Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Двумерное преобразование Фурье и его приложения. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2026

Размер:

474 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

выражающая значения аналитической функции в области через ее значения на границе этой области.

Также имеет место тождественное преобразование граничных значений аналитической функции, выражаемое посредствам интеграла в смысле главного значения. А именно:

f	1	L	f	d .	(2.40)


	i

Если этот интеграл подставить в формулу Коши (2.39) и затем поменять местами порядок интегрирования, то должно получится тождество.

Проверим это утверждение.

f z

2 i

2 i i

(2.41)

d .

2 i

Вычисляем внутренний интеграл. С учетом тождества

z z

имеем

2 i

1 1

2 i

Вносим это значение в равенство (2.41), которое дает

f z

d .

2 i

Итак, получили исходную формулу Коши, и тем самым убедились в правомочности подстановки интеграла в смысле главного значения (2.40) в формулу Коши (2.39).

Вещественная и мнимая части аналитической функции, как известно, представляют собой пару сопряженных гармонических функций. Отделением вещественной и мнимой частей в формуле Коши (2.39) мы получим выражения значения этих функций внутри областей через их значения на ее границе. Отделяя же вещественные и мнимые части в интеграле (2.40), мы получим пару интегральных уравнений, связывающих между собой граничные значения гармонических функций. Выполним эти процедуры.

Полагаем:

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

(2.42)

–функция аналитическая в области D и непрерывная

вD D L;

f u , iv ,

(2.43)

– значения этой функции на ограничивающем область D контуре L.

Дифференциал

1	d	,	(2.44)

2 i z

в формуле Коши (2.39), разделяется на вещественную и мнимую части так:

	1	d	g2 x, y d
			g2 x, y d
	2 i z			(2.45)
		g1 x, y d		(2.45)
		g1 x, y d
i g1 x, y d g2 x, y d ,

где функции g1, g2, очевидно, те же, что и в п. 2.1, то есть, определяемые формулами (2.25), (2.26).

Внося дифференциал (2.45) в формулу Коши (2.39) и приравнивая в ней отдельно вещественную и мнимую части, получим

		2			u x, y						(2.46)
		2				1					(2.46)
		g	x, y	u	,	g	x, y	v	,	d
	L
g1 x, y u , g2 x, y v , d ;
		1			v x,y
		1				2
		g	x, y	u	,	g	x, y	v	,	d	(2.47)

g2 x, y u , g1 x, y v , d .

Аналогичные действия с формулой (2.40), очевидно, приведут к следующей системе интегральных уравнений:

u ,

2 g2 , u , g1 , v , d

g1 , u , g2 , v , d ;

2 g1 , u , g2 , v , d

g2 , u , g1 , v , d .

(2.48)

(2.49)

2.3.Решение уравнений (2.48), (2.49)

вслучае бесконечной полосы

Для бесконечной полосы (см. рис. 1.2) уравнения (2.48), (2.49) записываются так:

															2																							1
															2																							1
u		,0			2									g				,0								u			,0					g							,0									v			,0					d
																																																										(2.50)
																																																										(2.50)
										2																							1
										2																							1
		2						g								,a					u				,a						g								,a					v					,a							d ;

																											u ,a
									2																									1
									2																									1
		2					g						, a									u				,0						g					, a									v					,0							d
																																																										(2.51)
												2																						1
												2																						1
			2							g					,0								u			,a						g						,0							v					,a						d ;

														1																						2
														1			,0											,0								2				,0												,0
v	,0			2							g						,0								u			,0					g							,0									v			,0						d
																																																										(2.52)
																																																										(2.52)
									1																								1
									1																								1
		2				g							,a							u				,a						g					,a								v				,a							d ;

																										v ,a

	2				g						, a									u				,0						g					, a										v					,0							d
							1																										2																									(2.53)

										1																							2
										1																							2
		2				g								,0						u				,a							g								,0					v				,a							d .

	Здесь
																			g1					,0														1 1							;

																																						2
																																						2
																									g2 ,0 0;
							g1				,a g1 , a																															1																	;
							g1				,a g1 , a																																																;
																																										2 2 a2

g2 ,a g2 , a

2 2

Вносим эти представления в формулы (2.50)–(2.53):

v ,0

,a d

(2.54)

,a u ,a d ';

2 g2

v ,a

d 2

,0 d

(2.55)

,a u ,0 d ';

2 g2

u ,0

v ,0

(2.56)

,a d

d ;

u ,a

v ,0

(2.57)

,a v ,0 d .

