Исследуем на сходимость несобственный интеграл 4 dx

4 dx ln

4 ln

limln

0 x

b 0

Следовательно,

несобственный интеграл 4 dx

расходится, а зна-

чит, по признаку сравнения расходится и несобственный интеграл

/ 4	sin xdx
0		.
	e cos x e

152

Пример 3.24. Исследовать на сходимость несобственный инте-

грал

2x 5x

Решение

Данный интеграл на интервале [0, +∞)

имеет две особые точки

x = 0 и x = +∞. Разложим интеграл на сумму двух интегралов:

2x 5x

Для сходимости интеграла

необходима сходимость

2x 5x

обоих интегралов

Исследуем на сходимость каждый из получившихся интегралов.

Рассмотрим интеграл

2x 5x

Заменим подынтегральную функцию

f (x)

на эквива-

2x 5x3

лентную при x → 0 ей функцию

g(x)

. Несобственный инте-

грал

сходится, следовательно, по признаку сравнения сходится

и несобственный интеграл

Рассмотрим интеграл

2x 5x

Заменим подынтегральную функцию

f (x)

на эквива-

2x 5x3

лентную при x → ∞ ей функцию g(x)

. Несобственный инте-

5x3

153

грал

сходится,

следовательно,

по признаку сравнения схо-

дится и несобственный интеграл

. Следовательно, не-

собственный интеграл

сходится.

Пример 3.25. Исследовать на сходимость несобственный инте-

				dx
грал				dx			.
грал		3		5		7	.
0			x	x
Решение
Данный интеграл на интервале [0, +∞)																														имеет две особые точки
x = 0 и x = +∞. Разложим интеграл на сумму двух интегралов:
			dx			1					dx										dx
			dx								dx										dx					.
	3	x	5		7			3	x		5			7				3	x	5					7	.
0		x	x			0			x			x				1			x			x
																								dx
Для		сходимости										интеграла												dx						необходима сходимость
Для		сходимости										интеграла								3				5				7		необходима сходимость
																			0			x			x
									1				dx										dx
обоих интегралов													dx				и						dx						.
обоих интегралов										3			5		7		и			3			5				7		.
									0			x	x						1			x		x

Исследуем на сходимость каждый из получившихся интегралов.

Можно доказать, что интеграл

сходится.

Рассмотрим интеграл

Заменим подынтегральную функцию

f (x)

на эквива-

3 x5 x7

лентную при x → 0 ей функцию

g(x)

. Несобственный инте-

3 x5

154

1
грал dx5	расходится, следовательно, по признаку сравнения расхо-
0 x3
	1			dx
дится и несобственный интеграл				dx		.
дится и несобственный интеграл		3		5	7	.
	0		x	x
									dx
Следовательно, несобственный интеграл									dx		расходится.
Следовательно, несобственный интеграл							3		5	7	расходится.
					0			x	x

Домашнее задание № 3

Задача 1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

		ln x
1.1.		ln x				dx .
1.1.		3 5				dx .
e			x
						dx
1.3.						dx							.
1.3.			x	2	(x		2		9)				.
	1		x		(x				9)
	1
				dx
1.5.				dx					.
1.5.			x				3		.
	1		x	x
	1
						dx
1.7.						dx								.
1.7.			x(			x 2x)								.
	1		x(			x 2x)
				dx
1.9.				dx						.
1.9.			x	3						.
	0		x		27
	0
1.11.	arctg x										dx .
1.11.						x	2				dx .
		1				x
		1
								dx
1.13.								dx									.
1.13.								2									.
		1		x		x			4x 1
									dx
1.15.									dx							.
1.15.				x(			x					5	x	2	)	.
		1		x(			x						x		)
									dx
1.17.									dx									.
1.17.				x			(ln x							4)		5		.
	1			x			(ln x							4)

							dx
1.2.							dx					.
1.2.			(1 x)							x		.
	1		(1 x)							x
								dx
1.4.								dx					.
1.4.							2						.
1		x			x			6x 5

