Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Двумерное преобразование Фурье и его приложения. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2026

Размер:

474 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Далее представим полученные формулы спектральных плотностей для некоторых простых стандартных плоских областей.

1.3. Функция, заданная в бесконечной полосе

Пусть функция f(x, y) определена в бесконечной плоской полосе шириной a (рис. 1.2).

	y
L	a
	D
	x
	0

Рис. 1.2

Вданном случае контур L состоит из двух прямых x = 0

иx = a, соединенных бесконечно удаленными отрезками, на которых сама функция f(x, y) уже обращается в нуль.

Пара преобразований Фурье (1.10), (1.11) принимает вид

1, 2 1 2 x,y dxdy; (1.19)

2 0 e i 1x i 2yfF


f x,y e i 1x i 2y F 1, 2	d 1d 2.	(1.20)

Выражения спектральных плотностей производных записываются так:

Fx1 1, 2	1	a	f
		e i 1x i 2y		dxdy
	2				(1.21)
	2	0	x

i 1F 1, 2 ;

1		1, 2												1					a				i x i y f												i 2F 1, 2
1														1					e				i x i y f
Fy																								1 2						dxdy
Fy														2										1 2						dxdy
												2							0									y													(1.22)
																																									(1.22)

								1								e i 1x f x,0 e i 2af x,a dx;
												2				e i 1x f x,0 e i 2af x,a dx;
					2
2													1						a			i x i y					2f
2													1									i x i y					2f												2
Fxx	1, 2																		e				1		2							dxdy 1 F 1 2 ; (1.23)
Fxx	1, 2													2					e				1		2		x		2			dxdy 1 F 1 2 ; (1.23)
											2							0									x
				2				1 2												1			a		i x i y 2f
				2																1			e		i x i y 2f
			Fyy																							1					2					dxdy
			Fyy																	2						1					2		y		2	dxdy
																		2					0										y
																	i 2
22F 1, 2																	i 2				e i 1x f x,0 e i 2af x,a dx
22F 1, 2														2							e i 1x f x,0 e i 2af x,a dx
															2																										(1.24)
																							x,0 e i 2afy x,a dx.
				1						e i 1x fy
								2		e i 1x fy
				2
					2				1						2					1				a											2f
					2															1				e		i x i y									2f
				Fxy																						1					2							dxdy
				Fxy																			2			1					2							dxdy
																					2			0										x y
																				1 2F 1, 2																					(1.25)
																										e i 2afx x,a dx;
									1								e i 1x fx x,0
												2					e i 1x fx x,0
						2
				1				a																							1								1
				1									e i 1x i 2y fdxdy																						2					2
				2																															2					2
			2					0																								2 2					F		,
			2					0
								i 2															f x,0 e i 2af x,a dx
								i 2									e i 1x																								(1.26)
													2				e i 1x																								(1.26)
							2
																										e i 2afy x,a dx.
									1							e i 1x fy x,0
												2				e i 1x fy x,0
						2

Если f = 0, то

										F 1, 2
						i
	1					i		2		e i 1x f x,0 e i 2af x,a dx
	1							2
		2				2			2
	2				1		2				(1.27)
											e i 2afy x,a dx.
	1					1			e i 1x fy x,0
	2			2				2	e i 1x fy x,0
2			1			2

1.4.Функция, заданная

вбесконечном квадрате

Пусть функция f(x, y) определена в первом квадранте декартовой системы координат на плоскости (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Замкнутый контур начинается в начале координат, по оси абсцисс уходит в бесконечность, по бесконечной дуге переходит на ось ординат и по ней из бесконечности возвращается в начало координат.

