Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

16.27. x2 21x 80 dx .

(x 1)(x2 8x 25)

16.29. x2 19x 134 dx .

(x 1)(x2 6x 34)

Задача 17

17.1. cos4 x dx .

17.3. cos4 dxxsin2 x .

17.5. tg4 xdx .

17.7. sin4 x cos3 x dx .

17.9. dx . sin3 x

17.11. cos6 x dx .

17.13. cos5dxxsin x .

17.15. dx . tg3 x

17.17. 3 sin2 x cos3 x dx .

17.19. sin2 xdx . cos5 x

17.21. cos2 xsin4 x dx .


16.28.		22x 36					dx .
	(x 3)(x			2		4x 13)

16.30.	4x3	24x2 20x 28
	(x 3)		2	(x	2	2x 2)		dx .

17.2. sin5 xcos2 x dx .

17.4. dx . cos3 x

17.6. sin2 x cos2 x dx .

17.8. cos3 dxxsin3 x .

17.10. tg5 xdx .

17.12. sin7 x dx .

17.14. cossin2 5xxdx .

17.16. cos4 xsin2 x dx .

17.18. cos xdxsin7 x .

17.20. tg6 xdx .

17.22. cos5 x dx .

17.23. cos4 dxxsin4 x .

17.25. sin4 xdx . cos2 x

17.27. cos5 xsin3 x dx .

17.29. sin3 x dx . cos4 x

Задача 18

18.1.		dx						.
18.1.	5	4sin x		3cos x				.
	5	4sin x		3cos x
18.3.		dx			.
18.3.	3sin x 5cos x				.
	3sin x 5cos x
18.5.		dx	.
18.5.	5	3cos x	.
	5	3cos x
18.7.		dx						.
18.7.	8	4sin x		7cos x				.
	8	4sin x		7cos x
18.9.		dx	.
18.9.	5	4sin x	.
	5	4sin x
18.11.		cos x					dx .
18.11.		2sin x cos x 2					dx .
		2sin x cos x 2
18.13.		(1 sin x)dx				.
18.13.		sin x(1 cos x)				.
		sin x(1 cos x)
18.15.		dx				.
18.15.		2sin x 3cos x				.
		2sin x 3cos x
18.17.		dx							.
18.17.		4sin x 3cos x					1		.
		4sin x 3cos x					1
18.19.		dx			.
18.19.		3cos x sin x			.
		3cos x sin x

17.24.			dx					.
17.24.	sin	x	cos	3 x				.
		x		3 x
		2				2
		2				2
17.26. sin6 x dx .
17.28.			dx					.
17.28.	cos		5		3		x	.
	cos		xsin				x

17.30. ctg6 xdx .

18.2. 8 tg x dx . 9sin2 x cos2 x

18.4. sin2 x dx . cos2 x 1

18.6. 2 dx 2 . sin x sin x cos x 5cos x

18.8.								dx											.
18.8.	2sin					2	x 7 cos								2	x			.
	2sin						x 7 cos									x
18.10.					sin 2x											dx .
18.10.			sin		4								4	x		dx .
			sin				x cos							x
18.12.							sin2 x											dx .
18.12.			3sin				2	x		cos				2		x		dx .
			3sin					x		cos						x
18.14.									dx											.
18.14.			5sin				2	x		3cos						2	x			.
			5sin					x		3cos							x
18.16.							dx								.
18.16.			sin		2		x tg					2	x		.
			sin				x tg						x
18.18.									dx									.
18.18.			sin		2		x 4cos								2	x		.
			sin				x 4cos									x
18.20.			sin2				xdx				.
18.20.		1		cos					2	x	.
		1		cos						x

cos xdx

18.21.cos x sin x 1 .

