Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

Типом и нижним типом целой функции ( ) при порядке (коротко, -типом) называют величины

Если учитывать не только верхнюю, но и нижнюю -плотности ее нулей, то

нижняя граница для -типа целой функции увеличится, (см. [3, c. 16]):

А. Ю. Попов построил пример (см. [4, теорема 2.1]), обеспечивающий здесь равенство и показывающий к тому же, что нижняя оценка не может быть улучшена за счет учета нижней усредненной -плотности нулей. Сказанное позволяет представить ответы к следующим экстремальным задачам. Зафиксируем числа

> 0, > 0, [0, ], * > 0, * [0, *]. Тогда справедливы равенства

Рассмотрим теперь экстремальные задачи для целых функций с нулями, расположенными на одном луче. Именно, для фиксированных чисел (0, 1), > 0,

[0, ], * > 0, * [0, *] требуется вычислить величины

Эти экстремальные задачи решены совсем недавно.

Теорема 1 (А. Ю. Попов [5]). При любых (0, 1) и > 0 справедливо равенство

возрастающей последовательности положительных чисел.

Теорема 2 (В. Б. Шерстюков [6]). Для произвольного (0, 1) и любых чисел > 0 и [0, ] имеет место равенство

Теорема 3 (Г. Г. Брайчев [7]). I. При фиксированных (0, 1) и * > 0

экстремальная величина (1) находится по формуле

R*+ ( *; ) = ( ) *,

где функция ( ) определена в теореме 1.

II. При заданных (0, 1), * > 0, * [0, *] экстремальная величина (2)

вычисляется по формуле

ln = */ *.

Обратим внимание на то, что в отличие от случая общего расположения нулей Λ C, учет нижней -плотности существенно изменяет величину минимально возможного -типа целых функций, когда Λ R+.

Таким образом, влияние основных плотностных характеристик последовательности нулей Λ из C или из R+ целой функции ( ) на величину ее типа к настоящему времени изучено. Для полноценного описания поведения целых функций ( ) осталось установить точный диапазон изменения не только типа

( ), но и нижнего типа ( ). Приведем точные двусторонние оценки нижнего типа целой функции с положительными или произвольно расположенными на плоскости нулями заданных усредненных плотностей. Из формулы Иенсена и неравенств, связывающих обычные и усредненные плотности вытекает оценка снизу

Оценки сверху нижнего -типа через нижние -плотности, подобные верхним оценкам, в математической литературе вообще отсутствуют. В работе [8] найдено объяснение этому факту. Именно, доказана принципиальная невозможность оценки сверху нижнего типа только через нижнюю плотность. Тем не менее, оценки нижнего -типа сверху, учитывающие обе -плотности, возможны, и в [8] доказан такой точный результат, утверждающий дополнительно, что наибольшая возможная величина нижнего -типа не зависит от расположения нулей целой функции на плоскости.

Теорема 4 (Г. Г. Брайчев, О. В. Шерстюкова [8]). Для произвольного порядка (0, 1) и любых чисел ≥ 0 и > 0 ( ≤ ) справедливы равенства

I.

где обозначено = / . Верхняя грань ( , ; ) достигается на некоторой

возрастающей последовательности Λ̃, у которой (Λ)̃ = и (Λ)̃ = .

Приведем теперь неулучшаемые оценки нижнего -типа и снизу и сверху через усредненные -плотности корней. Речь идет о следующих экстремальных задачах.

Пусть заданы числа (0, 1), * > 0 и * [0, *]. Требуется вычислить экстремальные величины:

Теорема 5 (Г. Г. Брайчев, [9]). Пусть > 0. Для любых фиксированных

верхние и нижние грани достигаются.

Последнее равенство показывает, что наибольший возможный нижний -тип целой функции, как и в случае обычных -плотностей, не зависит от расположения нулей на плоскости, но зависит от обеих усредненных -плотностей.

Список литературы

1.Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956.

2.Pfluger A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Funktionen. I //Comm. Math. Helv. – 1938.

–V. 11. – P. 180 – 213.

3.Boas R.P. Entire functions. – New-York: Acad. Press, 1954.

4.Попов А.Ю. Развитие теоремы Валирона-Левина о наименьшем возможном типе целой функции с заданной верхней -плотностью корней. //СМФН. – 2013. – Т. 49. – С. 132 – 164.

5.Попов А.Ю. Наименьший возможный тип при порядке < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней - плотности. //Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. – 2005.