2 g1 ,a u ,0

2 g2

Заметим, что в результате взаимных замен функций:

u( , 0)

на v( , a) и u( , a) на v( , 0), происходит взаимная

замена уравнений: (2.54) на (2.57) и (2.55) на (2.56). Поэтому системы уравнений (2.54), (2.55) и (2.56), (2.57) тождественны, то есть они осуществляют одну и ту же связь четырех функций u( , 0), u( , a), v( ,0), v( , a).

Выразим из системы (2.54), (2.55) функции v( , 0), v( , a) через функции u( , 0), u( , a). Эту процедуру можно осуществить с помощью преобразования Фурье.

Интеграл вида

f v g d

называется корреляцией функций v( ) и g( ). Пусть F( ), V( ), G( ) – Фурье-образы, соответственно, функций f( ), v( ), g( ). Тогда

e i f

e i

e i g

e i d

ei tdt 2 V

В соответствии с этим правилом заменяем уравнения системы (2.54), (2.55) их Фурье-образами. Имеем

i t

U ,0 2V ,0

dt 4 V ,a G1* ,a

(2.58)

4 U ,a G2* ,a ;

i t

U ,a 2V ,a

dt 4 V ,0 G1* ,a

(2.59)

4 U ,0 G2* ,a .

Здесь
	1	ei t		i			1	0,
	1	ei t		i		i
			dt		sign		0	0,	(2.60)
	2	t	dt	2	sign	2	0	0,	(2.60)
								0;
							1	0;

G1* ,a

tsign t

ei tdt

4 2

t2 a2

2 2

t2 a2

e a

sign ;

G2* ,a

cos t

ei tdt

4 2

t2 a2

2 2

t2 a2

e a

(a 0).

Вносим эти значения в систему (2.58), (2.59):

U ,0 isign V ,0 ie a sign V ,a e a U ,a ; U ,a isign V ,a ie a sign V ,0 e a U ,0 .

Вычитая и складывая эти уравнения, получим

U ,0 U ,a

isign V ,0 V ,a (1 e a ) U ,0 U ,a e a ,

U ,0 U ,a

isign V ,0 V ,a (1 e a ) U ,0 U ,a e a .

Откуда,

V ,0 V ,a isign 1 e a U ,0 U ,a ,

1 e a

V ,0 V ,a isign

1 e

U ,0 U ,a .

1 e

Применяем к этим равенства обратные интегралы Фурье:

i ei sign

1 e

U ,0 U ,a d

1 e

1 e a

sign

d d

e a

i '

1 e a

sign

d d

2 i

1 e a

sin

1 e a

d d .

Аналогично, для разности:

v ,0 v ,a

ei V ,0

V ,a d

,0 u ,a

1 e

sin d

d .

1 e a

Обозначим

1 e a

h1 s

sin sd ,

(2.61)

1 e a

h2 s

sin sd .

(2.62)

1 e a

Теперь

v ,0 v ,a 1 u ,0 u ,a h1 d ,

v ,0 v ,a 1 u ,0 u ,a 2 d .

Отсюда

v ,0 1 u ,0 h1 h2 d

1 u ,a h1 h2 d ;

v ,a 1 u ,0 h1 h2 d

1 u ,a h1 h2 d .

(2.63)

(2.64)

Функции h1(s) и h2(s), даваемые формулами (2.61), (2.62), можно вычислить в явном виде. Запишем тождества

1 e a	1 e a

1 e a	1	e a

1 e a	1 e a

1 e a	1	e a

2ctha ;

2 1 . sha

Отсюда

1	e a		1 e a
h1 s h2 s					sin sd
h1 s h2 s	e	a	1 e	a	sin sd
0 1	e		1 e
						s
						s
2 ctha sin sd a cth							;
2 ctha sin sd a cth						2a	;
0

h1 s h2 s

1 e a

sin sd

1 e

sin sd a th

sha

Вносим эти функции в формулы (2.63), (2.64). Имеем

,0 cth

(2.65)

,a th

d ;

,0 th

(2.66)

,a cth

d .

2.4.Решение уравнений (2.48), (2.49)

вкруговой области

Рассмотрим систему уравнений (2.48), (2.49), с ограничивающим контуром L в виде окружности радиуса R (рис. 2.2).

L x

Рис. 2.2 40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]