Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Тогда															5																	5
											5				5										5							5
								t				2	1		2			dt					t		2			1 ln		t 1
												2			2										2							2
l 2
l 2								2				2						2					2		2					t 1
												2	2		2	t									2			2		t 1		2
			2 t						1							t				1			t 1
	5														1							2 1					5 4


													5
							2				1 ln								1 ln										2
		2					2						2

		5			2								5									2 1
		5			2	1 2							5						2			2 1				2 1
		4 1													1
		4 1											2		1
	1 ln			5 2							1 ln			2 1			= 2				5 2			1 ln				5 2			1 ln		2 1	.

				5 2										2 1														5 2					2 1
	2			5 2							2			2 1										2				5 2			2		2 1
Пример								π	2.26.				π		Вычислить									длину						дуги			кривой
y 1 ln sin x,								π		x			π	.
y 1 ln sin x,								3		x			2	.
								3					2

Решение

Найдем производную:

y cossin xx .

Тогда

f ' x

π/2

cos x 2

π/2

sin2 x cos2 x

sin2

sin x

π/3

π/2

sin

| sin x |

sin x

π/3

ln1 ln

Пример 2.27. Вычислить длину дуги кривой

x 25(t sin t);

0 t

25(1 cos t),

Решение

Найдем производные от функций x = x(t) и y = y(t):

111

x'(t) 25(1 cost);y'(t) 25sin t.

Тогда

t2
t2									2		2					6				2							2				2			2
l									2		2	dt						25		2	(1	cost)					2	25			2	sin		2	tdt
l				y (t)						x (t)		dt						25			(1	cost)						25				sin			tdt
t1																0
		π																						π
256					1 2cost cos2 t sin2 tdt 256																				2 2costdt
	0																					0
						π											π												π
25				2 6				1 costdt 25						2 6				2sin2					t	dt 506						sin		t	dt
																							t									t
																																2
					0											0						2						0				2
	π														π
	6						t						t		π										π												π
	6														6
															6
50			sin					dt 50 2cos									100 cos									cos 0						100 1				cos		.
50			sin				2	dt 50 2cos					2				100 cos								12	cos 0						100 1				cos	12	.
							2						2		0										12												12
	0														0
Пример 2.28. Вычислить длину дуги кривой
				t	(cost sin t);								π						π
x e					(cost sin t);								π	t					π	.

													6					4
y et (cost sin t),													6					4

Решение

Найдем производные от функций x = x(t) и y = y(t):

x'(t) et (cost sint) et ( sin t cost) 2et cost;

y'(t) et (cost sin t) et ( sin t cost) 2et sin t.

Тогда

π/4

π/6

π/4

(2e

cost)

( 2e

sin t)

y (t)

x (t)

π/6

π/4

4e2t (cos2 t sin2 t)dt

2et dt 2et

2(e4

e6 ).

π/6

Пример 2.29. Вычислить длину дуги кривой r = 2e5φ/8, 0 φ π/6.

Решение

Найдем производную от функции r = r(φ): r (φ) 2 85 e5φ/8 54 e5φ/8.

112

Тогда

	β					2						2		π/6		2e	5φ/8		2			5	e		5φ/8 2
l (r(φ))								(r (φ))					dφ			2e						4	e			dφ
	α													0								4
	α													0
	π/6													π/6	64 25e5φ/8dφ											89	π/6
		4e5φ/4 25 e5φ/4 dφ																								89	e5φ/8dφ
		4e5φ/4 25 e5φ/4 dφ																								4	e5φ/8dφ
	0						16							0		16										4	0
	0													0													0
	89 8 π/6					5φ/8			5					2 89		5φ/8		π/6		2 89						5 π		0
	89 8 π/6					5φ/8			5					2 89		5φ/8		π/6		2 89						5 π		0
					e			d			φ				e									e8 6 e
					e			d			φ				e									e8 6 e
	4	5								8				5				0			5
	4	5		0						8				5							5
	2 89				5π
			e48			1 .
	5
	5

Пример 2.30. Вычислить длину дуги кривой r = 3(1 – sin φ),

−π/6 φ π/6.