1.6.	(2x 1)e x/3dx .
	0
	2					dx
1.8.						dx						.
1.8.						2						.
x x									1
									dx
1.10.									dx						.
1.10.									2						.
	1/ 2				x			x		2x 1
							xdx
1.12.							xdx				.
1.12.							2				.
		1		(x 1)
							ex
1.14.											dx .
1.14.					e	2 x		9			dx .
	ln 2				e			9
	ln 2

1.16. (x2								1)e x dx .
		0
										dx
1.18.										dx				.
1.18.				(2 x)								1 x		.
		0		(2 x)								1 x

155


1.19.	e				x dx .
	0
				x ln x
1.21.				x ln x							dx .
1.21.				2						2	dx .
	1		(1 x )
	1
				x
1.23.				x				dx .
1.23.			x	3			1	dx .
	1		x				1
	1
						dx
1.25.						dx							.
1.25.						2							.
	2	x			x		x 1
					dx
1.27.					dx							.
1.27.			x	2	(x				3)			.
	1		x		(x				3)
	1

					dx
1.20.					dx			.
1.20.		1		x		3		.
	0	1		x
	0
									dx
1.22.									dx				.
1.22.			(2x 1)							x	2		.
	1		(2x 1)							x		1
					x3
1.24.					x3				dx .
1.24.		9			x		8		dx .
	0	9			x
	0
				2
1.26. ln					3 x dx .
	e		x
	e
					dx
1.28.					dx					.
1.28.					2					.
	2		x x						1

			x2					dx
1.29. x	3	e	x2	dx .	1.30.			dx			.
1.29. x		e		dx .	1.30.	x	2	(x	2	9)	.
0					3	x		(x		9)
0					3

Задача 2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

1					dx
2.1.					dx					.
2.1.	(2 x) 1 x								2	.
1	(2 x) 1 x
2				dx
2.3.				dx							.
2.3.				2							.
1	x		3x			2x 1
e
2.5. xln xdx .
0
e			dx
2.7.			dx					.
2.7.		3	2					.
1	x		ln			x
1			dx
2.9.			dx				.
2.9.		x x				2	.
0		x x

2.11. ln2 xdx .

0	dx
2.2.	dx		.
2.2.	5 (x 1)	3	.
3	5 (x 1)
2	dx
2.4.	dx				.
2.4.	8 2x x			2	.
0	8 2x x

1e x

2.6.x3 dx .

0
3 / 2		sin xdx
2.8.		sin xdx		.
2.8.		5 3		.
		cos	x
3		dx
2.10.		dx						.
2.10.		(x 1)		x		2		.
3		(x 1)		x			3
2			dx
2.12.			dx
2.12.	(2 x)ln				2	(2 x)			.
1/3	(2 x)ln					(2 x)
1/3

156

3	(2x 3)dx								.
2.13.	x	2		x				12	.
2	x			x				12
2
3			x3dx
2.15.			x3dx					.
2.15.			9 x				2	.
0			9 x
1	ln(2 3 x)								dx .
2.17.				3	x				dx .
1					x
1		dx
2.19.						.
2.19.	x	3		1		.
0	x			1
0
1			(x 3)dx
2.21.			(x 3)dx							.
2.21.									2	.
0			3 2x x
7			x 4
2.23.			x 4				dx .
2.23.							dx .
4			7 x
4
5					x2
2.25.					x2							dx .
2.25.	(x 3)(5 x)											dx .
3	(x 3)(5 x)
e 2								dx
2.27.								dx					.
2.27.		(x 2)						7 ln			5		.
1		(x 2)						7 ln				(x 2)
e
2.29.			x ln2 xdx .
0

