Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

где Vol ( ) — объемы областей , а ( ) = ( ) – остаточные члены формулы

(1) или отклонения считающих функций ( ) от ожидаемой величины Vol ( ). Если существуют такие константы , что для остаточных членов ( ) справедливы неравенства ( ) ≤ , = 0, 1, 2, 3, то множества называются множествами ограниченного остатка или BR-множествами (bounded remainder

set).

Эти множества были открыты Э. Гекке в 1921 году [2], он получил оценки остаточных членов для полуинтервалов ограниченного остатка. В дальнейшем целый ряд отечественных и зарубежных математиков занимался изучением одномерных BR-множеств, было получено довольно много результатов в этой области, см., например, [3], [4], [5].

Первые двумерные BR-множества нашел Р. Сюз в 1954 г. [6]. Впервые же получить оценки остаточных членов в двумерном случае удалось в 2005 г. моему научному руководителю В. Г. Журавлеву для фрактальных BR-множеств, построенных на основе двумерного разбиения Рози [7]. В 2011 г. на основе метода Журавлева автором был разработан подход к постоению двумерных множеств ограниченного остатка на основе параметрических разбиений гексагональных разверток тора, позволивший получить точные оценки остаточных членов для этих множеств [8].

Для отмеченных выше множеств автором были получены следующие результаты:

1)найдены средние значения остаточных членов [9];

2)построена оптимизация границ отклонений [10];

3)доказано обобщение теоремы Гекке на случай двумерных торов [11];

4)построены трехмерные множества ограниченного остатка с помощью произведения торических разверток: полуинтервалов Гекке и гексагональных разверток двумерного тора [12].

Кнастоящему времени удалось обобщить метод построения множеств ограниченного остатка на основе параметрических разбиений разверток тора на

трехмерный случай. Процедура построения развертки и получения разбиения на множества ограниченного остатка описана выше. Получен следующий результат.

Теорема. Пусть задан сдвиг трехмерного тора T на иррациональный вектор , и пусть его развертка ( ) определена параметром = ( 1, 2, 3)

и разбита на области , = 0, 1, 2, 3. Тогда отклонения ( ) ограничены сверху явно вычислимыми константами, зависящими от координат начальной точки 0 и параметра .

Список литературы

¨

1. Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzph ¨anomene// Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. 1910. V. 30. P. 377–407.

¨

2. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. Eins.// Math. Sem. Hamburg. Univ. 1921. V. 5. P. 54–76.

3. Erd¨os P. Problems and results on diophantine approximation// Comp. Math. 1964. V. 16. P. 52–65.

4. Журавлев В. Г. Одномерные разбиения Фибоначчи// Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71. Вып. 2. С. 89–122.

5. Шутов А. В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка// Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. Т. 5. Вып. 3. С. 112–121.

¨

6. Sz¨usz R. Uber die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats// Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1954. №5. P. 35–39.

7. Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка// Записки научных семинаров ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83–106.

8.Абросимова А. А. Множества ограниченного остатка на двумерном торе// Чебышевский сборник. 2011. Т. 12. Вып. 4(40). С. 15–23.

9.Абросимова А. А. Средние значения отклонений для распределения точек на торе // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26. С. 5–11.

10.Абросимова А. А., Блинов Д. А. Оптимизация границ отклонений для двумерных множеств ограниченного остатка// Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2013. №26(169). Вып. 33. С. 5–13.

11.Абросимова А. А. BR-множества// Чебышевский сборник. 2015. Т. 16. Вып. 2(54). С. 8—22.

12.Абросимова А. А. Произведение торических разверток и построение множеств ограниченного остатка// Ученые записки орловского государственного университета. Серия: естественные, технические и медицинские науки. 2012. №6. Ч.2. С. 30–37.

Об иррациональности (3).

Подольский А. А. (Москва, МГУ) a.a.podolskiy@gmail.com

Дзета-функция Римана ( ) определяется при Re > 1 следующим рядом:

∞

∑ 1

( ) = =1 .

Значения дзета-функции Римана в натуральных точках называются дзетазначениями. Эйлер получил явные формулы для вычисления четных дзетазначений:

и начальному условию 0 = 1. В 1882 г. Линдеман установил трансцендентность числа , так что из формулы (1) следует трансцендентность четных дзетазначений.

Снечетными дзета-значениями (2 + 1) дело обстоит существенно сложнее.

В1978 г. Апери (см. [6]) доказал иррациональность (3). Суть его метода заключалась в нахождении решения некоторого рекуррентного соотношения, так, чтобы решения, с одной стороны, стремились бы к (3), а с другой стороны, удовлетворяли некоторым арифметическим свойствам.

Иррациональность какого-либо другого нечетного дзета-значения на дан-

ный момент не доказана. Однако получено множество других доказательств иррациональности (3), многие из которых можно найти в [2].