Решение

Найдем производную от функции r = r(φ):

r (φ) 3( cos φ) .

Тогда

β						π/6	3(1 sin φ)	2	3cos φ	2
l	(r(φ))	2		2	dφ						dφ
			(r (φ))

απ/6

		π/6																							π/6
3				1 2sin φ sin2										φ cos2				φ dφ 3											2 2sin φ dφ
	π/6																							π/6
			π/6							π												π/6							2		π		φ
										π																			2		π		φ
3		2				1 cos					φ					dφ		3 2							2sin									dφ
3		2				1 cos				2	φ					dφ		3 2							2sin					4			2	dφ
			π/6							2											π/6									4			2
			π/6																		π/6
			π/6						π			φ						π/6					π				φ
			π/6						π			φ						π/6					π				φ
3		2				2	sin								dφ 6					sin									dφ
3		2				2	sin					2			dφ 6					sin				4		2			dφ
									4			2												4		2
			π/6											/6				π/6										/6
6( cos(								)) ( 2)									12cos(													12

																									)								cos
																									)								cos
					4		2							/6							4			2				/6						4	12
					4		2							/6							4			2				/6						4	12
																										3				1
	cos								12				cos				cos					12										6		3 1 .
	cos								12				cos				cos					12										6		3 1 .
				4		12										6			3							2				2
				4		12										6			3							2				2

Пример 2.31. Найти объем тела вращения вокруг осей Ох и Oy криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = –2e–2x и прямыми x = 1, x = 2, y = 0.

113

Решение

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.16).

Рис. 2.16

		b									2						2							4 e 4 x			2
		b									2						2										2
VOx f 2 (x)dx 4e 4x dx 4 e 4 x dx
		a									1						1							4			1
		a									1						1										1
π e 8 e 4 π e 4 e 8 .
			b											2								2
VOy 2 x							f (x)				dx 2 x 2e 2 x dx 4 x e 2 x dx


			a											1								1
	u x,					dv e 2 x dx													2				2
																xe	2 x					1
																	2 x
	du dx,				v			e 2 x					4π										e 2 x dx
	du dx,				v											2						2
									2										1				1
									2										1				1
		2e		4			e		2		1	e		2 x	2					2					4	e		2
				4					2					2 x	2					2					4			2
4π																4π e					e 4 e
			2					2			2		2					2						4			4
															1
															1
		3e	2				5e	4
4π		3e					5e			π 3e 2 5e 4 .
		4				4

Пример 2.32. Найти объем тела вращения вокруг оси Ох криво-

линейной трапеции, ограниченной параболами 2x – x2 – y = 0 и 2x2 – 4x + y = 0.

Решение

Данная фигура ограничена двумя параболами, ветви которых направлены вниз. Вершина первой параболы – точка с координатами (1,1); вершина второй параболы – точка (1,2).

114

Найдем точки пересечения парабол с осью абсцисс. Для этого решим уравнения 2x – x2 = 0 и 2x2 – 4x = 0. Корнями и первого и второго уравнения являются числа x1 = 0 и x2 = 2.

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.17).


	y=4x – 2x2
О	y=2x – x2
О	y=2x – x2	X

Рис. 2.17

VOx π f 2 (x)dx.

Искомый объем равен разности объемов тел, образованных вра-

щением парабол

2x2 – 4x + y = 0 и 2x – x2 – y = 0.

