Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

Рассмотрим – адические числа и и положим

где все компоненты лежат в соответствующих полях. Имеет место следующее утверждение.

Предложение 1. Равенство · = 0 выполняется тогда и только тогда, когда для каждой пары компонент

{ 1, 1}, { 2, 2}, . . . , { , }

по крайней мере один из двух элементов пары равен нулю.

Теорема 4. Пусть некоторое -адическое число задано компонентами

1, . . . , , = 1, . . . , . Если хотя бы одна из компонент является алгебраическим числом, то существует многочлен ( ), такой что ( ) – делитель нуля.

Теорема 5. Пусть – некоторое – адическое число. Тогда будет трансцендентным тогда и только тогда, когда среди чисел 1, . . . , есть хотя бы одно Q трансцендентное над Q.

Таким образом, произвольно задав -адические компоненты, получить - адическое число, с наперёд заданными свойствами -адических компонент.

Пусть = 11 22 · . . . · , ( ), ( ) – натуральнозначные функции такие,

что 1 6 ( ) < , ( ) возрастающая и lim ( + 1) = ∞. Обозначим =

→∞ ( )

∞

∑ ( ) ( ). Тогда выполнена следующая теорема.

=0

Теорема 6. Для любого натурального числа найдется постоянная 0( )

такая, что для каждого многочлена ( ) Z[ ] степени и высоты >

0( ) выполняется неравенство

Список литературы

1.Mahler K. -adic numbers and their functions. London: Cambridge University Press, 1981.

Достаточное условие алгебраической зависимости полиадических рядов

Лужина Л. М., Макаров Ю. Н. (Москва, МГУ)

Рассматриваются так называемые – ряды (определение см. в [1]) вида

∞

∑ ! где коэффициенты – целые числа. Пусть – ряды 1( ), . . . , ( )

=0

составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

где все , – рациональные функции от , коэффициенты которых – рациональные числа.

Вработе [2] определены понятия алгебраической независимости, бесконечной алгебраической независимости и глобальной алгебраической независимости полиадических чисел (определение полиадического числа приведено там же).

Вэтой работе устанавливается следующая теорема. Для Z обозначим

( ) = . Этот ряд сходится в любом поле – адических чисел, обозначим его сумму в этом поле ( ).

Теорема. Пусть – целое число, отличное от 0 и полюсов рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Если оказалось, что для некоторого многочлена ( 1, . . . , ) с целыми коэффициентами, не равного тождественно нулю, для всех простых чисел , кроме конечного числа, выполняется равенство

( )

1( ), . . . , ( ) = 0,

то для любого целого числа , отличного от 0 и полюсов рассматриваемой

системы дифференциальных уравнений выполняется равенство

что все такие полиадические числа 1( ), . . . , ( ) алгебраически зависимы.

В доказательстве использованы методы и результаты работ [1–5].

Список литературы

1.Чирский В.Г. О глобальных соотношениях. //Матем. заметки, 1990, т. 48, вып. 2, с.123 – 127.

2.Чирский В.Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами. //Доклады академии наук, 2014, т. 459, № 6, с. 677 – 679.

3.Чирский В.Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами. //Известия РАН, Серия математическая, 2014, том 78, выпуск 6, стр. 193 – 210.

4.Чирский В.Г. Арифметические свойства целых полиадических чисел. //Чебышёвский сборник, 2015, том 16, Выпуск 1, с. 254 – 264.

5.Чирский В.Г. О нетривиальных глобальных соотношениях. //Вестн. Моск. ун-та., Сер. 1, матем., механ, 1989, № 5, с. 33 – 36.

Обесконечной алгебраической независимости некоторых полиадических чисел

Матвеев В. Ю. (Москва)

salomaa@mail.ru

Рассматриваются ряды вида ∑ · ! с целыми коэффициентами . Они входят в класс – рядов (определение см. в [1], [2]). Предположим, что –ряды

, = 1, . . . , составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

1, ′ + 0, = , = 1, . . . ,

(1)

где 0, , 1, , Q( ).

Значения рассматриваемых рядов в точках Z представляют собой целые полиадические числа. Кольцо целых полиадических чисел является прямым произведением колец целых –адических чисел Z по всем простым числам . Для полиадического числа = ∑ · ! обозначаем ( ) то –адическое число, к которому сходится ряд в поле Q .

Арифметические свойства значений рассматриваемых рядов и даже рядов из более широкого класса можно исследовать используя аппроксимации Паде (см. [3]).

Здесь мы используем модификацию [4] метода Зигеля–Шидловского для доказательства теоремы.

Теорема. Пусть ( ), = 1, . . . , представляют собой трансцендентные

–ряды с целыми коэффициентами, составляющие решение системы вида (1). Пусть Z, ̸= 0. Тогда полиадические числа 1 = 1( ), . . . , ( ) =

бесконечно алгебраически независимы.

Определение бесконечной алгебраической независимости приведено в работе [5]. Оно означает, что для любого отличного от тождественного нуля многочлена

126 Матвеев В. Ю. (Москва)

( 1, . . . , ) с целыми коэффициентами существует бесконечное множество

( )

простых чисел таких, что 1( ), . . . , ( ) ̸= 0 в поле Q .

