Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

Решение уравнения (3) должно сохранять постоянное значение вдоль каждой характеристики (4). Основная трудность заключена в том, что некоторые характеристики (4) могут пересекаться, нарушая однозначность продолжения решения. Это приводит к образованию особых ударных волн, на которых возникают разрывы решения. Кроме того, отдельные части плоскости ( , ) могут оказаться не заполненными характеристиками (4). В таких зонах формируются волны разряжения. Геометрия ударных волн и волн разряжения может быть достаточно сложной — с взаимными пересечениями и слияниями.

При помощи компьютерного моделирования нам удалось разработать регулярный алгоритм для построения поля характеристик, связанных с задачей Коши (1), (2) в зависимости от выбора начального условия ( ). В процессе работы алгоритма последовательно строятся характеристики (4) вместе с расчетом ударных волн и волн разряжения. В результате получен стандартный способ для построения фазовых портретов на плоскости ( , ), согласованных с теоретическими предсказаниями [1]. Предложенный метод может быть использован для дальнейшего анализа решений типичных задач Коши вида (1), (2).

Список литературы

1.Lighthill M. J., Whitham G. B. On Kinematic Waves. II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1955. Vol. 229, № 1178. P. 317345.

2.Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М: Мир, 1977. — 638 c.

3.Гасников А. В. и др. Введение в математическое моделирование транспортных потоков: Учебное пособие / Под ред. А. В. Гасникова. Издание 2-е, испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2013. — 427 с.

4.Горицкий А. Ю., Кружков С. H., Чечкин Г. А. Уравнения с частными производными первого порядка. (Учебное пособие). — М.: Мех-мат МГУ, 1999. — 96 c.

5.Лакс П. Д. Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. — 296 с.

Некоторые вопросы эффективности гамильтоновых возмущений при вычислении спектров показателей Ляпунова линейных гамильтоновых систем

Салова Т. В. (Москва, МГУ) m_message@mail.ru

Установлена эффективность гамильтоновых возмущений по отношению к множеству значений произвольного показателя (в частности, показателя Ляпунова) на решениях данной системы и близких к ней систем. Доказано, что множество всех предельных значений показателей решений линейной гамильтоновой системы при равномерно малых ее возмущениях совпадает с аналогичным множеством, получаемым при равномерно малых гамильтоновых возмущениях той же системы. Кроме того, доказано совпадение множества всех значений показателей решений линейной гамильтоновой системы при бесконечно малых ее возмущениях с аналогичным множеством, получаемым при бесконечно малых гамильтоновых ее возмущениях.

Для заданного N обозначим через пространство линейных систем вида

с ограниченной кусочно непрерывной оператор-функцией : R+ → End R .

Линейное пространство всех таких систем наделим равномерной на полу-

Каждую систему (1) отождествим с задающей ее оператор-функцией , а множество всех ее ненулевых решений обозначим через *( ).

Если четно и в евклидовом пространстве R задан ортогональный кососимметрический оператор (т.е. −1 = * = − ), то в пространстве можно

выделить топологическое подпространство так называемых линейных гамильтоновых систем, отличающихся тем, что для каждой из них оператор

( ) симметричен при каждом R+.

Для всякой системы ( ) обозначим:

a)через ( ) ( ( )) – множество всех систем ( ), удовлетворяющих условию ‖ − ‖ < ;

b)через 0( ) ( 0( )) – множество всех систем ( ), удовлетворяющих условию ‖ ( ) − ( )‖ → 0, → ∞.

Пусть задан какой-либо показатель

определенный на ненулевых решениях всевозможных линейных систем.

Определение 1. [1] Спектром показателя κ системы назовем множество

Spκ( ) ≡ {κ( ) | *( )}.