3/
2.14.	cos 1 dx3 .
0			x x
0
5			xdx
2.16.			xdx
2.16.		7x x				2	10
2		7x x					10
3		xdx
2.18.		xdx				.
2.18.	4	2				.
2		x	4
1		x2 dx
2.20.		x2 dx			.
2.20.		2			.
0		1 x
1
2.22. (x2			x)ln xdx
0
2		x3dx
2.24.		x3dx				.
2.24.		2				.
0		4 x
4			dx
2.26.			dx
2.26.	x		6x x				2	8
2	x		6x x					8
9		x 2
2.28.		x 2		dx .
2.28.				dx .
2		9 x
2
ln 2			dx
2.30.			dx				.
2.30.			x				.
0		e 1

Задача 3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

			(4 sin x)dx													(3x 2)dx
3.1.			5						.			3.2.											.
3.1.			5	x	3	x 9			.			3.2.		(x	2	4)		3 ln	5	(x			.
	1			x		x 9							4	(x		4)		3 ln		(x	6)
							x									(3x2 2)dx
3.3.		x arctg					x	dx .				3.4.				(3x2 2)dx						.
3.3.		3 4						dx .				3.4.		(x	3	4)		ln(x 6)				.
	0			x	1								4	(x		4)		ln(x 6)
			7 2сos(2x 1)										1	sin x dx
3.5.				7		6					dx .	3.6.						.
3.5.				7	x	6	9x 1				dx .	3.6.		x	3	x	5	.
	1				x		9x 1						0	x		x
						dx								arctg x
3.7.						dx				.		3.8.		arctg x				dx .
3.7.				3		2				.		3.8.		5 7				dx .
	2		x		ln		x 5						1	4 x

157

																					sin						2 x
3.9.		(3 2cos x)dx												.					3.10.		sin						2 x					dx .
3.9.														.					3.10.		3 7											dx .
	1		x2 3x 4 x																	1		x					9
																									3		1								x	2
3.11.			(15 65sin x)dx .																3.12.			x					1								x				dx .
3.11.			(15 65sin x)dx .																3.12.			3					4x 8												dx .
	1				x			9x 1												1		x					4x 8
			arcsin(1/ x) dx .																								ln x
3.13.																			3.14.								ln x										dx .
3.13.																			3.14.		3				2												dx .
	1			1 x x																e		x					3x 7
				arcsin(1/ x)																														x
3.15.				arcsin(1/ x)													dx .		3.16. arcsin															x						dx
3.15.			(x cos(1/ x))													5	dx .		3.16. arcsin									x	2			x								dx
	2		(x cos(1/ x))																	1								x				x						1
	2																			1
							dx																		arctg x
3.17.							dx				.								3.18.						arctg x												dx .
3.17.							2				.								3.18.						3												dx .
	2		x ln					(x 4)												1		x					2x 5
										1																(x2 5x)dx
3.19.			x		3		(1 cos			1					)dx .				3.20.							(x2 5x)dx															.
3.19.			x				(1 cos			x		3			)dx .				3.20.		(x		3			5)				5				ln(x				6)			.
	1									x										4	(x					5)								ln(x				6)
						cos x dx																1										1
3.21.						cos x dx										.			3.22.			1					sin					1			dx .
3.21.				7		6										.			3.22.			3					sin					2			dx .
	1		x			x 9x 1														2/ x											x
							(x 5)dx																			arctg x
3.23.							(x 5)dx											.	3.24.							arctg x													dx .
3.23.			(x		2		1)ln(x								3)			.	3.24.			x			5		2x						3		3				dx .
	2		(x				1)ln(x								3)					1		x					2x								3
			(3 sin x)dx																			(2x 1)dx
3.25.													.						3.26.																		.
3.25.			5	x		3		5x 2					.						3.26.			x			5		7x 5										.
	1			x				5x 2												1		x					7x 5
										1											(4 сos x)dx
3.27.				x		(1 cos							)dx .						3.28.		7					8										.
3.27.				x		(1 cos			x		2		)dx .						3.28.		7		x			8	3x 1									.
	1								x											1			x				3x 1
			(3 sin2 x)dx .																					(3x2 2)dx
3.29.																			3.30.					(3x2 2)dx																	.
3.29.																			3.30.			3																			.
	1		3 х2 х 3 x																	4 (x					4)							ln(x								6)

