Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

8x2 5ln6

xdx 8xdx 5ln6 xdx

8x

2

5 ln6 xdx

x

x

2

x

ln x t

4x2 5 t6dt 4x2

5 t7

c 4x2

5 ln7

x c.

1

x dx dt

7

7

2x 5 t

6t dt

1 6t dtх 1

6t

62x 5 c.

62 x 5 dx

2dx dt

c

dx 1 dt

2

2

2 ln 6

2ln 6

2

Пример 1.22. Вычислитьнеопределенный интеграл

tg(x 3)

dx.

sin

2

(x 3)

Решение

1

1

Заметим, что производная (ctg x)

, а

tg x

. Тогда

sin2 x

ctg x

dx

1

d (ctg(x 3)) .

Внесем функцию

g(x)

под

sin2 (x 3)

sin2 (x 3)

знак дифференциала:

tg(x 3)

tg(x

dx

tg(x 3) d ctg x 3

dx

3)

sin2 (x 3)

sin2 (x 3)

d ctg x 3

ctg(x

3) t

dt

ln

t

c ln

ctg(x 3)

c.

ctg(x 3)

t

5 4 x2

5 4x2 t

t

1

1

1 t

1 5 4 x2

t

e

xdx

8xdx dt

e

8

8

e dt

8

e

с

8

e

с.

dt

xdx 1 dt

8

Пример

1.24.

Вычислить

неопределенный

интеграл

6x 5 6x 2 dx.

Решение

5 6x

2 5 6x ln 6 ,

Так

как

то

можно

сделать

замену

5 6x 2 t :

5 6x

2 t

1

dt

1

6x

5 6x

2dx

5 6x ln 6dx dt

t

tdt

5

ln 6

5ln 6

6x dx

dt

5ln 6

Пример 1.25. Вычислить неопределенный интеграл

4x 5arctgxdx.

1 x2

4x 5arctg x

dx 4

x

dx 5

arctg x

dx.

1

x

2

1 x

2

1 x

2

В первом интеграле сделаем замену 1 x2

t . Тогда

x

x2 1 t

1 dt

1 ln | t |

1 ln

dx

2xdx dt

x2 1

с.

2

1

x

xdx

1 dt

2

t

2

2

2

Во втором интеграле сделаем замену arctg x = t. Тогда

arctg x

atctg x t

tdt

t2

arctg2 x

1 x2 dx

dx

dt

2

с

2

с.

1 x2

Следовательно,

4

x

dx 5 arctg2xdx 2ln

x2 1

5 arctg2 x c.

2

1 x

1 x

2

Пример

1.26.

Вычислить

неопределенный

интеграл

sin(log6 (5x))

dx.

x

Решение

1

1

Заметим,

что

производная

(log6

5

. Значит,

(5x))

5xln 6

xln 6

можем сделать замену t log6 (5x) :

log6 (5x) t

sin(log6

(5x))

dx

1

dx

dt

ln 6 sin tdt

x

x ln 6

dx

ln 6 dt

x

x5dx

1

d (x6 9)

x6 9 t;

1

dt 1

t

c

1

x

6

c.

x6 9

t 6 ln

6 ln

9

x6 9

6

d (x6 9) dt

6

Пример 1.28. Вычислить неопределенный интеграл

1 x2 dx .

1 x2 dx

1 sin2 u cosu du cos2 u du

1 cos 2u

du

cos 2u d(2u)

2

1

du

1

cos 2udu

1 u

1

1 u

1 sin 2u c.

2

2

2

2

2

2

4

sin 2u 2sin u cosu 2sin u

1 sin2 u 2x 1 x2 .

Следовательно,

1 x2 dx

1 arcsin x

x

1 x2

c.

2

2

Пример

1.29.

Вычислить

неопределенный

интеграл

udv u v vdu .

Тогда

(x 3)cos 2xdx

u x 3;

du dx

1

dv cos 2xdx;

v

2 sin 2x

1

(x 3)sin 2x

1

sin 2xdx

1

(x 3)sin 2x

1

1

c

2

2

2

2

2

cos 2x

1

(x 3)sin 2x

1 cos 2x c.

2

4

u ln x;

du

dx

x2

x2

dx

x ln x dx

x

ln x

x

2

dv xdx; v xdx

2

2

x

2

x2

ln x

1

xdx

x2

ln x

x2

c .

2

2

2

4

Пример 1.31. Вычислить неопределенный интеграл

x cos xdx

.

sin

3

x

Решение

Интегрируем по частям:

x cos xdx

u

x;

du dx;

dv

cos x

dx

sin3 x

sin

3

x

v

cos xdx

d sin x

1

sin

3

x

sin

3

x

2sin

2

x

x

1

dx

x

1 ctg x c.

2sin

2

x

2

2

x

2

x

sin

2sin

2

1

arctg xdx

u arctg x; du

dx

x2 1

dv dx;

v x

x arctg x

xdx

x × arctg x

1

d (x2 1)

x arctg x

1

dt

x

2

1

2

x

2

1

2

t

x arctg x 1 ln

t

c x arctg x

1 ln

x2 1

c .

2

2

x3

arcsin x

1

x3dx

x3

arcsin x

1

x2 (2x)dx

3

2

6

2

3

1 x

3

1 x

x3

arcsin x

1

x2d (1 x

2 )

t 1 x2

x3

arcsin x

2

3

6

1 x

3

1 (1 t)dt

x3

arcsin x

1

dt

1

tdt

x3

arcsin x

6

6

6

t

3

t

3

1

t

t3

x3

arcsin x

1

1 x

2

1

(1 x

2

)

3

c.

3

9

3

3

9

Пример

1.34.

Вычислить

неопределенный

интеграл

(3x 4)e 6 x dx .

Решение

Интегрируем по частям:

(3x 4)e 6 x dx

u 3x 4;

dv e 6 x dx

du 3dx;

v e

6 x

dx

e 6 x

6

= (3x 4)

e

6 x

e

6 x

(3dx)

(3x 4) e 6 x

1

e 6 x dx

6

6

6

2

= (3x 4) e 6 x

1

e 6 x

c (3x 4) e 6 x e 6 x

c .

6

2

6

6

12

Пример

1.35.

Вычислить

неопределенный

интеграл

(2x2

5x 1)sin 4xdx

u 2x2

5x 1;

dv sin 4xdx

du (4x 5)dx;

v sin 4xdx

cos 4x

4

2x

2

5x 1

cos 4x

cos 4x

(4x 5)dx

4

4

2x2

5x 1cos 4x

1

(4x

5) cos 4xdx

4

4

4x 5 u;

dv cos 4xdx

4dx du;

v cos 4xdx

sin 4x

4

2x2

5x 1

cos 4x

1

5)

sin 4x

sin 4x

4

4

(4x

4

4

4dx

2x2

5x 1cos 4x

(4x 5) sin 4x

1

sin 4xdx