Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

Теорема 2 означает, что для любых умножений × и · на группе и любых элементов 1, 2 , 1Λ выполняется ( 1 × ) · 2 = 0 и все аналогичные равенства, полученные из данного изменением порядка элементов и расстановки скобок.

Следствие 5. В любой -группе подгруппа 1Λ является абсолютным нильпотентным идеалом, степень нильпотентности которого не больше трех.

Список литературы

1.Fuchs L. Infinite abelian groups. Academic Press, New York and Lodon, 1973.

2.Topics in abelian groups. Chicago, Ill, 1963.

3.Toubassi E.H. Lawver D.A. Height-slope and splitting length of abelian groups. //Publ. Math. Debrecen, 1973, V.20, p. 67 – 71.

4.Kompantseva E.I. Rings on almost completely decomposable abelian groups. //J. of Mathematical Sciences, 2009, V.163, no 6, p.688 – 693.

5.Kompantseva E.I. Absolute nil-ideals of abelian groups. //J. of Mathematical Sciences, V.197, no 5, p.625 – 634.

6.Pham T.T.T. Absolute ideals of abelian groups. //Abstraction of Southern Regional Algebra conference, Montgomery, Alabama, 2010, p.10.

7.Fried E. On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring. //Proc. Colloq. Abelian groups, Budapest, 1964, p.51 – 55

Об определяемости вполне разложимых факторно делимых абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов

Любимцев О. В. (Нижний Новгород, ННГАСУ) oleg_lyubimcev@mail.ru

Говорят, что группа , принадлежащая классу Λ абелевых групп, определяется своим кольцом ( ) (своей полугруппой ( )) эндоморфизмов в этом

классе, если в нем не существует такой группы , что и ( ) ( )

=

( ( ) ( )). Классический результат (теорема Бэра–Капланского) о том,

=

что любые две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, дал толчок многочисленным исследованиям в этом направлении. Однако полугруппа эндоморфизмов в ряде случаев также хорошо характеризует группу. Например, конечная абелева группа определяется своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех групп [1]. В работе [2] показано, что уже из изоморфизма полугрупп эндоморфизмов двух периодических групп следует изоморфизм самих этих групп. Для абелевых групп без кручения ситуация иная. Так, из абелевых групп без кручения ранга 1 только делимые группы определяются своей полугруппой эндоморфизмов в каком-либо классе абелевых групп, содержащем класс групп без кручения ранга 1 [3]. Вопрос определяемости смешанных абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов до настоящего времени систематически не изучался.

Далее под словом "группа" понимается абелева группа. Если — смешанная группа, ( ) — ее периодическая часть, то ( ) = { : ( ) ̸= 0}. Под рангом ( ) группы понимается ранг без кручения.

Группа называется факторно делимой, если она не содержит периодических делимых подгрупп, но содержит такую свободную подгруппу конечного ранга, что / — периодическая делимая группа. Факторно делимая группа называется вполне разложимой, если она раскладывается в прямую сумму фак-

торно делимых групп ранга 1. Через ( ) обозначим подкласс класса

вполне разложимых факторно делимых абелевых групп, определяющихся своей полугруппой эндоморфизмов в классе .

Примерами факторно делимых групп являются факторно делимые группы без кручения конечного ранга. Задача определяемости вполне разложимых групп без кручения своими полугруппами эндоморфизмов в классе всех вполне разложимых групп без кручения решена А.М. Себельдиным в статье [3]. Аналогичный результат имеет место для вполне разложимых факторно делимых групп без кручения.

Пусть

— фиксированное разложение группы , ( ) = 1, = 1, 2, ..., , > 1. Прямое слагаемое назовем изолированным, если в дополнительном прямом слагаемом не найдется прямого слагаемого ранга 1, котип которого сравним с котипом группы . Если ( ) = 1, то ( ) тогда, и только тогда,

когда или .

= =

Предложение 1. Пусть — вполне разложимая факторно делимая группа без кручения, ( ) > 1. В этом случае ( ) в точности тогда, когда она не имеет изолированных прямых слагаемых.

В общем случае наличие изолированных прямых слагаемых в разложении (1) группы не означает, что не определяется своей полугруппой эндоморфизмов (см. предложение 2). Однако, как показывает следующая теорема, их отсутствие гарантирует ( ).

