Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

О численных исследованиях нулей полиномов Бернштейна

101

О некоторых численных исследованиях, связанных с распределением нулей полиномов Бернштейна в комплексной области

Цветкович Д. Г. (Москва, МПГУ) dianacve@inbox.ru

Для функции [0, 1] полиномы Бернштейна (см. [1], [2]) комплексной

переменной C определяют формулой

	( )	(1 − ) −	,	N,	(1)
( , ) = =0
∑

где — обычные биномиальные коэффициенты.

Недавно замечено (см. [3], [4]), что для кусочно линейной порождающей функции [0, 1] нули полиномов (1) образуют особые регулярные структуры на комплексной плоскости. Геометрические эффекты, связанные с такими структурами, требуют теоретического обоснования. В связи с этим была поставлена задача получить эмпирический материал, необходимый для анализа различных ситуаций. Проведена большая серия вычислительных экспериментов по выделению и классификации наиболее характерных случаев. Рассматривались кусочно линейные функции [0, 1] с рациональными точками излома на

[0, 1]. С помощью современных систем компьютерной математики вычислялись и строились множества нулей для полиномов (1) с номерами в диапазоне от 50

до 800. В результате собран обширный эмпирический материал и установлены следующие закономерности:

1)основная часть нулей полиномов (1) «стягивается» к границе лемнискатоподобной фигуры, окружающей отрезок [0, 1] и порожденной точками излома выбранной функции ;

2)на стыках лемнискат, отвечающих двум смежным точкам излома, возникают дополнительные серии нулей, сходящихся к дугам «больших» окружностей;

102	Цветкович Д. Г. (Москва, МПГУ)
3)	возможны отдельные «изолированные» нули с особым поведением.

Также установлен ряд специальных случаев, когда в основные закономерности 1)–3) вносятся те или иные дополнительные уточнения.

В докладе будет представлен наглядный материал, иллюстрирующий перечисленные эффекты. Полученные результаты требуют теоретического обоснования. Полное описание происходящего удалось получить для случая симметричного модуля на [0, 1] (см. [4]).

Выражаю благодарность научному руководителю И. В. Тихонову и В. Б. Шерстюкову за постановку задачи и большую помощь в исследовании.

Список литературы

1.Lorentz G. G. Bernstein polynomials. – Toronto: Univ. of Toronto Press, 1953.

2.Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. Учебное пособие к спецкурсу.

– Л.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1990. – 64 с.

3.Новиков И. Я. Асимптотика корней полиномов Бернштейна, используемых в построении модифицированных всплесков Добеши // Матем. заметки. 2002. Т. 71. Вып. 2. – С. 239-253.

4.Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г. Задача о нулях полиномов Бернштейна на модельном примере симметричного модуля // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 18-й междунар. Сарат. зимней школы. — Саратов: ООО Издательство «Научная книга», 2016. – С. 271–275.

Секция

«Теория чисел и её приложения»

104	Брюно А. Д. (Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша)

От диофантовых приближений до диофантовых уравнений

Брюно А. Д. (Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша) abruno@keldysh.ru

Рассматривается глобальное обобщение цепной дроби, дающее наилучшие диофантовы приближения. На нём основан способ вычисления основных единиц алгебраических колец и нахождение всех решений некоторого класса диофантовых уравнений.

Пусть в вещественном -мерном пространстве R = { } задано однородных вещественных форм ( ), = 1, . . . , , 2 6 6 . Выпуклая оболочка множества значений ( ) = (| 1( )|, . . . , | ( )|) R+ для целочисленных

Z во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для || || < const вычисляется с помощью стандартной программы. Точки Z , для которых значения ( ) лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для = 3 обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.

Пусть ( ) — целый неприводимый в Q многочлен степени и — его корень. Набор основных единиц кольца Z[ ] можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена ( ). До сих пор эти единицы вычислялись только для = 2 (с помощью обычных цепных дробей) и = 3 (с помощью алгоритма Вороного). Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в R и в R+ . В логарифмической проекции R+ на R −1 можно найти фундаментальную область для группы автоморфизмов, соответствующих единицам.

От диофантовых приближений до диофантовых уравнений

105

С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля Q( ). Приведены примеры.

Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля Q( ) и

все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого .

Список литературы

1.Брюно А.Д. От диофантовых приближений до диофантовых уравнений. //Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2016, № 1, 20 с, URL: http:// library.keldysh.ru/preprints.asp?id=2016-1.

