Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Двумерное преобразование Фурье и его приложения. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2026

Размер:

474 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

№ 4751 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

Н.Е. Цапенко

МАТЕМАТИКА

Двумерное преобразование Фурье и его приложения

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2023

УДК 51 Ц17

Р е ц е н з е н т ы :

канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математического и компьютерного моделирования В.П. Григорьев (Институт информационных

и вычислительных технологий НИУ «МЭИ»)

Цапенко, Николай Евгеньевич.

Ц17 Математика. Двумерное преобразование Фурье и его приложения : учеб. пособие / Н.Е. Цапенко. – Москва : Издательский Дом НИТУ МИСИС, 2023. – 49 с.

ISBN 978-5-907560-83-3

Исходя из формул Грина и их следствий, записаны интегралы Фурье от функций, заданных в различных плоских областях, как ограниченных, так и неограниченных. Выведены Фурьепредставления частных производных первого и высших порядков, в которые входят граничные значения как самой функции, так и её производных. С помощью этих представлений записаны решения граничных задач для двумерного уравнения Лапласа в случае нескольких плоских областей. Также рассмотрена система уравнений Максвелла, описывающая распространение электромагнитных волн в слоисто-неоднородной среде.

Предназначено для студентов старших курсов и магистров, специализирующихся по направлению «Прикладная математика».

	УДК	51
	Н.Е. Цапенко, 2023
ISBN 978-5-907560-83-3	НИТУ МИСИС, 2023

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

ГЛАВА 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.1. Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Двумерные преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Функция, заданная в бесконечной полосе . . . . . . . . . 11 1.4. Функция, заданная в бесконечном квадрате. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Круговая область.

Преобразование Фурье–Бесселя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ГЛАВА 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2.1. Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Интегральные уравнения для граничных значений гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. Решение уравнений (2.48), (2.49)

в случае бесконечной полосы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Решение уравнений (2.48), (2.49)

в круговой области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ГЛАВА 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 3.1. Е- и H-волны в слоисто-неоднородной среде . . . . . . . 42

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

ПРЕДИСЛОВИЕ

В нашем университете существует такой курс, как «Уравнения в частных производных математической физики». Он читается для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика» в течение 4-го учебного семестра.

Этот курс построен на изучении задач для основных уравнений математической физики: уравнений Лапласа и Пуассона, уравнения теплопроводности, волнового уравнения. Причем, рассматриваются в основном двумерные задачи, то есть плоские области. Решения в ограниченных областях строятся, как разложения в ряды по ортогональным системам собственных функций. При этом курс ограничивается лишь самыми простыми областями: прямоугольными и круговыми. Неограниченные области представлены в виде задач на бесконечной оси и полуоси. В этом случае для построения решения привлекается обычное преобразование Фурье.

С целью расширения круга задач для плоских неограниченных областей, таких как полуплоскости, плоские полосы и полу полосы, квадранты и др., предлагается привлечь технику с двумерными интегралами Фурье. Методике работы с такими интегралами и посвящено данное учебное пособие. Кроме того, с помощью двумерных интегралов Фурье могут решаться и некоторые пространственные граничные задачи для вышеупомянутых основных уравнений. Например, разобрано применение этих интегралов для представления электромагнитных волн в слоисто-неоднородной среде. В пособии также выведены формулы, показывающие, как двумерные преобразования Фурье позволяют учесть граничные условия в случае плоских ограниченных областей с произвольной границей.

Несмотря на все эти, все-таки довольно сложные вопросы, можно надеяться, что материал будет доступен для восприятия студентами, специализирующимися в области прикладной математики.

ГЛАВА 1

1.1. Формулы Грина

Пусть в некоторой плоской области D с границей L заданы две непрерывные и дифференцируемые в каждой точке этой области функции P(x, y) и Q(x, y). Имеют место следующие интегральные соотношения:

			P
					dxdy Pdx ,			(1.1)
			y		dxdy Pdx ,			(1.1)
		D					L
				Q
						dxdy Qdy		(1.2)
				x		dxdy Qdy		(1.2)
		D					L
и, соответственно,
	Q		P
	x		y dxdy Pdx Qdy .					(1.3)
D							L

Полагая в формулах (1.1), (1.2) P Q u v , получим двумерные аналоги обычной формулы интегрирования по частям:

v	u			v
v	y dxdy uvdx u y dxdy ,
D		L	D
	u			v
v x dxdy uvdy u					dxdy .
v x dxdy uvdy u				x	dxdy .
D			D

(1.4)

(1.5)

Если теперь в формуле (1.4) функцию u(x, y) заменить на ее производную по y, а в формуле (1.5) эту же функцию u(x, y) поменять на ее производную по x и получившиеся таким образом формулы сложить, то придем к такой формуле:

u v

v udxdy

dxdy v

x dy

y dx , (1.6)

x x

y y

где

–двумерный оператор Лапласа.

В последнем равенстве (1.6) мы можем поменять роли букв u и v . Тогда

u v

u vdxdy

dxdy u

y dx . (1.7)

x x

y y

Наконец, вычитая из (1.6) (1.7), получим такую важную формулу, тоже известную, как формула Грина:


		v u u v dxdy
	D						(1.8)
	u	u		v		v	(1.8)
	u	u		v		v
v	x dy	y dx	u		dy	y dx .
v	x dy	y dx	u	x	dy	y dx .
L			L

Эту формулу можно записать без привязки к прямоугольной системе координат, если использовать понятие производной по внешней нормали.

