Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

Проективные полигоны над прямоугольными связками

Кожухов И. Б, Петриков А. О. (Москва) masterpetr@mail.ru

Прямоугольные связки, т.е. полугруппы, изоморфные прямому произведению

× , где – полугруппа левых нулей, а – полугруппа правых нулей, составляют интересный класс полугрупп, обобщающий классы полугрупп правых (левых) нулей и содержащийся в классе вполне простых (т.е. рисовских матричных) полугрупп = ( , , Λ, ). Если группа состоит из одного элемента ( = {1}), то для элементов сэндвич-матрицы мы имеем: = 1, поэтому

(1) · (1) = (1) , или в сокращенной записи ( , ) · ( , ) = ( , ). Таким об-

умножение · = ). Элементы прямоугольной связки будем обозначать , . Напомним некоторые определения (см. [1]). (Правым) полигоном над полугруппой называется множество , на котором действует полугруппа , т.е. определено отображение × → , ( , ) → , удовлетворяющее условию

называется проективным, если для любых -полигонов , , сюръективного гомоморфизма : → и гомоморфизма : → существует гомоморфизм : → такой, что = . Проективным накрытием полигона

называется проективный полигон , имеющий сюръективный гомоморфизм

: → такой, что для любого собственного подполигона 1 сужение

| 1 не является сюръективным.

Все полигоны над прямоугольной связкой (и даже над рисовской матричной полугруппой) были описаны в [2]. В работе [3] были описаны проективные полигоны над полугруппами правых / левых нулей и построены проективные накрытия произвольных полигонов над этими полугруппами. Оказывается, эти результаты можно обобщить на прямоугольные связки.

52 Кожухов И. Б, Петриков А. О. (Москва)

Теорема 1. Пусть – правый полигон над прямоугольной связкой = ×

, где – полугруппа левых нулей, а – полугруппа правых нулей. Положим

= , = , = . Полигон проективен в том и только том случае, если выполнены условия:

Для любой полугруппы пусть 1 = {1} – полугруппа, полученная присоединением к единичного элемента 1. Ясно, что 1 – полигон над .

Если = × – прямоугольная связка, то полугруппу правых нулей можно превратить в правый -полигон, положив 1 · , = для , , 1 .

Альтернативное описание проективных × -полигонов даёт следующая тео-

рема.

Теорема 2. Полигон над прямоугольной связкой = × про-

Последняя теорема отмечает ещё одно свойство полигонов над прямоугольными связками.

Теорема 3. Любой полигон над прямоугольной связкой имеет проективное накрытие.

Отметим также, что проективное накрытие полигона нетрудно построить, используя описание полигона, полученное в [2].

Список литературы

1.Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories. W. de Gruyter, N.Y. – Berlin, 2000.

2.Avdeyev A.Yu., Kozhukhov I.B. Acts over completely 0-simple semigroups. //Acta Cybernetica. 2000. V. 14, № 4, P. 523 – 531.

3.Кожухов И.Б., Халиуллина А.Р. Инъективность и проективность полигонов над сингулярными полугруппами. //Электронные информационные системы., 2014, № 2(2), С. 45 – 56.

Об алгебраически эквивалентных клонах

Пинус А. Г. (Новосибирск, НГТУ)

ag.pinus@gmail.com

Работа выполнена при финансовой подддержке Министерства образования и науки РФ, гос.

задание № 2014/138, проект 1052.

В работе [1], исходя из понятия алгебраически эквивалентных универсальных алгебр, введено понятие алгебраически эквивалентных функциональных клонов на множестве . Два клона 1, 2 называются алгебраически эквивалентными, если совпадают совокупности их алгебраических множеств. При этом, множество называется – алгебраическим (для клона на множестве ) тогда и только тогда, когда существует совокупность { 1( 1, · · · , ), 2( 1, · · · , )| } функций из такая, что

= { | 1( ) = 2( ), }.

Втой же работе отмечено, что для любого не менее чем трехэлементного множества на существуют отличные друг от друга алгебраически эквивалентные клоны. На самом деле имеет место

Теорема. Для любого натурального число попарно алгебраически не экви-

валентных функциональных клонов на – элементном множестве конечно.

Список литературы

1.Пинус А.Г. Размерности функциональных клонов и метрика на их совокупности. – в печати.

Тогда для любых элементов 1, ..., , для которых значение произведения ( 1,..., ) определено, выполняется равенство

( 1, ..., ) = ( 1, ..., ).

Пусть частичный -арный группоид удовлетворяет условиям (i) и (ii), но

ни для каких элементов 1, ..., не выполняется условие (*). Верно ли, что в таком случае выполняется условие | ( , ..., )| = 1? Если произведение

( 1, ..., ) определено для любых 1, ..., , то ответ положительный (это следует из теоремы 3.3 работы [2]).

Список литературы

1.Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. – С.- Петербург, Росс. гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена: Образование. 1991. 163 с.

2.Кожухов И.Б., Решетников А.В. Алгебры, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями. // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, № 3. С. 161–192.

Коммутаторная ширина и элементарная эквивалентность относительно свободных алгебр Ли

Романьков В. А. (Омск, ОмГУ им. Ф.М.

Достоевского)

romankov48@mail.ru

Исследование выполнено при поддержке РФФИ, проект 16-01-00577

Пусть – алгебра Ли F над произвольным полем F или кольцо Ли Z над кольцом целых чисел Z. Произведение двух элементов , из обозначим через [ , ] и назовем коммутатором этих элементов. Коммутаторной шириной

элемента принадлежащего коммутанту (квадрату) 2 назовем наименьшее число такое, что представляется в виде суммы коммутаторов элементов из . Обозначим этот факт, как = width( ). Коммутаторной шириной

width( ) алгебры (кольца) назовем max(width( )). Назовем 2 элементом

2

максимальной ширины, если width( ) = width( ).