Пара преобразований Фурье (1.10), (1.11) для данной плоской области (первого квадранта) записывается так:

	1
F 1, 2	1	e i 1x i 2yf x,y dxdy;	(1.28)
F 1, 2	2	e i 1x i 2yf x,y dxdy;	(1.28)
	2	0 0

f x,y e i 1x i 2y F 1, 2 ei 1x i 2yd 1d 2.			(1.29)

Записываем спектральные плотности производных:

1																1															f
Fx	1,						2														e i 1x i 2y														dxdy
Fx	1,						2											2			e i 1x i 2y														dxdy
															2					0 0										x
i						F														1			f				0,y e i 2ydy;
i						F							2							2			f				0,y e i 2ydy;
				1					1				2							2
																				2			0
1																1														f
Fy	1,						2														e i 1x i 2y														dxdy
Fy	1,						2											2			e i 1x i 2y														dxdy
															2					0 0										y
i						F														1			f				x,0 e i 1xdx;
i				2		F							2							2			f				x,0 e i 1xdx;
				2					1				2							2
																		2					0
2		1 2													1							i x i y 2f
Fxx																				e			1				2								dxdy
Fxx																	2			e			1				2		x				2		dxdy
												2								0 0									x
			1						1					2						2
			1						1					2						2
			2		F			,												i 1				e		i 2y		f				0,y dy
					F			,											2				0	e				f				0,y dy
																			2				0
											1						e i 2yf									0,y dy;
																	e i 2yf									0,y dy;
														2									x
										2							0
2		1 2													1							i x i y 2f
Fyy																				e			1				2							dxdy
Fyy																	2			e			1				2		y				2	dxdy
												2								0 0									y
			2						1					2						2
			2						1					2						2
			2		F			,												i 2				e		i 1x		f x,0 dx
					F			,											2				0	e				f x,0 dx
																			2				0
									1								e i 1xf								x,0 dx;
																	e i 1xf								x,0 dx;
														2									y
									2								0

(1.30)

(1.31)

(1.32)

(1.33)

			2			1, 2								1									i x i y							2f
		Fxy															e								1		2						dxdy
		Fxy														2	e								1		2		x y				dxdy
													2				0 0												x y
						1		2			1				2
						1		2			1				2								2
									F			,							i 1								e i 1xf					x,0 dx
									F			,						2							0		e i 1xf					x,0 dx
																		2							0
											2
											2
									i 2					e i 2yf						0,y						dy f					0,0 ;
								2				0		e i 2yf						0,y						dy f					0,0 ;
								2				0

		1		e i 1x i 2y fdxdy 12 22 F 1 2
			2	e i 1x i 2y fdxdy 12 22 F 1 2
	2				0 0
		i 1																						1
		i 1					e i 2yf					0, y dy												1				e i 2yfx 0, y dy
					2		e i 2yf					0, y dy														2		e i 2yfx 0, y dy
		2				0															2						0
		i 2																						1
		i 2					e i 1xf x,0 dx																	1				e i 1xfy x,0 dx.
					2		e i 1xf x,0 dx																			2		e i 1xfy x,0 dx.
		2				0																2					0
Если f = 0, то
															F 1, 2
			1							1																x,0 fy x,0 )dx
			1							1			( e i 1x (i 2f
						2		2			2		( e i 1x (i 2f
			2 1							2				0

e i 2y (i 1f 0,y fx 0,y )dy).

(1.34)

(1.35)

(1.36)

1.5. Круговая область. Преобразование Фурье–Бесселя

Пусть область D – окружность радиуса R, а функция f(x, y), заданная в ней, зависит только от полярного радиуса x2 y2 .

Переходим в интеграле Фурье (1.10) к полярным координатам:

						x = cos , y = sin , dxdy = d d ;																							(1.37)
		F						2				1				e i 1 cos i 2 sin f									d d
		F												2		e i 1 cos i 2 sin f									d d
					1									2
												2			D														(1.38)
								1			R						2												(1.38)
								1			R	f		d			2		e	i 1 cos 2 sin						d			.
										2		f		d					e							d			.
							2		0
									0								0
В пространстве частот 1, 2 тоже вводим полярные ко-
ординаты:
												1 = cos , 2 = sin .																	(1.39)
Теперь внутренний интеграл в (1.38) записывается так:
				2																2
				e i cos cos sin sin d e i cos d
				0																0

		e i cos d										2		cos		cos d 2i							sin				cos d ;

													0									0
													/2
	sin		cos d												sin			cos d						sin				cos d .