Теорема 1. Пусть , ( ) > 1 и не содержит изолированных прямых слагаемых. Тогда ( ).

Другой пример факторно делимых групп дают многие группы из класса , построенного Глаз и Уиклессом в [4]. В работе [5] доказано, что класс состо-

ит из групп вида = , где — факторно делимая группа локально

свободной обобщенной кохарактеристики, а — конечная группа. Обозначим через * класс абелевых групп, состоящий из групп вида = , где

, — конечная группа.

Теорема 2. Вполне разложимая группа определяется своей полу-

группой эндоморфизмов в классе * .

Рассмотрим расщепляющиеся группы из класса . Пусть — факторно делимая группа ранга 1 с кохарактеристикой ( ) = ( ). Введем следующие обозначения: 0( ) = { : = 0}, ∞( ) = { : = ∞}. Нетрудно доказать, что если группа расщепляется, то ( ) в том, и только том случае, если 0( ) = или ∞( ) = .

Предложение 2. Пусть — расщепляющаяся группа из класса ,

( ) > 1. Если ∞( ) ( ) для каждого изолированного прямого слагаемого в разложении (1) (если такие имеются), то ( ).

Теорема 3. Пусть , — почти делимая группа, ( ) > 1.

( ) в точности тогда, когда ∞( ) ( ) для всякого изолированного прямого слагаемого группы .

Список литературы

1.Пуусемп П. Об определяемости периодической абелевой группы своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех групп // Изв. АН Эстонской ССР. Физ. Матем. 1980. Т. 29, № 3. C. 241–245.

2.Пуусемп П. Об определяемости периодической абелевой группы своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех периодических абелевых групп // Изв. АН Эстонской ССР. Физ. Матем. 1980. Т. 29, № 3. C. 246–253.

3.Себельдин А.М. Об определяемости абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-во Томск. ун-та. 1991. C. 125–134.

4.Glaz S., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups // Comm. Algebra. 1994. Vol. 22, no. 4. P. 1161–1176.

5.Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkhaeuser, Basel. 1999. P. 87–100.

46 Перязев Н. А. (Санкт-Петербург, СПГЭТУ), Шаранхаев И. К. (Улан-Удэ, БГУ)

Решетки клонов и суперклонов

Перязев Н. А. (Санкт-Петербург, СПГЭТУ), Шаранхаев И. К. (Улан-Удэ, БГУ) nikolai.baikal@gmail.com

Пусть — множество, ≥ 0. Тогда:

—-местная операция — : → ;

—-местная мультиоперация — : → 2 .

, — множества -местных и всех операций;

, — множества -местных и всех мультиопераций.

В дальнейшем считаем | | = , где — ранг операции (мультиоперации). Мультиоперации , где = { 0, ..., −1} можно представлять как

отображения

: {20, 21, ..., 2 −1} → {0, 1, ..., 2 − 1},

получаемых из при кодировке

—разрешимость мультиоперации по аргументу {1, ..., }

( 1, ... ) = { | ( 1, ..., , −1, , +1, ..., )};

48 Перязев Н. А. (Санкт-Петербург, СПГЭТУ), Шаранхаев И. К. (Улан-Удэ, БГУ)

Теорема 1. Алгебраические замыкания совпадают с замыканиями Галуа:

а) [ ] = ( ( )); б) = ( ( )).

Следствие. Отображения ( ) и ( ) являются взаимно обратными антиизоморфизмами решетки клонов и решетки суперклонов.

Определим алгебры -местных операций и мультиопераций. В работе [2] для множества операций называлось -замыканием.

—Алгеброй -местных операций над множеством называется любое подмножество , содержащее все -местные операции проектирования и замкнутое относительно суперпозиций.

—Пересечение -местных мультиопераций

( ∩ )( 1, ..., ) = ( 1, ..., ) ∩ ( 1, ..., ).

—Алгеброй -местных мультиопераций над множеством называется любое подмножество , содержащее все -местные мультиоперации проектирования, пустую, полную мультиоперации и замкнутое относительно суперпозиций, разрешимостей и пересечений.

Введем обозначения:

[ ] — алгебра -местных операций над порожденная множеством; [ ] = [ ] ∩ , где .