V V1 V2 ,

2								2
где V1 π (4x 2x2 )2 dx ; V2						π (2x x2 )2 dx .
0								0
Тогда
2					2
V π (4x 2x2 )2 dx (2x x2 )2 dx
0					0
2
π (16x2	16x3	4x4		(4x2				4x3			x4 ))dx
0
2									12x	3	12x	4	3x	5	2
2															2
π (12x2	12x3	3x4 )dx π
π (12x2	12x3	3x4 )dx π
0			32		16π				3		4		5		0
0									3		4		5		0
	16 3						.
π 32 3	16 3		5			5	.
			5			5

115

Пример 2.33. Найти объем тела вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченнойлиниями y2 = x – 2, y = 0, y = x3, y = 1.

Решение

Данная фигура ограничена гиперболой y = x3, прямыми y = 0, y = 1 и параболой y2 = x – 2, осью симметрии которой служит ось Oх, а вершина параболы – точка (2,0).

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.18).

y=x3

y2 = x – 2

2 3

Рис. 2.18

В данном случае проще воспользоваться формулой

VOy π f 2 ( y)dy .

Тогда искомый объем равен разности объемов тел, образованных вращением параболы y2 = x – 2 и гиперболы y = x3 вокруг оси Oy:

V V1 V2 ,

где V1 π ( y2 2)2 dy ; V2 π (3 y )2 dy .

	0				0
	1						1
V π (( y2 2)2 (3				y )2 )dy π ( y4 4 y2 4 y2/3 )dy
	0						0
	y5	4 y3	4 y	3y5/3		1	1		4		3	74π
	y5	4 y3		3y5/3		1	1		4		3	74π
π							π			4			.
π	5	3		5			π	5	3	4	5	15	.
						0
						0

116

Домашнее задание № 2

Вычислить определенный интеграл.

Задача 1

ln 5			ex dx
1.1.			ex dx						.
1.1.			x						.
	0		4e			5
	2		dx
1.3.			dx					.
1.3.			2					.
	2		x		1
1.5. 1		x(2 x2 )5 dx .
0
1.7. 5					dx					.
1.7. 5										.
0 2x							3x 1
/3			cos x				dx .
1.9.			sin	3	x		dx .
/4			sin		x
/4
	3
1.11. (x 2)									x 2 dx .
	2
1.13.	e						ln xdx				.
1.13.											.
	1 x ln 2 x 6 ln x 10

2x3dx

1.15.x4 1 .

0
1		xdx
1.17.		xdx						.
1.17.								.
1		5 4x
/4 cos					x
1.19.							dx .
1.19.		sin		5	x		dx .
/6		sin			x
/6
1	x5dx
1.21.						.
1.21.	12		1			.
0	x		1
e		ln x dx
1.23.		ln x dx							.
1.23.		3 2							.
1	x		ln			x 8

0		x
1.2.				dx .
	3	x	1
7
ln10		dx
1.4.					.
		x
ln 2		e	1

1ex dx

1.6.e2 x 1 .0

ln 2		ex dx
1.8.		ex dx							.
1.8.		2 x							.
	0	e			5
	e	3 ln2 x
1.10.		3 ln2 x					dx .
1.10.							dx .
	1			x
	1
	3					arctg( x/3)
1.12. 2x e								2		dx .
	0		9 x
	0
	ln 2
1.14.	ex cos ex dx .
	0
	/3	sin x
1.16.		sin x						dx .
1.16.			cos x					dx .
	0		cos x
	ln 5
1.18.			ex		1 dx .
	0
	5
1.20. e					dx					.
1.20. e		x	3	ln x 3						.
	e 2	x		ln x 3
	/4		dx
1.22.								.
1.22.		cos			4	x		.
	0	cos				x
	0

1.24. ln 2 e2x (2 e2 x )5 dx . 0

117

					sin xdx
1.25.					sin xdx					.
1.25.										.
	/2				2 cos x
	e3				4 ln x
1.27.					4 ln x				dx .
1.27.									dx .
	1						x
	1
	6	6
1.29.				x5			7 x6 dx .
	6 3
Задача 2
2.1. e	ln xdx .
1					x
π/4					x dx
2.3.								.
2.3.			cos			4	x	.
0			cos				x
0

2.5. (x2 1) ln xdx .