0														0							/2

Здесь с помощью замены = – нетрудно увидеть, что второй интеграл равен первому с обратным знаком. Поэтому

sin cos d 0,

2	e i cos d 2				0
					0
			cos	cos d 2 J		, (1.40)
0		0

где J0 – функция Бесселя нулевого порядка.

Вносим (1.40) в интеграл (1.38):

F 1, 2 F 1 f J0 d . (1.41)

Теперь преобразуем обращение двумерного интеграла Фурье (1.11):

f x,y f ei 1x i 2yF 1 2 d 1d 2


e i cos F d d
						(1.42)
				2		(1.42)
				2	e i cos d

		F	d
		F	d
	0			0

2 F J0 d .

Таким образом, мы пришли к паре интегральных преобразований (1.41), (1.42), известных как преобразования Фу- рье–Бесселя. Выпишем их еще раз без постоянных множителей (что, очевидно, допустимо):

R
F f J0	d ,	(1.43)
0

f F J0	d .	(1.44)
0

Функция u J0 x есть одно из решений уравнения Бесселя нулевого порядка:

	d2u		1	du	u 0.	(1.45)

	dx2 x dx
Подстановкой
		u		1	v	(1.46)

				x

это уравнение приводится к канонической форме:

d2v			1	1
		1				v 0.	(1.47)
dx	2		4	x	2

С помощью преобразования Фурье–Бесселя можно решать граничные задачи для некоторых неоднородных уравнений. Покажем на примере решение такой задачи.

Пусть дано уравнение

d2u		1 du				u	f x ,	(1.48)
dx2		x		dx		a2

с заданной на отрезке x [0, R] правой частью и условиями

на конце отрезка u(R) = u0, u (R) = u1.

Умножаем

обе

части уравнения (1.48)

на

функцию

J0 x x и интегрируем его по отрезку [0, R]:

R d2u

1 du

J0 x xdx f(x)J0 x xdx. (1.49)

x dx

0 dx

Первые два слагаемых в левой части можно проинтегри-

ровать по частям:

d2u

1 du

J0 x xdx

x dx

d2u

x dx J0 x

d x

Ru1J0 R Ru0 J0 R u(x)(J0 x x J0 x )d x.

Здесь сохранены обозначения u(R) = u0, u (R) = u1.

Так как функция Бесселя J0 x удовлетворяет уравнению (1.45), то

xJ0 x J0 x xJ0 x ,

(1.50)

и поэтому

d2u

1 du

xdx

x dx

(1.51)

Ru1J0 R Ru0 J0 R 2 u(x)J0 x xdx.

Обозначим

x J0 x xdx,

и вносим (1.51) в уравнение (1.49):

Ru1J0 R Ru0 J0 R 2U

U F . (1.52)

Отсюда

Ru J

F( ) .

1 0

0 0

Искомое решение дается формулой обращения (1.44).

А именно:

u x

J0 x d

a2Ru1

(1.53)

0 1 a

J0 R

x d ,

Ru0

d a

1 a

J0 x J1 x функция Бесселя первого порядка.

Из пары двумерных преобразований Фурье мы вывели пару одномерных преобразований (1.43), (1.44) Фурье–Бес- селя, в которых в качестве ядра преобразования участвует функция Бесселя нулевого порядка. Аналогичная пара преобразований имеет место с ядром в виде функции Бесселя n-го порядка. А именно:

R
F f Jn d ;	(1.54)
0

f F Jn d .	(1.55)
0

Функция Бесселя Jn x удовлетворяет уравнению Бесселя n-го порядка:

d2u

1 du

u 0.

x dx

Если x , то

Jn 0,

(1.56)

где штрих означает дифференцирование по аргументу функции Бесселя, то есть по x .

Найдем преобразование Фурье–Бесселя от дифференциального выражения

d2u

d 2

Имеем

d2u

1 du

d ;

(1.57)

(1.58)

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]