106	Джуган А. О. (Москва, МГУ)

Некоторые соотношения для интегралов гипергеометрического типа

Джуган А. О. (Москва, МГУ) alexanderdjugan@mail.ru

Пусть 1, . . . , , 1, . . . , , 1, . . . , , 1, . . . , C, причём | (1− )| < и

( ) > ( ) > 0 при = 1, . . . , . Также введём при = 1, . . . , −1 обозначение

= − +1 − и = − .

Для произвольного

набора

чисел

1, . . . ,

будем

выписывать числа

^1, . . . , ^ , подразумевая ^ = + . . . + .

Обозначим

( 1, . . . , ),

= ( 1, . . . , ) и

Γ( )

∫

−1(1

)

−1

(

;

; |

) = =1

−

(1)

Γ( )Γ(

−

)

−

1 . . . 1 .

. . )

∏

[0,1]

∏

где кратко обозначено

= 1 · · · .

Пусть 0 = 0

< 1

< . . . < −1

= и = 0 /

{ 1, . . . , },

1, . . . , , так что

= (0, . . . , 0, 1 , . . . , 0, . . . , 0, ). Тогда при | | < 1 имеет место

представление

(

·(· · ) +...+

)

( ; ; | ) =

(

1+1) +...+

1≥0∑,

≥

∏

( ) (

−

1+1) +...+

( ) +...+

1 1+...+

. . .

−

· · ·

...,

(2)

где было использовано обозначение символа Похгаммера

( )0 = 0,

( ) = · ( + 1) · · · ( + − 1),

≥ 1.

Интеграл

∫

−1

(1 −

−

(

;

) =

Γ( )

)

(3)

=1 Γ( )Γ(

−

)

−

1 . . . )

∏

[0,1]

∏

Некоторые соотношения для интегралов гипергеометрического типа

107

является частным случаем интеграла (1) при = ( , 1, . . . , 1).

Аналогичным образом представляется в виде ряда

( ; ; | ) =

(

1+1) +...+

·(· · ) +...+

)

(

+1) +...+

(

) +...+

+...+

1≥0∑,

≥

∏

−

−1

· · ·

...,

(4)

Отсюда видно, что обобщённая гипергеометрическая функция

+1F (

1, . . . ,

) =

0( 1) 1

·(· · )

, 1

, . . . ,

≥0

( ) ( )

(

)

· · ·

∑

является частным случаем функции

(

;

; ) при

(0, . . . , 0, 0), в том

числе для гипергеометрической функции Гаусса имеем

F( 0, 1, 1| )

1( 0; 1; 1| ).

(5)

Согласно [1] гипергеометрическая функция Гаусса ( 0, 1, 1| ) удовлетворяет

дифференциальному уравнению

( − 2) ′′ + ( 1 − ( 0 + 1 + 1) ) ′ − 0 1 = 0,

(6)

а, значит, ему удовлетворяет и 1( 0; 1; 1| ). Уравнение (6) может быть переписано в виде

( ( + 1 − 1) − ( + 0)( + 1)) = 0,

(7)

где = .

Теорема 1. Пусть выполнены условия для параметров интеграла (1), а также ( ) > ( ) при = 1, . . . , и ̸= 0, −1, −2, . . . при = 1, . . . , . Тогда удовлетворяет дифференциальному уравнению


	∏		+ − 1) . . . ( +1 + − 1) − 1 . . . ( + )×
(	( −1	+1	+ − 1) . . . ( +1 + − 1) − 1 . . . ( + )×
	=1

		∏					(8)
	×		( −1+1		+ ) . . . ( +1	+ )) = 0,	(8)
			=1
где было обозначено			=	.
где было обозначено			=	.

108 Джуган А. О. (Москва, МГУ)

Доказательство. Рассмотрим отдельно

∏

( −1+1+ −1) . . . (

+1+ −1) и 1 . . . ( + ) =1( −1+1+ ) . . . ( +1+

)) и покажем, что они совпадают:

∏

+ − 1) . . . ( +1 + − 1) =

( −1+1

= 1

( =1

( −1+1) +...+ · · ··(· · ) +...+

)

0,...,

≥

∑≥

≥

−1

(

)

(

+1) +...+

(

) +...+

∏

−1

−

( ) ( +1) · · · ( )

1 1+...+ . . .

( − 1)!( −1+1) −1 · · · ( ) −1

1! · · · !

Произведём замену ′ = − 1 и перепишем выражение в виде

0,..., 1

0, ′ 0

( =1

( −1+1)

+...+

· · ·

·(· · ) +...+

)

≥

∑≥

≥

−1

( ) (

1+1) +...+ ′+1

( ) +...+ ′+1

∏

−

· · ·

+...+

−1

+ ′+1

. . .