2.7. arctg x dx .

0
4
2.9. e	x dx .
1
1/2
2.11. arctg		1 2xdx .
1
1	x arcg xdx
2.13.			.
2.13.	1 x	2	.
0	1 x
2

2.15. ln(x2 4)dx .

2.17. (x2 5x 2) ln xdx .

2.19. x3 ln(x 1)dx .

/2				sin xdx
1.26.				sin xdx			.
1.26.		3					.
0			4 3cos x
2			x
1.28.			x		dx .
1.28.		4 x			dx .
1
1		x3	2x
1.30.						dx .
1.30.	3x		4		2	dx .
0	3x				2
0

2.2. (x 2) cos x dx .

0
2.4. 1	(x 1)e x dx .
0
π		x
2.6.	(x 3)sin	x	dx .
2.6.	(x 3)sin		dx .
0	2
0

2.8. (x 3)ex dx .

2.10.( 2x)cos3x dx .

π/2

2.12.(2x 1)sin 2xdx .

π/2

2.14.(x 6)cos 2xdx .

2.16. (x 2)e3x dx .

	0
2.18.	/6
2.18.		x	6	cos3x dx .
			6
	0

π/4

2.20.(3x 4)sin 2xdx .

118

	e4
2.21. ln x dx .
	e2				x
	e
2.23. (x2 2x)ln x dx .
	1
	/ 4				x dx
2.25.											.
2.25.					cos		2			x	.
	0				cos					x
	0
	0
2.27. x2 ln(x 2)dx .
	1
	e		x ln xdx
2.29.												.
2.29.		(1 x						2		)	2	.
	1	(1 x								)
	1
Задача 3
π/ 2					dx
3.1.					dx								.
3.1.		6								2	x		.
	0	6			sin						x
	0
π/ 4												dx
3.3.												dx												.
3.3.		4			3cos							2	x 5sin									2	x	.
	0	4			3cos								x 5sin										x
	0
π/ 4							6 tg x
3.5.							6 tg x															dx .
3.5.		9sin				2			x				4cos					2	x			dx .
	0	9sin							x				4cos						x
	0
	0					sin2 x
3.7.						sin2 x														dx .
3.7.				cos		2										2			x	dx .
π/ 4				cos					x 3sin										x
π/ 4
π/4										dx
3.9.										dx											.
3.9.		3cos					2			x			5sin				2		x		.
	0	3cos								x			5sin						x
	0
	π/4									tg2 x
3.11.										tg2 x											dx .
3.11.					9cos					2	x sin						2		x		dx .
	0				9cos						x sin								x
	0
	π/ 4							dx
3.13.								dx							.
3.13.					2 3cos								2	x	.
	0				2 3cos									x
	0
	π/ 4										dx
3.15.											dx											.
3.15.					2sin				2		x cos						2		x			.
	0				2sin						x cos								x
	0

2.22. (x 3)e2 x dx .

	0
	π/3		π		3x
2.24.		x		sin		dx .
2.24.		x	3	sin	2	dx .
			3		2
	0

π/8

2.26.3x 2 sin 2xdx .

2.28. (x 3)ex dx .

π/ 4

2.30(π / 2 2x) sin 3xdx .