— алгебра -местных мультиопераций над порожденная множеством

; = ∩ , где .

Теорема 2. Если , , то выполняются: а) [ ] = [ ] ; б) = .

Как следствия верны следующие утверждения для решеток алгебр, клонов, суперклонов одного ранга.

Следствие 6. а) Решетка алгебр -местных операций и решетка клонов, порождаемых -местными операциями, совпадают.

б) Решетка алгебр -местных мультиопераций и решетка суперклонов, порождаемых -местными мультиоперациями, совпадают.

Следствие 7. а) Решетка алгебр -местных операций изоморфно вложима, как верхняя полурешетка, в решетку клонов.

б) Решетка алгебр -местных мультиопераций антиизоморфно вложима, как нижняя полурешетка, в решетку клонов.

Приведем перечисления алгебры унарных и бинарных операций и мультиопераций ранга 2.

Алгебры унарных операций ранга 2 (всего – 6):

[(12)], [(11)], [(22)], [(21)], [(11), (22)], [(11), (21)]. Алгебры бинарных операций ранга 2 (всего – 26):

[(1212)], [(1111)], [(2222)], [(2121)], [(1112)], [(1222)], [(1221)],

[(2112)], [(1211)], [(2212)], [(2111)], [(1111), (2222)], [(1111), (1112)],

[(1111), (1222)], [(1112), (2222)], [(1222), (2222)], [(1111), (2121)],

[(1221), (2112)], [(1112), (1222)], [(1211), (1222)], [(1112), (2212)],

[(1112), (1111), (2222)], [(1222), (1111), (2222)], [(1112), (1222), (1111)],

[(1112), (1222), (2222)], [(1112), (1222), (1111), (2222)].

Алгебры унарных мультиопераций ранга 2 (всего – 19):

(12) , (11) , (22) , (21) , (31) , (23) , (11), (22) , (11), (23) ,

(22), (31) , (11), (21) , (13) , (11), (13) , (22), (32) , (13), (31) ,

(23), (32) , (11), (23), (32) , (22), (13), (31) , (11), (22), (13) ,

(31), (23) .

Алгебры бинарных мультиопераций ранга 2 (всего – 44):

(1212) , (1111) , (2222) , (3131) , (1111), (2222) , (1111), (1313) ,

(2323) , (1111), (2323) , (2222), (3131) , (1111), (2121) , (1313) ,

(2121) , (2222), (3232) , (1111), (2222), (1313) , (1313), (3131) ,

(2111) , (1111), (2323), (3232) , (2222), (1313), (3131) , (3331) ,

(2333) , (2323), (3232) , (3131), (2323) , (1221) , (2112) , (1332) ,

(2222), (3331) , (3331), (3322) , (3332), (3331) , (1111), (2333) ,

(2333), (1133) , (3331), (2222), (3322) , (2333), (1111), (1133) ,

(1221), (2112) , (3332) , (3332), (2222) , (3332), (2222), (3331) ,

50 Перязев Н. А. (Санкт-Петербург, СПГЭТУ), Шаранхаев И. К. (Улан-Удэ, БГУ)

(1333) , (1333), (2333) , (1333), (1111) , (1333), (2333), (1111) ,

(1333), (3332) , (2333), (3332) , (1333), (3331) , (1332), (2211) . Для клонов и суперклонов ранга 3 известны следующие результаты.

Вкниге [2] приведено перечисление всех 699 унарнопорожденных клонов ранга 3. В [4] дано описание всех 2079040 алгебр унарных мультиопераций ранга 3, а значит и унарнопорожденных суперклонов.

Список литературы

1.Перязев Н.А., Шаранхаев И.К. Теория Галуа для клонов и суперклонов // Дискретная математика. 2015. Т. 27, № 4. С.79-93.

2.Черепов А.Н. Предполные классы в как классы сохранения оснований // Материалы VII Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения». Часть 1, Москва, 2001. С.132–135.

3.Lau D. Function Algebras on Finite Sets. — Springer-Verlag Berlin YeideWater Resourses Research, 2006.

4.Казимиров А.С., Перязев Н.А. Алгебры унарных мультиопераций // Тезисы докладов Международной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2013. C. 156.