′+1

( ) ′+1( +1) ′

( ) ′+1

( ′)!(

−

1+1) ′

( ) ′

· · ·

∏

2) 1 . . . ( + )

( −1+1 + ) . . . ( +1

+ )) =

= 1

( −1+1) +...+ · · ·

·(· · ) +...+

)

0,...,

( =1

(

≥

∑≥

≥

−1

)

(

+1) +...+

(

) +...+ +1

∏

−1

−

( ) +1( +1) +1 · · · ( ) +1 1 1+...+ +1 . . . +1

( )!( −1+1) · · · ( )

1! · · · !

Нетрудно убедиться, что выражения 1) и 2) совпадают после преобразования.

Также в соответствии с [1] в области | (1 − )| < справедливы равенства

F( 0, 1, 1

| )

(1 − )− 1

F ( 1 − 0, 1, 1

1− ),

(9)

−

F( 0, 1, 1

)

−

)−

F 0, 1

−

1, 1

−

(10)

(

−

)

F( 0, 1, 1

)

−

F( 1

0, 1

(11)

−

1, 1 ),

−

Некоторые соотношения для интегралов гипергеометрического типа

109

которые могут соответственно быть получены заменами

1 −

(12)

→ 1 − (1 − )

→

−

→

1 −

в интегральном

представлении

(4),

справедливом

для

гипергеометрической

функции Гаусса ввиду (5). В работе [2], используя обобщённый вид первой из

этих замен, было обобщено тождество (9) следующим образом

( ; ; | ) = (1 − )− 1 ( ; ; − ). (13)

1 −

Совместно с Уланским Е.А. нами были получены аналогичные обобщения тож-

деств (10) и (11).

Теорема 2. Пусть выполнены условия для параметров интеграла (1), а

также ( ) > (^ ) > ( ) при = 1, . . . , − 1 и ( ) > (^ ) > 0. Тогда

( ; ; ) = (1		)−^1 2 1	^ ,	,	^ ,	. . . ,	,		^ ;	−			.
			1 − 1	, 0,	2 − 2, . . . ,		0, − ;

\|	−	−	1	1	2		−1
\|	−	−	1	1	2		−1			1
			1,	^1,	2,	. . . ,	^	1,			−
							−


												(14)

Теорема 3. Пусть выполнены условия для параметров интеграла (1), а

			^							^
также ( ) > ( ) > ( ) при = 1, . . . , − 1 и								( ) > ( ) > 0. Тогда
( ; ; ) = (1			)^1− 1 2 1	^	,	,	^ ,	. . . , ,		^ ;	.
				1 −	1	, 0,	2 − 2	, . . . , 0, − ;
			−	1		1	2	−1
	\|	−		1,		^1,	2,	. . . , ^	1,
				1,		^1,	2,	. . . , ^	1,
								−


												(15)

Список литературы

1.Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. –М.: МИР – 1965.

2.Уланский Е.А. Обобщение одного тождества для интегралов гипергеометрического типа //Матем. заметки, 98:2, 2015, С. 318 – 320.

110	Добровольская Л. П., Бочарова О. Е., Серегина Н. К. (г. Тула)

Оптимальные коэффициенты, псевдослучайный поиск и сложные эконометрические модели

Добровольская Л. П., Бочарова О. Е., Серегина Н. К.

(г. Тула)

dobrovolskaya.lar@yandex.ru

olesyabocharova@yandex.ru nadj_nadj@mail.ru

Работа выполнена по гранту РФФИ, № 15-41-03263р_центр_а.

Одно из возможных практических применений оптимальных коэффициентов связано со сложными эконометрическими моделями. Такие модели возникают в самом простой ситуации, когда берется линейная комбинация нескольких моделей, при этом применение метода наименьших квадратов сразу приводит к сложной задаче либо решения трансцендентной системы уравнений, либо поиска минимума функции многих переменных.

Например, если речь идет о производственной функции Кобба—Дугласа

= или = ,

то в случае объединения двух производств получим обобщенные производственной функции Кобба—Дугласа

1	1	2	2	,
= 1 1	1	+ 2 2	2	,

которые нелинериазируются логарифмированием. Получаем многопараметрическую задачу для метода наименьших квадратов.

В обоих случаях (решение трансцендентной системы уравнений или поиск минимума функции многих переменных) простой эффективный алгоритм поиска приближенного решения может опираться на псевдо-случайный поиск. Предположим, что априори есть оценка области изменения параметров прямоуголь-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]