18.23.							dx										.
18.23.				5sin 2x 4													.
				5sin 2x 4
18.25.				sin xdx								.
18.25.												.
				2 sin x
18.27.								dx												.
18.27.				cos x cos												2		x		.
				cos x cos														x
18.29.						1 cos x																dx .
18.29.			1 cos x sin x																			dx .
			1 cos x sin x
Задача 19
19.1.						dx										.
19.1.				x	(1				3		x)					.
				x	(1						x)
19.3.				x 1 1									dx .
19.3.				3									dx .
					x 1
19.5.				x	1			dx .
19.5.	1				3			dx .
	1					x
19.7.							dx												.
19.7.		x(					5						x		2	)			.
		x(			x								x			)
19.9.								dx														.
19.9.				x			3		x		2						4		x			.
				x					x		2								x
19.11.						x					dx .
19.11.				4	x	3					dx .
					x		1
19.13.							x							dx .
19.13.							3				x			dx .
					x						x
19.15.							(2 3 x)dx																	.
19.15.		(			x				2	3				x					6		x)		x	.
		(			x				2					x							x)		x

18.22.					dx			.
18.22.	(6	tg x)sin 2x						.
	(6	tg x)sin 2x
18.24.			(4 tg x)dx								.
18.24.	2sin			2	x 18cos			2		x	.
	2sin				x 18cos					x
18.26.					2 tg x							dx .
18.26.	sin		2	x 2cos		2						dx .
	sin			x 2cos			x 3
18.28.				4 tg x 5							dx .
18.28.	1 sin 2x 4cos								2	x	dx .
	1 sin 2x 4cos									x

18.30. 11 3tg xdx . tg x 3

19.2.				x			dx .
19.2.		4		x			dx .
		4		x
19.4.							dx											.
19.4.			2x			1					4		2x		1			.
			2x			1							2x		1
19.6.			2				x dx .
			2				x
19.8.					xdx											.
19.8.			x	1					3			x 1				.
			x	1								x 1
19.10.		x2						x 1						dx .
19.10.				3	x 1									dx .
					x 1
19.12.				x 1				dx2 .
19.12.								dx2 .
				x 1 x
19.14.				6 x						dx .
19.14.										dx .
				x 14
19.16	x				3x 2 10												dx
19.16																	dx
				3x 2 7

19.17.		1					x 23 x											dx .
19.17.	x					2	x	3				3			x	4		dx .
	x					2	x								x
19.19.			6				x 4 x												dx .
19.19.		x			3	7x					6		4		x		3		dx .
		x				7x					6				x
19.21.		1 x dx .
			x 1 x
22.23. .						x 3 2									dx .
22.23. .	6			3		x 3 24									dx .
	6					x 3 24
19.25.							xdx												.
19.25.				x			2			3	x					2			.
				x			2				x					2
19.27.				2 x				dx .
19.27.			3 2x					dx .
			3 2x
19.29.							x 6							dx .
19.29.			(x 6)						3					dx .
	4		(x 6)							8

19.18.			1	x dx .
			1	x
19.20.			1		x 1								dx .
19.20.			x 1			3		x			1		dx .
			x 1					x			1
19.22.			5				x 2									dx .
19.22.		3	x 2 6							3		x		2		dx .
		3	x 2 6									x		2
19.24.			5				x 7										dx .
19.24.	6		x 7				12				3	x			7		dx .
	6		x 7				12					x			7
19.26.			2			x 4								dx .
19.26.	2		x 4					3		x		4		dx .
	2		x 4							x		4
19.28.			2			x 5									dx .
19.28.	3		x 5				6		3		x 5				dx .
	3		x 5				6				x 5

19.30. dx .

6 (x 1)5 34 (x 1)3 23 (x 1)2

Задача 20

20.1. (x2			4)3 dx .
20.3. x2		4 x2 dx .
20.5.		(x	1)dx				.
	x	2
		x		2x 3
20.7. x2		x2 1 dx .
20.9.					dx				.
	(4	x		2	)	4 x		2

20.2.				dx					.
20.2.	x	4x		2					.
	x	4x		4x 1
20.4.		x2	5			dx .
20.4.		x	4			dx .
		x
20.6.		1 4x x2 dx .
20.8.		x4 dx						.
20.8.		(4	x		2	)	3	.
		(4	x			)
20.10. x5			x2 4 dx .