Задача 4. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

1		dx						/4							dx
4.1.		dx			.			4.2.							dx		.
4.1.	e	4 x	1		.			4.2.		5	x	2	x 3sin x				.
0	e		1					0			x		x 3sin x
1	сos2 x dx							1			dx
4.3.							.	4.4.								.
4.3.	3 (1 x			2	)	2	.	4.4.	5	arctg				3		.
0	3 (1 x				)			0	5	arctg					x

158

1			arcsin x
4.5.																dx .
4.5.		x			2	x					3	x				dx .
0		x				x						x
1		3x3 2					2				2 dx .
4.7.		3x3 2					2				2 dx .
1						x
1			ln x
4.9.			ln x						dx .
4.9.			2						dx .
0	1 x
0
	1						dx
4.11.							dx								.
4.11.					x	sin x									.
	0				x	sin x
	0
	1			ln(1 3 x2 )
4.13.																					dx .
4.13.						e		2 x						1							dx .
	0					e								1
	0
	/ 4										dx
4.15.											dx										.
4.15.						5	x			sin x											.
		0					x			sin x
	1									x
4.17.										x								dx .
4.17.					7	(1 x)								5				dx .
	0				7	(1 x)
	/4					tg3x dx .
4.19.						tg3x dx .
		0				x				x
1														xdx
4.21.														xdx									.
4.21.																							.
0						x(2x3 x2 x)
	e						ln(1 x)
4.23.							ln(1 x)															dx .
4.23.						(1 x							4		)		3			1		dx .
	0					(1 x									)					1
	2						x
4.25.							x								dx .
4.25.					3	8 x						3			dx .
	0					8 x
	1				arcsin x
4.27.																			dx .
4.27.					x	2	x					3			x				dx .
	0				x		x								x
	1							dx
4.29.								dx												.
4.29.			1			cos										x				.
	0		1			cos										x

1				dx
4.6.				dx						.
4.6.		1 e					6 x			.
0		1 e
0
7									dx
4.8.									dx								.
4.8.																	.
3			(x 3)(7 x)
	1							dx
4.10.								dx							.
4.10.			x(1 cos x)												.
	0		x(1 cos x)
	0
	1					dx
4.12.						dx							.
4.12.			3	arctg x									.
	0			arctg x
	1			dx
4.14.				dx							.
4.14.			e	x							.
	0		e						1
	/6					dx
4.16.						dx						.
4.16.												.
	0			tg				x
	/ 2				sin xdx
4.18.					sin xdx									.
4.18.					cos x									.
	0			e e
	/ 4							dx
4.20.								dx								.
4.20.				5				2								.
	0					x			sin x
	1							dx
4.22.								dx							.
4.22.			e	2 x			cos x								.
	0		e				cos x
	0

1
4.24. cos2 (1/ x)dx .
0				x
1		dx
4.26.		dx			.
4.26.		2			.
0	3 ex			1
/2		ln sin x dx .
4.28.		ln sin x dx .
0			x
4.30. 1			x2 1			dx .
4.30. 1	3	x arcsin x				dx .
0		x arcsin x

159

Библиографический список

Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу [Текст] / Б.П. Демидович. 13-е изд., испр. М. : Изд-во Моск. ун-та ЧеРо, 1997.

Сборник задач по математическому анализу [Текст] : в 3 т. / Л.Д. Кудрявцев [и др.]. М. : Физматлит, 2003. Т. 2.

Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике [Текст] / Л.А. Кузнецов. СПб. : Изд-во Лань, 2008.

Сборник индивидуальных заданий по высшей математике [Текст] : в 4 ч. / А.П. Рябушко [и др.]. Минск : Вышэйш. шк., 2007. Ч. 2.

Тер-Крикоров, А.М. Курс математического анализа [Текст] / А.М. ТерКрикоров, М.И. Шабунин. М. : Физматлит, 2003.

Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] : в2 т. / Г.М. Фихтенгольц. М. : Физматлит, 2001.

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]