Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление функций одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Разобьем фигуру с помощью прямой x = 1 на две части: криволинейную трапецию, ограниченную функцией y = x, и криволинейную трапецию, ограниченную функцией y = 1/x, и найдем площади каждой из получившихся фигур:

S1 b	f (x)dx 1				xdx		x2	1	1	;
							x2		1
									2
a				0	2			0	2
a				0	2			0
S2 е dx		ln \| x \|				e ln e ln1 1.
S2 е dx		ln \| x \|				e ln e ln1 1.
1	x					1
1	x					1
Тогда			1	1 3 .
S S S		2	1	1 3 .
1		2	2		2
			2		2

Пример 2.12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2 4x 5, y x 1.

Решение

Данная фигура ограничена параболой y = x2 4x + 5, ветви которой направлены вверх, и прямой y = x + 1. Найдем координаты вершины параболы:

xв 2ba 42 2; yв y(2) 4 8 5 1.

Итак, точка (2, 1) вершина параболы.

Прямая проходит через точки с координатами (0, 1) и ( 1, 0). Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.3).

Y y=x+1

y=x2 4x + 5

O		4	X
	1

Рис. 2.3

Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций y x2 4x 5 и y x 1 .

Для этого решим систему уравнений

		2	4x 5,		2
y x			4x 5,	x
	y x 1,

Решив квадратное уравнение x2 x1 1; x2 4.

4x 5 x 1,

yx 1.

5x + 4 = 0, получим

	b			2				1						4
			f	2				1							x		1	x2 4x			5		dx
Тогда S			f		x f				x dx						x		1	x2 4x			5		dx
	a													1
	5x x2	4 dx						5	x2		x3	4x				4	5		42	1	1	43 1
									x2		x3					4					1
																1
									2	3						1	2				3
									2	3							2				3
4 4 1		5	15			1	63 4 3						75		21 12					9 .
		2				3								2						2

Пример 2.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-

ниями y 2x2			5x 1, x 5,			x 4, y 0 .
Решение								y 2x2 5x 1, ветви ко-
Данная фигура ограничена параболой								y 2x2 5x 1, ветви ко-
торой направлены вниз,					и прямыми x 5, x 4, y 0 . Найдем ко-
ординаты вершины параболы:
x	b	5 ;
x		5 ;
в	2a		4
	2a		4		2
		5		5	2		5	25	25	1	33	.
yв y			2	4	5		1	8	4	1	8	.
		4		4			4	8	4		8

Итак, точка А( 5/4, 33/8) – вершина параболы. Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.4).

Так как функция y 2x2 5x 1 на отрезке [–5, –4] отрицательная, то

S f (x) dx .

y= 2x2 5x+1

5 4

O	X

Рис. 2.4

Тогда

	4				x	3			x	2			4
	4

S 2x2 5x 1 dx				2				5			x
S 2x2 5x 1 dx				2				5			x
	5			3				2					5
	5			3				2					5
	2( 4)3	5( 4)2					2( 5)3					5( 5)2
=			( 4)										( 5)	=
=			( 4)										( 5)	=
	3	2						3				2
	3	2						3				2

=	128	40 4 250		125		5	39	122	125	39	244 375
	3		3		2			3	2		6
39 131			234 131		103.
		6	6		6

Пример 2.14. Вычислить площадьфигуры, ограниченной линиями y x2 6x 5, y x2 4x 3, y 3x 15.

Решение		y x2 6x 5,
Данная фигура ограничена параболами		y x2 6x 5,
y x2 4x 3	и прямой y 3x 15.

Ветви обоих парабол направлены вниз. Точка (2, 1) вершина па-

раболы y x2 4x 3, а	точка (3, 4) вершина параболы
y x2 6x 5 .
Найдем абсциссы точек	пересечения параболы y x2 4x 3

сосью Oх:

x2 4x 3 0 x1 1;x2 3.

Следовательно, координаты точек A(1, 0), D(3, 0).

Абсциссы точек пересечения параболы y x2 6x 5 с осью Oх:

x2 6x 5 0 x1 1;x2 5.

Тогда координаты точек A(1, 0), B(5, 0).

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.5).

		y = x2+6x 5

				y = 3x 15

	A	D

			B

	1
O	1			5	X
		C

y = x2+4x 3

Рис. 2.5

Для определения координат точки C – точки пересечения параболы y x2 4x 3 и прямой y 3x 15 – решим систему уравнений:

y x2 4x 3; x2 4x 3 3x 15 x2 7x 12 0 .

y 3x 15

Решив	квадратное уравнение	x2 7x 12 0 ,	найдем, что
x1 3, x2	4 . Абсцисса точки C –	положительная,	следовательно,

координаты точки C(4, 3).