20.11 x4		1 x2 dx .
20.13.		x2 3 dx										.
20.13.		x	4									.
		x
20.15.		x4 dx									.
20.15.		(9 x				2	)	3			.
		(9 x					)
20.17.		4x x2 dx .
20.19.		x2 4x 8dx .
20.21.		x2 1dx
									.
		4 x			2				.
		4 x
20.23.		3 2x x2 dx .
20.25.		5 4x x2 dx .
20.27.							dx						.
20.27.	(x 1)			2			x			2			.
	(x 1)						x					2x 1
20.29.		x2 6dx								.
20.29.		x	4							.
		x

20.12.		2x x2 dx .
20.14. x4 16 x2 dx .
20.16.			dx								.
20.16.		(x	2			9)			3		.
		(x				9)
20.18.					dx								.
20.18.	x	2	x		2								.
	x		x			5x 4
20.20.		x2	9dx								.
20.20.			x	4							.
			x
20.22.					dx									.
20.22.	x	4x			2									.
	x	4x				4x 3
20.24.		x2	4dx
										.
		6 x				2				.
		6 x
20.26.			dx									.
20.26.		(4	x				2	)	3			.
		(4	x					)
20.28.		x2	4dx								.
20.28.			x	4							.
			x
20.30.		7 6x x2 dx .

2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ИЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Пример 2.1. Вычислить определенный интеграл 2 x dx .

Решение

2 2x dx	2x	2	4	2	2	.



1	ln 2	1	ln 2	ln 2	ln 2

Пример 2.2. Вычислить определенный интеграл π x sin xdx .

Решение

Воспользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле:

b b

u(x)dv(x) u(x)v(x) ba v(x)du(x) .

a		a
Тогда	u x;	du dx
π x sin xdx			x cos x


0	dv sin xdx; v cos x
	dv sin xdx; v cos x

0π cos xdx

x cos x	π sin x	π	πcos π sin π sin 0 π.


	0	0

Пример 2.3. Вычислить определенный интеграл 2 xexdx .

Решение

Воспользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Тогда

2 xex dx	u x; xdu dx	x	xex		02 2 ex dx 2e


0	dv e dx; v e			0

2e2 e2 e0 e2 1.

Пример 2.4. Вычислитьопределенный интеграл

2 ex 02

π/2 sin2 x cos xdx .

Решение

Сделаем замену sin x = t, тогда dt = cos x dx.

Найдем новые пределы интегрирования: если x = 0, то t = sin 0 = 0;

если x = π/2, то t = sin (π/2) = 1. Тогда

π/2 sin2 x cos xdx	1 t2dt t3		1	1 .
π/2 sin2 x cos xdx	1 t2dt t3		1	1 .
0	0	3	0	3
0	0	3	0
Пример 2.5. Вычислить определенный интеграл ln 2										ex 1 dx .
								0
Решение							dt		dt
x	= t, тогдаdt e				x	dx dx	dt		dt
Сделаем замену e										t .
Сделаем замену e							e x			t .

Найдем новые пределы интегрирования: если x = 0, то t = e0 = 1; если x = ln2, то t = eln2 = 2. Тогда

ln 2	ex 1 dx 2								t 1 dt					t 1 u t 1 u2
ln 2	ex 1 dx 2								t 1 dt					dt 2udu
0						1					t			u1	0;u2 1
														u1	0;u2 1
	1		2udu			1		u2du				1	(u2		1 1)du			1		1		du
u						2					2							2 du 2
u			u	2	1	2		u	2	1	2				u	2	1	2 du 2			u	2	1
	0		u		1	0		u		1		0			u		1	0		0	u		1
2u		1	2arctg u				1												π
		1					1												π
		0					0 2 2arctg1								2arctg 0 2 1				4	.
																			4

Пример 2.6. Вычислить определенный интеграл a2 x2 dx .

Решение

Сделаем замену a sint x , тогда dx a cost dt .