Определение 2. Равномерно предельным спектром показателя κ системы

назовем множество

L Spκ( ) ≡ Lim Spκ( )

→

таких значений R, для каждого из которых при любом > 0 найдутся система ( ) и ее решение *( ), удовлетворяющие неравенству

|κ( )− | < . Кроме того, в случае четного назовем гамильтоново равномерно предельным спектром показателя κ системы аналогичное (с заменой всюду на ) множество

Определение 3. Бесконечно мало возмущенным спектром показателя κ системы назовем множество

0Spκ( ) ≡ Spκ( )

0( )

таких значений R, для каждого из которых найдутся система 0( )

и ее решение *( ), удовлетворяющие равенству κ( ) = . Кроме того, в случае четного назовем гамильтоново бесконечно мало возмущенным спектром показателя κ системы аналогичное (с заменой всюду на ) множество

0Spκ( ) ≡ Spκ( ).

0( )

Теорема 1. [2] Для любого четного , каждой системы и любого показателя κ имеет место равенство

κ( ) = κ( ).

Теорема 2. [3] Для любого четного , каждой системы и любого показателя κ имеет место равенство

0Spκ( ) = 0Spκ( ).

Следствие. Равенства из теорем 1 и 2 справедливы, в частности, когда показатель κ является:

1.характеристическим показателем Ляпунова (верхним);

2.характеристическим показателем Перрона (нижним) [4];

3.верхней (нижней) полной или векторной частотой [1];

4.верхней (нижней) скоростью блуждания [1];

5.верхним (нижним) показателем блуждаемости или блуждания [1].

Список литературы

1.Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы. //Изв. РАН. Сер. мат. 2012. Т. 76. № 1. С. 149 – 172.

2.Салова Т.В. Об эффективности возмущений в классе линейных гамильтоновых систем. //Дифференц. уравнения., 2015, 51, № 1, C. 141 – 142.

3.Салова Т.В. Об эффективности возмущений в классе линейных гамильтоновых систем. //Вестник Московского университета, Серия 1 Математика и механика, 2015, № 6, С. 48 – 52.

4.Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. – Минск: БГУ, 2006.

Список литературы

1.Седлецкий А.М. О нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 5. С. 710–724.

2.Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. Т.1. М.: ГИФМЛ. 1961.

Алгоритм решения линейной обратной задачи теплопроводности в случае полуограниченной среды

Степанищева В. С. (Москва, ВМК МГУ) stepanischeva.vika@gmail.com

Рассматривается линейная обратная задача о нахождении функции тепловых источников в одномерном уравнении теплопроводности по заданной температуре в финальный момент времени. Точная постановка задачи имеет вид:

Функция 1( ) считается заданной, достаточно гладкой и ограниченной при

> 0. Cтационарное неоднородное слагаемое ( ) предполагается неизвестным. Для поставленной обратной задачи с помощью преобразования Фурье уста-

новлена явная разрешающая формула

Достаточно изучить функцию 1( ), отвечающую значению = 1, поскольку при любом другом > 0 справедливо представление

( )

1

( ) = √ 1 √ , R.

Использование исходного представления функции Грина ведет к вычислительным затруднениям. Поэтому с практической точки зрения удобны приближенные выражения, найденные в работе [1]. Применительно к нашему случаю имеем следующие аппроксимации

со значением = 10−7. Поскольку погрешность приближения оказывается ничтожной, а скорость вычислений возрастает на порядок, то при численном решении обратной задачи вместо аналитической функции 1( ) используется ее приближенное представление ˜1( ).

На основе перечисленных формул разработан алгоритм решения обратной задачи в интерактивной системе компьютерной математики. Проведен ряд вычислительных экспериментов по восстановлению неизвестной функции источников. Получено хорошее согласование результатов работы алгоритма с предсказанными значениями ( ).

Рассмотренная обратная задача представляет особый интерес из-за имеющейся связи с вопросом о влиянии радиоактивного распада на температуру земной коры. Подробное обсуждение этой тематики см. в [2–4].

Выражаю признательность И. В. Тихонову за постановку задачи и помощь в работе.