В дальнейшем через F обозначается многообразие всех нильпотентных алгебр Ли ступени нильпотентности не выше, чем , а через F, = ( F) обо-

значается свободная в F алгебра Ли ранга . Через F обозначается много-

образие всех разрешимых алгебр Ли ступени разрешимости не выше, чем . В этом случае F, = ( F) – свободная разрешимая алгебра Ли ранга ступени разрешимости . Специальное обозначение F используется для многообразия

2F всех метабелевых алгебр Ли. Через F = ( F) обозначается свободная

метабелева алгебра Ли ранга . Через F = F ∩ F обозначается многооб-

разие всех метабелевых нильпотентных алгебр Ли ступени нильпотентности не выше, чем , а через F, – свободная алгебра ранга в этом многообразии. Через F обозначается многообразие всех алгебр Ли, тогда F = ( F) – свободная алгебра Ли ранга . Если говорится о соответствующих многообразиях

58 Романьков В. А. (Омск, ОмГУ им. Ф.М. Достоевского)

колец Ли и свободных в этих многообразиях кольцах, то пишем Z, Z, Z, Z

,

и т.п.

Основные результаты об относительно свободных алгебрах Ли над произвольным полем F и часть основных результатов об относительно свободных кольцах Ли приведены в следующих утверждениях.

Предложение 1. Пусть F – произвольное поле. Тогда при ≥ 2 справедливы равенства:

width( F,2) = width( F,2) = [ /2].

Также верны равенства:

width( Z,2) = width( Z,2) = [ /2].

Предложение 2. Пусть F – произвольное поле. Тогда справедливы равенства:

( 2F,3) = ( 2F,3) = 1, ( 2Z,3) = ( 2Z,3) = 1,

для ≥ 4 ( 2F, ) = 2, для ≥ 4 ( 2Z, ) = 2.

Следствие 8. 1. Пусть F – произвольное поле, F – многообразие алгебр Ли, содержащее в качестве подмногообразия F4 . Тогда справедливо равенство

width( 2( F)) = 2.

В частности, это равенство верно в случаях, если F – нильпотентное мно-

гообразие F или метабелево нильпотентное многообразие F и ≥ 4, раз-

решимое многообразие F и ≥ 2 (в том числе метабелево многообразие F),

или многообразие F всех алгебр Ли.

2. Пусть Z – многообразие колец Ли, содержащее в качестве подмногообразия Z4 . Тогда справедливо равенство

width( 2( Z)) = 2.

В частности, это равенство верно в случаях, если – нильпотентное много-

образие Z или метабелево нильпотентное многообразие Z и ≥ 4, разре-

шимое многообразие Z и ≥ 2 (в том числе метабелево многообразие Z),

или многообразие Z всех колец Ли.

Пусть – алгебра Ли. Будем говорить, что представление элемента 2

вида

=1

имеет ранг , если элементы 1, 1, ..., , порождают по модулю 2 подпространство размерности .

Теорема 1. Пусть F – произвольное поле. Тогда при ≥ 2 и ≥ + 2

справедливо равенство

width( F, ) = .

Следствие 9. Пусть F – произвольное поле, F – многообразие алгебр Ли содержащее в качестве подмногообразия F+2. Тогда при ≥ 2 справедливо равенство

width( ( F)) = .

В частности, это равенство верно в случаях, если F – нильпотентное мно-

гообразие F или метабелево нильпотентное многообразие F, и ≥ + 2,

а также если F – разрешимое многообразие F для ≥ 2 (в том числе ме-

табелево многообразие F) или многообразие F всех алгебр Ли.

Приведем утверждения, являющиеся основными результатами работы об алгебрах Ли над полем рациональных чисел и частью основных результатов о кольцах Ли.

Следующая теорема позволяет получить точные значения коммутаторной ширины свободных алгебр Ли и некоторых относительно свободных разрешимых и нильпотентных алгебр Ли над полем рациональных чисел Q, а также

точные значения коммутаторной ширины соответствующих абсолютно и относительно свободных колец Ли.

Теорема 2. Пусть – свободная метабелева нильпотентная алгебра Ли

Q,3 над Q или свободное метабелево нильпотентное кольцо Ли Z,3 ранга

≥ 3 ступени нильпотентности 3 с множеством свободных порождающих

= { 1, ..., }. Тогда любой элемент из 3 вида

где 1, ..., – попарно взаимно простые целые числа свободные от квадратов (то есть не делящиеся на квадрат простого числа) и отличные от 1 и −1, не представим в виде суммы коммутаторов ранга < . Элемент не представим в виде суммы < коммутаторов, следовательно, он является элементом максимальной ширины. Элемент не принадлежит коммутанту подкольца из , порожденного менее, чем элементами.

Следствие 10. Пусть Q – многообразие алгебр Ли над полем Q, содержащее в качестве подмногообразия Q3 . Тогда для любого ≥ 3 справедливо равенство

width( ( Q)) = .

В частности, это равенство верно в случаях, если Q – нильпотентное многообразие Q или метабелево нильпотентное многообразие Q для ≥ 3, а

также если Q – разрешимое многообразие Q для ≥ 2 (в том числе метабелево многообразие Q) или многообразие Q всех алгебр Ли.

Аналогичные утверждения имеют место для многообразий колец Ли, содержащих в качестве подмногообразия Z3 . Тогда для любого ≥ 3 справедливо равенство

width( ( Z)) = .

В частности, это равенство верно в случаях, если Z – нильпотентное мно-

гообразие Z или метабелево нильпотентное многообразие Z для ≥ 3, а