Новые пределы интегрирования t1 и t2 найдем из уравнений asin t1 x1 и asin t2 x2 .

a sin t1 0 sin t1	0	t1	0;
a sin t2 a sin t2	1	t2		π .
				2

Таким образом,
a	a2		x2 dx π/2				a2 a2				sin2 t a cos tdt a2			π/2 cos2			tdt
0						0								0
a2		π/2 1 cos 2tdt 1 a2 t									0π/2 a2	π/2 cos 2tdt a2				π

		0		2				2		2		0		2		2
a2		sin 2t			π/ 2		πa2		a2		sin π sin 0		πa2		.


	2		2		0		4	4					4			f (x) x(2 x2 )6

Пример 2.7. Найти среднее значение функции

на отрезке [0, 1].

Решение

Среднее значение функции f(x) наотрезке [a,b] найдем по формуле

f (c)

f (x)dx ;

b a a

2 x2 t

2xdx dt

f (c)

x(2 x

2 )6 dx

t6 dt

xdx

0 0

t1 2;t2

2 t6dt

1 t7

(27

127 .

Пример 2.8. Найти среднее значение функции

f ( x)

1 cos x

на отрезке [ π/2, π/2].

Решение

π/2

(c)

1 cos xdx 1

2 cos2

π/2

1 π/2

dx.

cos

π π/2

На отрезке [ π/2,	π/2] функция cos (x/2) > 0, следовательно,
│cos (x/2) │ = cos (x/2)	. Тогда

f (c)							2		π/2				cos			x		dx						2		2 sin						x		π/2
							2									x								2								x

						π π/2										2							π									2		π/2
						π π/2										2							π									2		π/2
	2 2										π										π								2 2								2					2						4
					sin								sin																																						.
		π			sin						4		sin								4								π							2						2						π			.
		π									4										4								π							2						2						π
Пример								1			2.9.									Найти											среднее												значение														функции
f (x)								1									на отрезке [1, 3].
f (x)			x		x2 5x 1												на отрезке [1, 3].
Решение																															1									1
																													t		1		x							1
							1				3							dx													x				dt						t				1		1/3						t ( dt)
							1				3							dx																	dt										1		1/3						t ( dt)
f (c)										1																			dx t2																		1
f (c)					3 1					1		x			x2 5x 1														dx t2										1						2		1		t	2				1				5	1
																													t1 1;						t2														t						t2			t	1
																																																							t2			t
																																							3
																																							3
		1		1/ 3								dt										1	1							dt										1		1											dt
		2																																						2
								1 5t							t			2										1 5t t									2															5		2			25
				1		t		1 5t							t							2 1/ 3						1 5t t														1/ 3										5					25
																																														t													1
													t	2																																t						2					4		1
													t																																							2					4
	1 1										dt														1								5											5 2							21					1
	1 1										dt														1								5											5 2							21					1
																											ln t												t
	2 1/ 3										5 2							21							2		ln t						2						t					2								4
	2 1/ 3										5 2							21							2								2											2								4				1/ 3
						t					2							4																																						1/ 3
											2							4					1
	1						1				5					7			ln				1						5				1					5		1
		ln					1									7			ln																					1
	2										2													3 2									9					3
	2										2													3 2									9					3
	1			ln	7				7							ln				17							5						1						7 2 7									ln					9
				ln					7							ln																				ln												ln
	2																					6					3						2										2										2
	2				2																	6					3						2										2										2
	1 ln 7 2										7 .
	2						9

Пример 2.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2 , y 0, x 2.

Решение

Данная фигура ограничена параболой y = x2 и прямыми y = 0 и x = 2. Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.1).

y=x2

		O			2		X
		Рис. 2.1


Тогда S b	f (x)dx 2	x2 dx	x3	2		8 .
			x3	2

a	0	3		0		3
a	0	3		0		3

Пример 2.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-

ниями y x, y 1 / x, y 0, x e.

Решение

Данная фигура ограничена гиперболой y = 1/x и прямыми y x, y 0, x e . Изобразим фигуру на координатной плоскости

(рис. 2.2).

y=x y=1/x

		e
O	1		X

Рис. 2.2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]