–№ 1. – С. 31 – 36.

6.Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка (0, 1) с положительными нулями. //Изв. РАН. Сер. матем. – 2011. – Т. 75. – № 1. – С. 3 – 28.

7.Брайчев Г.Г. Наименьший тип целой функции порядка (0, 1) с положительными корнями заданных усредненных плотностей. //Матем. сб. – 2012. – Т. 203. – № 7. – С. 31 – 56.

8.Брайчев Г.Г., Шерстюкова О.В. Наибольший возможный нижний тип целой функции порядка (0, 1) с нулями фиксированных -плотностей. //Матем. заметки. Т. 90. № 2. 2011. С. 199 – 215.

9.Брайчев Г.Г. Точные границы величины нижнего типа целой функции порядка (0, 1) с нулями заданных усредненных плотностей. //Уфимск. матем. журн. – 2015.– Т. 7. – № 4. – С. 34 – 60.

О поведении коэффициентов в полиномах Бернштейна для симметричного модуля на симметричном отрезке

Петросова М. А. (Москва, МПГУ)

petrosova05@mail.ru

Полиномы Бернштейна для функции ( ) = | | на отрезке [−1, 1] определяют формулой

т. е. числа 2 ,2 стремятся к нулю степенным образом. Младшие коэффициен-

Поведение промежуточных коэффициентов более сложно.

Рассмотрим максимальный из всех промежуточных коэффициентов. Для

этого введем специальное обозначение

78 Петросова М. А. (Москва, МПГУ)

Регулярное поведение 2 прослеживается при > 8. Для величины (3) верна асимптотическая формула

Максимальное значение (3) среди коэффициентов (2) при > 8 достигается, когда = [( − 1)/2]. Формулы (4), (5) показывают экспоненциальный рост чисел (3) (см. также [2]).

Можно показать, что коэффициенты, «соседние» с максимальным, имеют ту же асимптотику. Например, при = 2 максимальным по модулю среди коэффициентов 2 , 2 будет коэффициент 4 , 2 −2. «Соседние» с ним коэффициенты

4 , 2 −4 и 4 , 2 с точностью до знака асимптотически представляются так

При = 2 + 1 максимальным по модулю среди коэффициентов 2 , 2 будет 4 +2, 2 . При этом

Экспоненциальный рост чисел (6), (7) совпадает с ростом (4) при выборе соответствующих значений , хотя коэффициенты, фигурирующие в формулах (6), (7), несколько меньше (по модулю) максимальной величины (3).

Выражаю глубокую признательность И. В. Тихонову за постановку задачи и В. Б. Шерстюкову за большую помощь в исследовании.

Список литературы

1.Тихонов И.В., Шерстюков В.Б., Петросова М.А. Правило склеивания для полиномов Бернштейна на симметричном отрезке //Известия

Саратовского университета, Сер. Математика. Механика. Информатика,

2015, Т. 15, вып. 3, C. 288 – 300.

2.Петросова М.А. О скорости роста максимальных коэффициентов в полиномах Бернштейна, взятых от симметричного модуля на симметричном отрезке. //Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 18-ой междунар. Сарат. зимней школы. – Саратов: «Научная книга». 2016. С. 209 – 211.

Геометрический подход при изучении решений квазилинейного уравнения дорожного движения

Подорога А. В. (Москва, МГУ) anastasiapodoroga@gmail.com

В работе Лайтхилла и Уизема [1] (см. также [2]) предложен геометрический подход для изучения задач о движении транспортных потоков. На современном языке этот подход можно интерпретировать как своеобразную модификацию

метода характеристик для квазилинейного уравнения дорожного движения.

Ключевыми величинами при описании транспортных потоков являются плотность = ( , ) и интенсивность = ( , ), вычисляемые в точке R в

момент времени > 0 (см. [3]). Специфика задач дорожного движения заключается в предположении о зависимости = ( ). Такая зависимость называется фундаментальной диаграммой дорожного движения. Возникает уравнение,

Согласно теории квазилинейных уравнений (см. [4], [5]) решение задачи Коши (1), (2) записывается неявно по формуле

За исключением отдельных редких случаев восстановить явный вид зависимости = ( , ) из формулы (3) весьма затруднительно. При этом можно находить решение методом характеристик.

Так, в плоскости ( , ) через точку 0, взятую на оси , проводится характеристика