Введем для номинальных векторов плоской кривой (рис. 1.1) следующие обозначения:

– единичный вектор касательной к данной кривой;

n – единичный вектор внешней нормали к данной кривой; dl dxi dyj – вектор элемента дуги плоской кривой;

dx2 dy2

– величина элемента дуги плоской

кривой;

– единичный вектор, перпендикулярный к пло-

скости данной кривой, то есть к плоскости рисунка.

Рис. 1.1

Вэтих обозначениях имеем

dl dx i dy j ;

dl dl dl

n k dy i dx j. dl dl

Производная функции u = u(x, y) по направлению внешней нормали записывается так:

u u dy u dx .n x dl y dl

Поэтому
u dy	u dx		u	dl ,
u dy	u dx			dl ,
x	y	n

и, соответственно, формула Грина (1.8) может быть представлена в такой инвариантной форме

v u u v ds

dl.

(1.9)

1.2. Двумерные преобразования Фурье

Пусть в некоторой односвязной плоской области D с границей L задана функция двух переменных f(x, y). Прямым преобразованием Фурье этой функции называется двойной интеграл:

F 1, 2		1	e i 1x i 2yf x,y dxdy .	(1.10)
		2
	2 D
Функция F 1, 2		от двух параметров 1, 2 называет-
ся спектральной характеристикой функции f x,y				(или, ее
спектральной плотностью), а сами параметры 1, 2				называ-

ются пространственными частотами. По спектральной характеристике исходная функция восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье:


f	x,y	ei 1x i 2y F	,	d d		2	.	(1.11)
			1	2	1	2	.	(1.11)

С помощью преобразования Фурье можно решать многие
краевые задачи для уравнений в частных производных.
Выразим спектральные характеристики							производных

функции f(x, y) через спектральную характеристику самой этой функции и ее граничные значения. Имеем

Fx1 1, 2	1		e i 1x i 2y	f		dxdy ;
	2
	2		D	x
Fy1 1, 2		1	e i 1x i 2y	f	dxdy.
		2
		2	D	y

Применяя к этим интегралам формулы (1.4), (1.5), получим

Fx1 1, 2 i 1F 1, 2	1	e i 1x i 2yfdy;	(1.12)
Fx1 1, 2 i 1F 1, 2	2	e i 1x i 2yfdy;	(1.12)
	2	L
Fy1 1, 2 i 2F 1, 2	1	e i 1x i 2yfdx.	(1.13)
Fy1 1, 2 i 2F 1, 2	2	e i 1x i 2yfdx.	(1.13)
	2	L

Для спектральных характеристик вторых производных

2		1, 2		1		e		i x i y 2f
Fxx								1	2					dxdy;
Fxx				2				1	2		x	2		dxdy;
				2		D					x
2		1, 2		1		e		i x i y 2f
Fyy								1	2				dxdy;
Fyy				2				1	2		y	2	dxdy;
				2		D					y
2	1, 2			1	e		i x i y				2f
Fxy								1	2						dxdy,
Fxy				2				1	2						dxdy,
			2			D				x y

аналогично, по формулам (1.4), (1.5) (или по уже написанным формулам (1.12), (1.13)), получаются такие выражения:

Fxx2 1, 2 12F 1, 2


			1					e				i x i y						f
													1	2	i 1f							dy;
						2							1	2	i 1f			x				dy;
				2					L
				Fyy2 1, 2 22F 1, 2
			1				e				i x i y					f
													1	2	i 2f					dx;
				2									1	2	i 2f	y				dx;
		2					L
		Fxy2 1, 2 1 2F 1 2
	1				e				i x i y									f
											1		2	i 2fdy							dx
				2							1		2	i 2fdy			x				dx
2						L
							1 2F 1, 2
			1			e				i x i				y					f
												1	2	i 1fdx									dy .
			2									1	2	i 1fdx					y				dy .
	2					L

(1.14)

(1.15)

(1.16)

Сумма преобразований (1.14), (1.15) даст преобразование от двумерного оператора Лапласа:

e i 1x i 2y fdxdy 12

22 F 1 2

(1.17)

i x i y

1 2

i 1f

dy i 2f

dx .

Если функция f(x, y) удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. если

f 2f 2f 0,x2 y2

то ее спектральная плотность определяется через ее граничные значения так:

F 1, 2		1				1	e		i x i y
									1		2
		2			2	2
		2		1		2	L					(1.18)
	f							f

i 2f			dx i 1f							dy .

	y							x

Обращение этой спектральной характеристики дает решение уравнения Лапласа через его граничные значения. А именно:

f x,y ei 1x i 2y F 1, 2 d 1d 2

ei 1x i 2y

x i

i 2f

dx i 2f

dy d 1d 2.

Изменяя здесь порядок интегрирования и вычисляя внутренние интегралы, получим

		f		f
f x,y	G x x ,y y		dy		dx
f x,y	G x x ,y y	x	dy	y	dx
L

f x ,y Gx x x ,y y dy Gy x x ,y y dx .

Здесь использованы обозначения:

G ,		1					e	i 1 i 2					1			ln 2 2 ;
										d 1d 2
				2				2	2
			2				1		2				4
G		1				i ei 1 i 2									1
						1					d 1d 2								;
		2				2			2								2	2
		2					1		2					2
G		1			i ei 1 i 2										1
					2							d 1d 2								.
		2			2				2								2	2
	2						1		2					2

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]