Математика. Двумерное преобразование Фурье и его приложения. Учебное пособие

Переходим к полярным координатам. Для точек окружности имеем

Внося эти значения в уравнения (2.48), (2.49), после надлежащих алгебраических преобразований, приходим к такой паре преобразований Гилберта на окружности:

41

ГЛАВА 3

3.1. Е- и H-волны в слоисто-неоднородной среде

Рассмотрим двумерные преобразования Фурье, сводящие систему уравнений Максвелла в произвольной слоистонеоднородной среде к двум независимым системам обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение E- и H-волн.

Пусть электромагнитные параметры среды произвольным образом изменяются вдоль некоторого фиксированного направления, задаваемого осью z прямоугольной системы координат. В плоскостях, перпендикулярных к этому направлению, среда неограниченна и однородна.

Рассмотрим комплексную форму системы уравнений Максвелла для монохроматических колебаний:

По поперечным координатам х, y векторы напряженности электрического и магнитного полей представим в виде двумерных интегралов Фурье:

Подставляя данные разложения в систему уравнений Максвелла (3.1) и приравнивая векторы спектральных плотностей в левых и правых частях равенств, получаем для них следующую векторную форму системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

42

где i , j , k – единичные базисные векторы прямоугольной системы координат, а 1 i 2 j .

Введем новую правую тройку базисных векторов с помощью равенств

e1 , e2 k , e3 k

и разложим векторы E и H по этому базису:

к их компонентам в исходном базисе i , j , k осуществляется по формулам:

Проектируем уравнения системы (3.3) на векторы е1 , е2 , е3 . При этом наша система распадается на две независимые системы из трех уравнений:

43

Электромагнитное поле, представляющее собой результат решения системы (3.4), называется E-волной, что подчеркивает наличие в нем продольной компоненты электрического поля ( E3 = Ez 0) и отсутствие таковой компоненты в магнитном поле ( H3 = Hz = 0). Соответственно, поле, описываемое системой уравнений (3.5), называется H-волной, так как в ней Ez = 0, Hz 0.

Поскольку продольные составляющие E3 и H3 не дифференцируются, их удобно исключить из рассматриваемых уравнений. В результате получаются системы из двух уравнений, по форме полностью совпадающие с соответствующими системами для плоских волн. А именно, для E-волны

44

Здесь были использованы такие обозначения:

Внося спектральные плотности, отвечающие уравнениям (3.6), (3.7), в интегралы Фурье (3.2), получим следующие представления векторов электромагнитных полей, физически существующих независимо друг от друга E- и H-волн.

Поле E-волны

вые числа 1, 2 входят только в определение базисных век-

торов e1 и e2 . Поэтому в полярной системе координат интегрирование по углу может быть произведено в явном виде. Введем на плоскости волновых чисел 1, 2 и на плоскости физических переменных х, y полярные системы координат по формулам:

45

Тогда

e1 cos i sin j; e2 sin i cos j ,

и, внося полярные координаты в интегралы (3.8), (3.9), приводим их к виду

посредством которых, как нетрудно показать, введенные векторы T и N выражаются так:

Таким образом, поля независимых E- и H-волн в слоистонеоднородной среде представляются однократными интегралами типа Фурье–Бесселя.

46

Поле E-волны:

Eэ 2 i E1 ( ,z)J1 ( ) d e 2 E3 ( ,z)J0 ( ) d k;

47

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука,1965.

2.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа. 1970.

3.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука, 1973.

4.Треногин В.А., Недосекина И.С. Методы математической физики. М.: Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2012.

5.Цапенко Н.Е. Аналитические функции и интегральные преобразования. М.: Физматлит, 2012.

6.Цапенко Н.Е. Интеграл Фурье и его приложения. М.: Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2021.

48