Разобьем данную фигуру прямой x = 4 на две части: первая часть

сверху		ограничена					параболой						y x2 6x 5 , а снизу		параболой
y x2	4x 3;					вторая				часть			сверху	ограничена	параболой
y x2	6x 5 ,					а снизу прямой							y 3x 15 . Вычислим площади каж-
дой из получившихся фигур:
	b									4
S1 ( f2 (x) f1 (x))dx ( x2													6x 5 ( x2 4x 3))dx
	a									1
4							2x	2			4
											4
												(16 1) 2(4 1) 9 ;

(2x 2)dx									2x
1							2				1
1	5										1		5
	5												5
S2 ( x2 6x 5 (3x 15))dx ( x2														3x 10)dx
	4												4
		x	3	3x	2	10x			5	1		(125 64) 3
			3		2				5
														(25 16) 10(5 4)
														(25 16) 10(5 4)
	3			2					4	3			2
									4

613 272 10 196 .

Тогда S S1 S2 9 196 736 .

Пример 2.15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 x 1, y x 1.

Решение

Данная фигура ограничена параболой y2 x 1 и прямой y x 1.

Ось симметрии параболы ось Ох. Точка ( 1, 0) вершина пара-

болы. Прямая проходит через точки (1, 0) и (0, 1). Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.6).

В данном примере проще воспользоваться формулой

S ( f2 ( y) f1 ( y))dy ,

		a
где	f ( y) y2							1, а		f	2	( y) y 1.
	1										2
													Y				y=x 1
																	y=x 1
													2			y2=x+1
																y2=x+1

															1				X
													1
													1
														Рис. 2.6
Найдем ординаты точек пересечения графиков функций																				y2 x 1
и y x 1. Для этого решим систему уравнений
				2	1;
x y					1;				y	2 1 y 1 y2 y 2							0 .
	x y 1								y	2 1 y 1 y2 y 2							0 .
	x y 1

Корни квадратного уравнения y1 1, y1 2 . Тогда
	2												2
S ( y 1 ( y2 1)dy ( y y2 2)dy
		1											1
			2			y	3				2							3
			2				3				2
		y							2 y				1 (4 1)	1 (8 1)			2(2 1)		3 6		9 .
									2 y				1 (4 1)	1 (8 1)			2(2 1)	2	3 6		9 .
	2				3						1		2	3				2			2
	2										1

Пример 2.16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x2 4x y2 0, y2 2x 8 .

Решение

Данная фигура ограничена параболой y2 2x 8 и гиперболой x2 4x y2 0 .

Ось симметрии параболы ось Ох. Точка ( 4, 0) вершина параболы.

В уравнении x2 + 4x y2 = 0 выделим полный квадрат по переменной x:

x2 4x 4 4 y2 0 x 2 2 y2 4.

Разделим последнее уравнение на 4:

(x 2)	2	y2
			1.
4		4	1.
4		4

Получили уравнение равносторонней гиперболы с центром в точке ( 2, 0) и полуосями a = b = 2. Вершины данной гиперболы точки

( 4, 0); (0, 0).

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.7).

	Y
	y2=2x+8	x2+4x y2=0
		x2+4x y2=0
4			X
4		2	X

Рис. 2.7

Найдем координаты точек пересечения графиков функций x2 4x y2 0 и y2 2x 8 . Для этого решим систему уравнений

	2	4x y	2	0;			x 2;
x		4x y		0;	x2	4x 2x 8 0 x2	x 2;
		y2 2x 8			x2	4x 2x 8 0 x2	2x 8 0 1
		y2 2x 8					x2 4.

Так как x ≥ 0, то x = 2, следовательно,

y2 2x 8 y2 2 2 8 12 y 12 2 3 .

В данном примере воспользуемся формулой

S ( f2 ( y) f1 ( y))dy .

Найдем функции f1(y) и f2(y). Из уравнения x2 4x y2 0 выразим x как функцию переменной y:

(x 2)2 y2 4 x 2 4 y2 .

Так как x ≥ 0, то перед корнем выбираем знак «+». Тогда

x	4 y2 2 .
Из уравнения y		2	2x 8	выразим x	y2	4.
Из уравнения y			2x 8	выразим x	2	4.
					2

Данная фигура симметрична относительно оси абсцисс, следовательно, ее площадь равна двум площадям фигуры, лежащей выше оси Oх. Тогда

2		3							2	3				y	2
S 2		( f	2		( y) f ( y))dy 2						y2	4 2		y		4		dy
S 2		( f			( y) f ( y))dy 2						y2	4 2				4		dy
						1								2
	0								0					2
2 3				2			y2			2 3		2		2 3				y2
2		y			4	2		dy 2			y		4 dy 2				2		dy .
2		y			4	2	2	dy 2			y		4 dy 2				2	2	dy .
0							2			0				0				2

В первом интеграле сделаем замену y 2tgt , тогда dy 2dt / cos2t . Найдем пределы интегрирования:

0 2 tg t1 t1 0;
2	3 2 tg t2		t2 arctg					3 t2			π/ 3.
Тогда
2	3			π/3						2dt					π/3							dt
	y2 4dy				4 tg2 x 4					2dt				2			4(tg2 x 1)					dt
	y2 4dy				4 tg2 x 4					2			t	2			4(tg2 x 1)					2	t
0				0						cos			t			0					cos		t
0				0												0
	π/3	4		dt		π/3			1					dt			π/3	dt
2		4		dt		4			1					dt		4		dt		I .
		2	t	2	t				cost					2	t			3	t
		2		2										2				3
	0	cos		cos			0					cos					0	cos
	0						0										0

Умножим числитель и знаменатель дроби на cosx и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством cos2x + sin2x = 1:

π/3	cost dt			π/3	cost dt
I 4				4					.
I 4	cos	4	t	4	(1 sin	2	t)	2	.
0	cos		t	0	(1 sin		t)
0				0

Cделаем замену sint = z, тогда dz = cost dt. Найдем пределы интегрирования:

z1 sin 0 0;

z2 sin π / 3 3 / 2 .

Тогда

		3 /2											dz												3 /2														dz											3 /2			((1 z) (1 z))dz
I 4																						4																								2													2				2
I 4									(1 z								2		)	2		4								(1 z)									2	(1	z)				2	2							(1 z)						2	(1 z)			2
				0					(1 z										)						0					(1 z)										(1	z)										0		(1 z)							(1 z)
				0																					0																										0
		3/2									(1 z)dz																					3/2								(1 z)dz													3 /2							dz
2											(1 z)dz														2															(1 z)dz												2								dz
2						(1 z)									2		(1 z)						2		2										(1				z)			2	(1 z)						2			2				(1 z)(1					z)			2
		0				(1 z)											(1 z)															0			(1				z)				(1 z)										0			(1 z)(1					z)
		0																														0																					0
		3/2											dz														3 /2					((1 z) (1 z))dz
2																																															2
2					(1 z)									2		(1 z)																			(1				z)(1 z)								2
		0			(1 z)											(1 z)											0								(1				z)(1 z)
		0																									0
	3 /2			((1 z) (1 z))dz																													3 /2							dz							3/2						dz

							(1 z)										2		(1 z)																			(1 z)					2								(1 z)(1 z)
	0						(1 z)												(1 z)														0					(1 z)									0				(1 z)(1 z)
	0																																0														0
	3 /2										dz												3 /2									dz												1						3/2
	3 /2																						3 /2

				(1 z)(1 z)																								(1 z)									2					(1		z)
	0			(1 z)(1 z)																			0					(1 z)														(1		z)						0
		3/2					dz														1					3 /2																1										2 1 ln						1 z				3 /2
		3/2
2																																																	1
2												2																																					1
		0		1			z											(1 z)						0														(1 3 / 2)															2					1 z				0
				1										1									2																2				ln					1				3 / 2			ln1
				1																			2																2									1				3 / 2
	(1			3 / 2)																		(2					3)							(2							3)							1				3 / 2
	(1			3 / 2)																		(2					3)							(2							3)							1				3 / 2
	2(2								3 2													3)	ln						2						3							4			3		ln					2			3		4			3
	2(2								3 2													3)							2						3							4			3							2
	(2							3)(2													3)								2						3						(4 3)											2
	(2							3)(2													3)								2						3						(4 3)											2		3
ln			2					3					4								3 ln											(2								3)2
			2					3																								(2								3)2
			2					3																		(2								3)(2									3)
			2					3																		(2								3)(2									3)
4			3 ln									(2									3)2			4							3 2ln(2														3) .
												(2									3)2
														4 3
														4 3
Вычислим второй интеграл:
2	3					y		2																	y		3					2	3											1
																																2	3


	(2									)dy											2 y															4					3					(24					3) 4					3 4				3 0 .
	(2									)dy											2 y															4					3			6		(24					3) 4					3 4				3 0 .
0							2																		6							0												6
Итак,				S 2(4														3 2ln(2														0	3)) 8									3 4ln(2											3).
Итак,				S 2(4														3 2ln(2															3)) 8									3 4ln(2											3).

Пример 2.17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-

x 8cos3 t;

ниями, заданными параметрическими уравнениями иy 6sin3 t

прямой x 1 (x 1) .

Решение

Площадь фигуры, ограниченной линией, заданной параметрическими уравнениями, может быть найдена по формуле

S y(t)x (t)dt.

x 8cos3 t;

Данная фигура ограничена астроидой и прямой x = 1.

y 8sin3 t

Изобразим фигуру на координатной плоскости (рис. 2.8).

	Y
8	B
		K
A		L	C
A		L
				X
8		1	8	X

Рис. 2.8

Фигура симметрична относительно оси абсцисс, следовательно, ее площадь можно найти как удвоенную площадь криволинейной тра-

пеции ABKL, т.е. S = 2S1.

Найдем производную функции x = x(t):

x 8 3cos2 t sin t 24cos2 t sin t .

Найдем пределы интегрирования. В данном случае переменная x изменяется от значения x1 8 до значения x2 1 . Найдем значение

параметра t, соответствующее этим значениям.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]