Математика. Двумерное преобразование Фурье и его приложения. Учебное пособие

R

Ru R Jn R Ru R Jn R 2 u( )Jn d .

0

Покажем теперь, как работает преобразование Фурье– Бесселя при решении граничной задачи для уравнения Лапласа в случае круговой области.

Записываем уравнения Лапласа в полярной системе координат:

21

По угловой координате решение представляем в виде ряда Фурье:

n

Дифференцируя этот ряд почленно, записываем выражения производных:

Вносим эти ряды в уравнение Лапласа и получаем уравнение для неизвестных коэффициентов Фурье:

Применяем к левой части этого уравнения преобразование (1.60). Получаем уравнение

22

По формуле обращения

23

ГЛАВА 2

2.1. Гармонические функции

Функции, удовлетворяющие в плоской области двумерному уравнению Лапласа, называются гармоническими в этой области. Нетрудно доказать следующую теорему.

Теорема. Для того, чтобы дважды дифференцируемая функция u(x, y) удовлетворяла уравнению Лапласа (т.е. была бы гармонической) необходимо и достаточно, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой другой функции v x,y , тоже дважды дифференцируемой, и тоже удовлетворяющей уравнению Лапласа. Действительно:

1) пусть u(x, y) – решение уравнения Лапласа:

u 2u 2u 0, (2.2)x2 y2

а это и есть условие полного дифференциала выражения (2.1);

24

известных, как условия Коши–Римана. Дифференцирование равенств (2.3) дает

Откуда и следует, что функция u x,y удовлетворяет уравнению Лапласа (2.2).

Функции, связанные условиями Коши–Римана и, соответственно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются сопряженными друг другу.

Гармонические сопряженные функции можно связать и системой интегральных уравнений.

Пусть u = u(x, y), v x,y , f = f(x, y) – дважды дифференцируемые функции.

Переписывает формулу Грина (1.8) дважды, так

Полагаем в этих формулах u(x, y), v x,y – гармоническими и сопряженными друг другу, т.е.

u = 0, v 0;

25

Заметим, что вместе с сопряженными функциями u и v, очевидно будут сопряженными и их частные производные

26

Но с учетом условий Коши–Римана (2.3) скобки в правых частях этих равенств есть полные дифференциалы. А именно:

Системы (2.11), (2.12) и (2.13), (2.14), по сути дела, означают одно и тоже, только система (2.13), (2.14) записана в более компактной форме.

Как уже отмечалось, в этих системах f(x, y) – любая

27

Левые части формул (2.19), (2.20) – двумерные интегра-

Во внутренних интегралах штрихами помечены точки и дифференциалы, лежащие на контуре L.

Изменяя порядок интегрирования, представляем уравнения (2.21), (2.22) в виде

28

Положим

G , 41 ln 2 2 ,

Очевидно, что функция G( , ) тоже гармоническая, то есть тоже удовлетворяющая уравнению Лапласа.

Внося равенства (2.27), (2.28) в уравнения (2.23), (2.24),

и в уравнениях (2.29), (2.30) можно вместо функции G(x–x , y–y ) записать функцию (x–x , y–y ).

29

2.2. Интегральные уравнения для граничных значений гармонических

функций

Пусть D – односвязная область на комплексной плоскости, ограниченная замкнутым контуром L. Пусть z = x + iy – внутренняя точка области D, а = + i и = + i – точки, принадлежащие граничному контуру L (рис. 2.1).

z

тогда

Имеет место формула Коши:

30