Одно из доказательств иррациональности (3) получил в 1979 году Ф. Бей-

С помощью этих интегралов получаются те же приближения, что и у Апери. Некоторое интегральное тождество позволяет показать, что эти интегралы дают приближения к (3). Самый нетривиальный момент в этом доказательстве и состоит в доказательстве этого тождества.

Другое доказательство, которое предложил в 1998 г. В. Н. Сорокин (см. [4]), использует интегралы

Эти интегралы также дают те же самые приближения, что и у Апери. Доказательство Сорокина вытекает из решения некоторой интерполяционной задачи и сложно для понимания.

Другое доказательство иррациональности (3), использующее интегралы (3), предложил в [1] С. А. Злобин. Он с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования показал для более общих интегралов, что они раскладываются в линейные комбинации дзета-значений. Однако среди дзета-значений в этих комбинациях оказываются лишние. Например, чтобы в доказательстве иррациональности (3) исключить (2) из линейных ком-

бинаций, Злобин переходит к другим интегралам, к которым применяет пре-

−

образование → 1 − . Однако, как нам теперь известно, без такого перехода к другим интегралам легко обойтись. Достаточно применить к исходным интегралам теорему Е. А. Уланского из [5].

Кроме того, Злобин С.А. показал, что интегралы (2) равны интегралам (3). Этот результат нам удалось обобщить (см. [3]), однако заметных продвижений в задаче об иррациональности дзета-значений большего веса это пока не дало.

Список литературы

1.Злобин С.А. Разложения кратных интегралов в линейные формы.// Матем. Заметки. 2005, Т. 77, № 5. 683 – 706.

2.Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о (3). //Матем. заметки. 1996, Т. 59, вып. 6, 865 – 880.

3.Подольский А.А. Тождества для кратных интегралов. // Матем. Заметки. 2015, Т. 98, № 4. 557 – 564.

4.Сорокин В.Н. О теореме Апери. //Вестник МГУ. 1998, Сер. 1., № 3, 48 – 52.

5.Уланский Е.А. Об одном тождестве для обобщения гипергеометрического интеграла. //Матем. заметки. 2006, Т. 79, № 5, 796 – 799.

6.Ap´ery R. Irrationalit´e de (2) et (3). //Ast´erisque, Vol. 61, 1979, 11 – 13.

7.Beukers F. A note on the irrationality of (2) and (3). //Bull. London Math. Soc., Vol. 11, 1979, 268 – 272.

Тригонометрические суммы алгебраических сеток с весами

Рарова Е. М. (г. Тула)

rarova82@mail.ru

Работа выполнена по гранту РФФИ, № -15-01-01540

В работе [1] следующим образом сформулирована Проблема значений

тригонометрических сумм сеток:

"Нормированные тригонометрические суммы параллелепипедальных се-

ток имеют два значения: 0 и 1. Для нормированных тригонометрических

сумм двумерных сеток Смоляка таких значений три: 0, 1 и −1. Для нерав-

( )

номерных сеток имеется или хорошая равномерная оценка √1 , или они

равны 1.

Очень важно получить оценки нормированных тригонометрических сумм для алгебраических сеток.

Если эти суммы имеют спектр значений не сосредоточенный около точек 0 и 1, то алгебраические сетки нельзя хорошо приблизить параллелепипедальными сетками, а алгебраические решётки нельзя хорошо приблизить целочисленными решётками."

Цель работы — показать что для тригонометрической суммы сетки с весами алгебраической решётки имеется сходимость к 1 или к 0.

Алгебраические сетки. В 1976 году вышла работа [3] К. К. Фролова, в которой впервые появились алгебраические сетки.

Рассматриваются: единичные −мерные кубы

= { | 0 ≤ ≤ 1, = 1, 2, . . . , },

= { | 0 ≤ < 1, = 1, 2, . . . , };

непрерывные периодические функции с периодом равным единице по каждой из переменных ( = 1, 2, . . . , ), принадлежащие классу ( ), который состоит

Определение 2. Весовой функцией порядка с константой называется гладкая функция ( ), удовлетворяющая условиям

Определение 3. Квадратурной формулой с обобщенной параллелепипедальной сеткой II типа и весовой функцией ( ) называется формула вида

11

′(Λ)[ ] — погрешность квадратурной формулы.

Для погрешности квадратурной формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода на классе справедлива оценка (см. [2])

′(Λ)[ ( )] = sup | ′(Λ)[ ]| ≤ · 1( ) (Λ| ),

( )

Пусть = ( 0, 1, . . . , −1) — целочисленный вектор такой, что многочлен

неприводим над полем рациональных чисел и все корни Θ ( = 1, . . . , ) многочлена (4) действительные.