В доказательстве теоремы существенно используются результаты В.Х. Сали-

хова [6] и теоремы из [2].

Список литературы

1.Чирский В.Г. О глобальных соотношениях. //Матем. заметки., 1990, т. 48, вып. 2, с. 123 – 127.

2.Bertrand D., Chirskii V., Yebbon J. Effective estimates for global relations on Euler-type series. //Ann. Fac. Sci. Toulouse, – V. XIII. – №2. – 2004. – pp. 241 – 260.

3.Чирский В.Г. Об арифметических свойствах обобщенных гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами. //Изв. РАН. Сер. матем., 2014, т. 78, вып. 6, 193 – 210.

4.Чирский В.Г. Метод Зигеля – Шидловского в – адической области. //Фундамент. и прикл. матем., 2005, т. 11, № 6, c. 221 – 230.

5.Чирский В.Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами. //Доклады Академии наук., 2014, т. 459, № 6, с. 677 – 679.

6.Салихов В.Х. Об алгебраической независимости значений E–функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям первого порядка. //Матем. заметки, 1973, том 13, № 1, с. 29 – 40.

Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей

Морозова Е. А. (г. Тула)

morozova.tspu@gmail.com

Работа выполнена по гранту РФФИ, № -15-01-01540

Многочлены Туэ были введены в работе [11] и использовались А. Туэ для оценки снизу скорости приближения иррационального числа рациональными дробями . В работах [1] и [6] строилась систематическая теория многочленов Туэ и были построены основные многочлены Туэ для кубических и биквадратичных иррациональностей. В стороне остался вопрос о нахождении основных многочленов Туэ для квадратичных иррациональностей.

Вмонографии Н. И. Фельдмана [9] дается достаточно подробное классическое изложение теории многочленов Туэ, основанное на искусном применении принципа Дирихле.

Внастоящей работе продолжены наши исследования из работ [4] и [5]. Цель настоящей работы — найти явный вид основных многочленов Туэ про-

извольного порядка для вещественных квадратичных иррациональностей и доказать гипотезу из работы [5].

Доказывается следующая основная теорема.

корни неприводимого многочлена ( ). Пусть = − и − 1 = − 2 , тогда основные многочлены Туэ ,1( ) и ,2( ) порядка имеют вид

,1( ) = , ,2( ) = − 1 . (1)

Если — квадратичная иррациональность, удовлетворяющая квадратному уравнению 2 − + = 0, , Z, то для любого целого ≥ 0 справедливы равенства = + , где , Z.

Вычисления по рекуррентным формулам дают первые значения последовательности :

0 = 0, 1 = 1, 2 = , 3 = 2 − , 4 = 3 − 2 ,5 = 4 − 3 2 + 2, 6 = 5 − 4 3 + 3 2, 7 = 6 − 5 4 + 6 2 2 − 3,

8 = 7 − 6 5 + 10 3 2 − 4 3, 9 = 8 − 7 6 + 15 4 2 − 10 2 3 + 4,10 = 9 − 8 7 + 21 5 2 − 20 3 3 + 5 4.

Анализ вида этих значений приводит к следующей лемме.

Тем самым утверждение теоремы доказано.

Теперь мы можем найти явный вид многочлена Туэ для квадратичной иррациональности.

что и доказывает утверждение теоремы.

Список литературы

1.Добровольский Н.М. О разложении иррациональностей третьей степени в непрерывные дроби. //Чебышевский сборник. Т. XI, вып. 4(36). С. 4 – 24.

2.Добровольский Н.М., Соболев Д.К., Соболева В.Н. О матричном разложении приведенной кубической иррациональности. //Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 1. С. 34–55.

3.Кречмар В.А. О верхнем пределе числа представлений целого числа некоторыми бинарными формами четвертой степени. //Изв. АН СССР.

Сер. матем. 1939, Т. 3, вып. 3., С. 289 – 302.

4.Морозова Е.А. Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей. //Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: Совр. пробл. и приложения: Материалы XIII Межд. конф., посв. 85-летию С.С. Рышкова — Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015. С. 354 – 356.

5.Морозова Е.А. Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей. //Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: Совр. пробл. и приложения: Материалы XIII Междунар. конф.: [Доп. том]. — Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015, С. 161 – 168.

6.Подсыпанин В.Д. О разложении иррациональностей четвертой степени

внепрерывную дробь. //Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 43

– 46.

7.Подсыпанин В.Д. О многочленах Туэ и разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь. //Чебышевский сборник, Т. XI, вып. 4(36), С. 25 – 69.

8.Подсыпанин Е.В. О разложении иррациональностей высших степеней

вобобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970. //Чебышевский сборник, 2007, Т. 8, вып. 3(23), С. 47 – 49.

9.Фельдман Н.И. Приближения алгебраических чисел. – М.: Изд-во Моск.

Ун-та, 1981. – 200 с.

¨

10. Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen. //Abhandlungen der Preuss. Akad. d. Wissensch., 1929, Phys.-Math. Klasse. PP. 1 – 70.

¨

11. Thue A. Uber Ann¨aherungswerte algebraischer Zahlen. //J. reine ang. Math., 1910, Vol. 135, PP. 284 – 305.