0
π/3				dx
3.2.				dx	.
3.2.			1	sin x	.
	0		1	sin x
	0
π/2				cos x dx
3.4.				cos x dx				.
3.4.			1	sin x cos x				.
π/3			1	sin x cos x
π/3
π/ 2				sin x dx
3.6.				sin x dx					.
3.6.			1	sin x cos x					.
	0		1	sin x cos x
	0
π/ 2					dx
3.8.					dx					.
3.8.			1	3sin x		2cos x				.
	0		1	3sin x		2cos x
	0
	π/2			sin x dx
3.10.				sin x dx			.
3.10.				2			.
		0		(1 sin x)
		0
	π/ 2			dx
3.12.				dx		.
3.12.				4 7cos x		.
		0		4 7cos x
		0
	π/ 2			sin x dx .
3.14.				sin x dx .
		0		2 sin x
		0
	π/ 2			dx
3.16.				dx		.
3.16.				4 5sin x		.
		0		4 5sin x
		0

119

		arctg 2												dx
3.17.														dx									.
3.17.							2cos								2		x			3			.
		0					2cos										x			3
		0
		arctg 2										(3tg x 1)
3.19.												(3tg x 1)																dx .
3.19.							sin					2		x						4cos					2		x	dx .
		0					sin							x						4cos							x
		0
		π/4												dx
3.21.														dx												.
3.21.					sin				2		x			9cos									2	x		.
		0			sin						x			9cos										x
		0
		arctg 2																		dx
3.23.																				dx										.
3.23.							sin					2		2x(2 cos 2x)																.
			π/4				sin							2x(2 cos 2x)
			π/4
		π/ 2				(2ctg x 1)dx
3.25.						(2ctg x 1)dx																					.
3.25.																									2		.
		π/ 4			(2sin x cos x)
		π/ 4
		π/4							(4 tg x 5)dx
3.27.									(4 tg x 5)dx																				.
3.27.					sin 2x 4cos																		2	x		1			.
		0			sin 2x 4cos																			x		1
		0
		π/ 4									(3tg x 1)dx
3.29.											(3tg x 1)dx																			.
3.29.					2sin 2x 5cos 2x 1																									.
		0			2sin 2x 5cos 2x 1
		0
Задача 4
1
4.1. x2						1 x2 dx .
0
6				x2 9dx
4.3.				x2 9dx													.
4.3.						x		4									.
3						x
3
3 3						(x2 9)3 dx
4.5.																						.
4.5.											x		6									.
		3									x
		3
		1				1 x2
						1 x2
4.7.																dx .
4.7.							x				2					dx .
		2 /2					x
		2 /2
	2				x2 3dx
4.9.					x2 3dx													.
4.9.							x			4								.
		3					x
		3
		9						dx
4.11.								dx													.
4.11.						(x		2											3		.
		0				(x								81)

	0								dx
3.18.									dx							.
3.18.					cos x(1 cos x)											.
	π/3				cos x(1 cos x)
	π/3
	π/ 2						cos xdx
3.20.							cos xdx											.
3.20.				(1 sin x cos x)												2		.
	0			(1 sin x cos x)
	0
	π/ 2						1 cos x
3.22.							1 cos x								dx .
3.22.				1 cos x sin x											dx .
	0			1 cos x sin x
	0
	0						sin x
3.24.							sin x						dx .
3.24.					5		3sin x						dx .
	π/2				5		3sin x
	π/2
	π/ 2			sin x cos x
3.26.				sin x cos x										dx .
3.26.				2										dx .
	0				(1 sin x)
	0
	0						cos x
3.28.							cos x						dx .
3.28.					2		cos x						dx .
	π/ 2				2		cos x
	π/ 2
	π/ 2								sin x
3.30.									sin x								dx .
3.30.				(1 cos x sin x)												2	dx .
	0			(1 cos x sin x)
	0
2							dx
4.2.															.
4.2.	(x2 4)									x2 4					.
0	(x2 4)									x2 4
4.4. 1							x2				dx .
4.4. 1					4 x				2		dx .
0					4 x
4			x2 4
4.6.			x2 4					dx .
4.6.				x		4		dx .
2				x
2
2							4
4.8.							4					dx .
4.8.		(16					x	2	)	3		dx .
0		(16					x		)
4.10. 3		x2					9 x2 dx .
	0
	6			x2dx
4.12.				x2dx					.
4.12.				2					.
	3				x		9

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]